高考数学函数的单调性和奇偶性.doc

函数的单调性和奇偶性

一. 教学内容
函数的单调性和奇偶性

二. 重、难点
重点：函数单调增、减区间的意义，应用定义判断函数的单调性，奇偶性。
难点：证明函数的单调性

【典型例题】
[例1] 如果函数在上是减函数，求a的取值范围。
解：对称轴，由得

[例2] 判断函数（）在R上的单调性
解：设、且则

当时，
当时，和中必有之一不为0（∵ ）
∴
当时，
在上面讨论结合（1）和（2）有
∴ 函数在R上是减函数
[例3 ] 已知函数，在R上是增函数，求证：在R上也是增函数。
证：任取，且则因为在R上是增函数
所以 又 ∵ 在R上是增函数
∴ ∴ 在R上是增函数
结论：同增异减：与增减性相同（反），函数是增（减）函数。
[例4] 求函数的单调区间
解：首先确定义域： ∴ 在和两个区间上分别讨论
任取、且
则

要确定此式的正负只要确定的正负即可
这样，又需判断大于1还是小于1，由于的任意性。
考虑到要将分为与
（1）当时， ∴ 为减函数
（2）当, 时， ∴ 为增函数
同理（3）当时，为减函数
（4）当时，为增函数
[例5] 判断下列函数是否具有奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
注：对于定义域内的任意一个，都有成立，则称为偶函数。
对于定义域内的任意一个，都有成立，则称为奇函数。
解：（1）函数与定义域为R

∴ 为奇函数
（2）函数的定义域为R
又 ∵ ∴ 为偶函数
（3）函数的定义域为 ∴ 为非奇非偶函数
（4）函数的定义域为，此时 ∴ 既是奇函数又是偶函数
（5）由得，知定义域关于原点不对称
∴ 既不是奇函数也不是偶函数
[例6] 函数在上为奇函数，且当时，，则当时，求的解析式。
解：设则 ∴
又 ∵ 在R上为奇函数 ∴
∴ 当时， ∴
[例7] 设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。
解：由为奇函数知：
由是减函数知：
∴ 解得
[例8] 设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。
解：
又
∴ 化为
∴ 解得

【模拟试题】
一. 选择题
1. ，当时递增 ，当时递减，则的值等于（ ）
A. 13 B. 1 C. 21 D.
2. 若奇函数的图象过点，则必过点（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数在，上都是增函数，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
4. 在上是增函数，则的增区间是（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题
1. 函数的递增区间是 。
2. 若函数是R上的增函数，且对一切都成立，则实数a的取值范围是 。
3. 已知，，则 。
4. 若是奇函数，则函数，的图象关于 对称。

三. 解答题
1. 已知是偶函数，在上是增函数，那么在上是增函数，还是减函数？并加以证明。
2. 函数在上单调递增，求实数a的取值范围。
3. 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围。

【试题答案】
一.
1. C 2. D 3. D 4. B

二.
1. 2. 3. 31 4. 轴

三.
1. 设由于是偶函数，则， ①
由假设可知，且
又已知在上是增函数，则 ②
将①代入② 得即
故在上是减函数
2. 解：
在上单调递增
∴ 设 则
∴ ∵ ∴
∴ 即
3. 解：∵ 为定义在上的偶函数，且当时递减
∴ 在时递增
∴ ∴ ∴