资源描述
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一. 不等关系
1. 一般地,用符号“<”(或“”), “>”(或“”)连接的式子叫做不等式.
2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 大于等于0(0) 0和正数 不小于0
非正数 小于等于0(0) 0和负数 不大于0
二. 不等式的基本性质
1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,
2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地:
如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;
即:a>b a-b>0 a=b a-b=0 a<b a-b<0
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)
例 下列各式一定成立的是( )
A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2
例 若a﹥b,且a、b同号，以下不等式中一定成立的有
① a2﹥b2 ② a3＜b3 ③ 1/a＜1/b ④a/b﹥1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三. 不等式的解集:
1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左
四. 一元一次不等式:
1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)
4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)
①当a>0时,解为;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;③当a<0时, 解为;
5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
例 不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )
A．x﹥n/m B. 当m﹥0时，x﹥n/m，当m＜0时，x＜-n/m
C．x＜n/m D．当m﹥0时，x﹥n/m，当m＜0时，x＜n/m
例 如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a必须满足的的条件是：
A. a＜0 B. a≤-1 C. a﹥-1 D. a＜-1
例 已知关于x的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0的解集为
x﹥2－a
x＜2-b
x﹥a
x＜b
例 若不等式组 无解，则不等式组 的解集是
例 水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
例 某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
维生素C及价格
甲种原料
乙种原料
维生素C/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，
（1）设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
五. 一元一次不等式组
1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
3. 解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)
一元一次不等式
解集
图示
叙述语言表达
x>b
两大取较大
x<a
两小取小
a<x<b
大小交叉中间找
无解
在大小分离没有解
(是空集)
x﹥2m+1
x﹥m+2
例 如果不等式组 的解集是x﹥-1，那么m的值为( )
A -3 B 3 C –1 D –3 或-1
2x＜3(x-3) +1
(3x+2)/4﹥x+a
例 关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是( )
A. -11/4＜a ≤-5/2 B .-11/4≤a＜-5/2 C. –11/4≤a≤-5/2 D.-11/4＜a＜-5/2
第二章 分解因式
一. 分解因式
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
例 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1
(C)a2b+ab2=ab(a+b) (D)x2+1=x(x+)
二. 提公因式法
1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如:
2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3. 易错点:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不能漏掉.
例 下列各式的因式分解中正确的是（ ）
(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)
(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) (D)xy2+x2y=xy(x+y)
分解因式 （1）a2(x-2a)2-a(2a-x)3
（2）-3ma3+6ma2-12ma
三. 运用公式法
1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
3. 因式分解要分解到底. 如就没有分解到底.
4. 运用公式法:
(1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.
(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
例 下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2
例 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
例 将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
例 已知(4x+y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.
例 计算的值是
四. 分组分解法:
1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如:
2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
第三章 分式
一. 分式
1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.
2. 整式和分式统称为有理式,即有:
3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
例 下列代数式：①；②；③；④；⑤，其中整式有____________，分式有___________（只填序号）.
例 分式当x __________时分式的值为零，当x __________时分式有意义.
例 如果，则=__________.
二. 分式的乘除
1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
即: ,
2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即:
逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.
3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
例 计算（1） （2）
三. 分式的加减法
1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:
(2)异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
上述法则用式子表示是:
3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
例 计算（1） （2）
四. 分式方程
1. 解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
2. 列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;
④解方程,并验根;⑤写出答案.
例 解方程+1
例 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率？
第四章 相似图形
一. 线段的比
1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成.
2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
3. 注意:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a, 与互为倒数;
⑤比例的基本性质: 若, 则ad=bc; 若ad=bc, 则
例 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二. 黄金分割
_
图1
_
B
_
C
_
A
1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
例 已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB
C.BM=AB D.AM≈0.618AB
三. 相似多边形
1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
3. 性质：相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
例 下列图形中相似的多边形是（ ）
A、所有的矩形 B、所有的菱形
C、所有的等腰梯形 D、所有的正方形
四. 相似三角形
1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.
2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
5. 相似三角形周长的比等于相似比.
6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例 若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21cm，则其余两边长的和为（ ）
A．
24cm
B．
21cm
C．
19cm
D．
9cm
例 两个等腰三角形的顶角相等，其中一个三角形的两边分别是3、6，另一个三角形的一边为12，则这个三角形的另两边长为
五.探索三角形相似的条件
1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形
直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a. 两直角边对应成比例;
b. 斜边和一直角边对应成比例
_
图2
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
l
_
3
_
l
_
2
_
l
_
1
2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2, l1 // l2 // l3,则.
