高中数学人教版必修1知识点总结梳理.doc

一 集合
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。
2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示：
（1）用大写字母表示集合：A,B…
（2）集合的表示方法：
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，
c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合　　
5、元素与集合的关系：(A；
注意：常用数集及其记法：
非负整数集：（即自然数集）N 正整数集: N*或 N+
整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R
6、集合间的基本关系
（1）“包含”关系—子集
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或BＡ）
注意：有两种可能（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
（2）“包含”关系—真子集
如果集合，但存在元素x(B且xA，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
（3“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”，如果A(B 同时 B(A 那么A=B
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
（4）集合的性质
① 任何一个集合是它本身的子集，A(A
②如果 A(B, B(C ,那么 A(C
③如果AB且BC，那么AC
④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
集合的运算

运算类型
交 集
并 集
补 集

定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’）
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’）
全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，

韦恩图示

性 质
A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A ∩B=BA
A ∩BA A ∩BB
A U A=A
A U Φ=A
A U B=B U A
A U BＡ
A U BB

AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ．

二 函数
1.函数的概念：记法 y=f(x)，x∈A．
2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：
4.函数的基本性质
a、函数解析式子的求法
（1）代入法：（2）待定系数法：
（3）换元法：（4)拼凑法：
b、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数大于等于零；
(3)对数式的真数必须大于零； （4）零次幂式的底数不等于零;
（5）分段函数的各段范围取并集;
(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
c、相同函数的判断方法；(定义域一致②对应法则一致
d.区间的概念：
e.值域 （先考虑其定义域）
5.分段函数
6．映射的概念
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意：函数是特殊的映射。
7、函数的单调性(局部性质)
（1）增减函数定义
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法： 取值； 作差； 变形； 定号； 结论．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8、函数的奇偶性（整体性质）
（1）奇、偶函数定义
（2）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：
a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；
b、确定f(－x)与f(x)的关系；
c、作出相应结论：若f(－x) = f(x)， 则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.
（4）函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
（5）若已知是奇、偶函数可以直接用特值
9、 基本初等函数
一、一次函数
二、二次函数：二次函数的图象与性质，注意：二次函数值域求法
三、指数函数
（一）指数
1、有理指数幂的运算法则
2、根式的概念
3、分数指数幂
正数的分数指数幂的
，
（二）指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R

值域
值域

在R上单调递增
在R上单调递减

非奇非偶函数
非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

四、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（三）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域
定义域

值域为R
值域为R

在R上递增
在R上递减

函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）

五、幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
10、方程的根与函数的零点
（1）函数零点的概念：对于函数 ，把使成立的实数叫做函数的零点。
（2）函数零点个数的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
（3）二次函数的零点：判断
（4）二分法可用来求变号零点.