3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
例 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠1=∠B，AE=EC=4，BC=10，AB=12，则△ADE和△ABC的周长之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
例 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
六. 图形的放大与缩小（位似图形）
1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似图形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
第五章 数据的收集与处理
1. 所要考察的对象的全体叫做总体;
把组成总体的每一个考察对象叫做个体;
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.
3. 当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，还要注意样本的大小.
例 今年我市共有8万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这8万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法中正确的是（ ）
A. 8万名考生是总体 B. 每名考生的数学成绩是个体
C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 以上都不对
例 下列调查各属于哪种调查方式？
（1）为了了解八年级学生的视力情况，在该年级中抽取了100名学生进行视力检查测试；
（2）为了调查学校的男女生比例，调查统计了各班男、女生人数；
（3）为了考察同一型号的一批炮弹的杀伤半径，从中任意抽取210枚进行调查分析。
4. 我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
例 某班50名学生在一次数学考试中，分数在90～100分的频率是0.16，则该班在这个分数段的人数是____________。
5. 画频数分布直方图的方法：
（1）找最大值与最小值，计算最大值与最小值的差（即极差）。
（2）决定组数和组距：
当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组；
当极差能被5～12的整数整除时，商作为组距，组数应加1组。
例：24÷6＝4，组距为4，组数为6＋1。
当极差不能被5～12的整数整除时，进位取整，商作组距，除数作组数。
例：（23＋1）÷6＝4，组距为4，组数为6。
（3）确定分点：
可采用半开半闭区间，也可适当减小最小值和加大最大值以保证组距相等。
（4）列频数分布表（唱票法）。
（5）画频数分布直方图。
6. 数据波动的统计量：
极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。
方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
标准差：方差的算术平方根。（识记计算公式）
7. 一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
8. 知道平均数，众数，中位数的定义。
9. 刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。
刻画离散程度用：极差，方差，标准差。
10. 常考知识点：
（1）作频数分布表，作频数分布直方图。
（2）利用方差比较数据的稳定性。
（3）平均数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法。
（4）频率，样本的定义
例 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为，9，9，x，7。若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
例 甲、乙两人在同样的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：
甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9
则两人射击成绩稳定程度关系是（ ）
A. 甲比乙稳定 B. 乙比甲稳定
C. 甲、乙稳定程度相同 D. 无法比较
例 如果将所给一组数据的每一个数都减去同一个常数，这组数（ ）
A. 平均数与方差都改变 B. 平均数改变，方差不变
C. 平均数不变，方差改变 D. 平均数与方差都不变
例 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度的比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
某同学根据此表分析得出如下结论：（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；（3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动大。上述结论中正确的是（ ）
A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （2）（3）
第六章 证明(一)
一. 定义与命题
1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.
2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
例 下列语句中，是命题的是（ ）
A、两点确定一条直线吗？ B、在线段AB上任取一点
C、作∠A的平分线AM D 、两个锐角的和大于直角
例 下列命题中，假命题是（ ）
A、垂直于同一条直线的两直线平行
B、已知直线a、b、c，若a⊥b,a∥c,则b⊥c,
C、同位角相等，两直线平行
D、一个角的补角大于这个角
二. 两直线平行的判定
1.公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)
2. 平行判定定理: 内错角相等,两直线平行.
3. 平行判定定理:. 同旁内角互补,两直线平行
三. 两条直线平行的性质
1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;
2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;
3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.
四. 三角形内角和定理的证明
1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°
2. 一个三角形中至多只有一个直角
3. 一个三角形中至多只有一个钝角
4. 一个三角形中至少有两个锐角
五. 三角形的外角
三角形内角和定理的两个推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
六. 证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
在证明时注意：
(1)在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
(2)证明中的每一步推理都要有根据。如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
(3)30°角所对的直角边是斜边的一半，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
七．常考知识点：
1．三角形的内角和定理，及三角形外角定理。
2．两直线平行的性质及判定。
3．命题及其条件和结论，真假命题的定义。
例 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.
例 已知如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=__________.
例 已知如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.
20
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
