线性代数B-2.5-矩阵的秩+习题s优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,线性代数,B,任课教师,:,胡凤珠,1,秩,(,rank,),是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念,秩,是,德国数学家,弗洛贝尼乌斯,在,1879,年首先提出的,矩阵的秩,是,讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性,等问题的重要工具,矩阵的秩,2,课本,2,.,6,矩阵的秩,一、矩阵的,秩的概念,二、矩阵的,秩的求法,3,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,(,形式不唯一,),(,形式唯一,),矩阵常用的三种特殊的等价形式：,标准形由,数,r,完全确定,，,r,也就是,A,的,行阶梯形中,非零行的行数,这个数便是,矩阵,A,的秩,一、矩阵的秩的概念,4,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,(,形式不唯一,),(,形式唯一,),矩阵常用的三种特殊的等价形式：,由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以,借助行列式来定义矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,5,1 1,2 1 4,2,1,1 1 2,2,3,1,1 2,3,6,9 7 9,A,1,1,2,1,4,2,1,1 1 2,2,3,1,1,2,3,6,9 7 9,A,1,、,k,阶子式,例如,1 1,3,1,是,A,的一个二阶子式,说明,m,n,矩阵的,k,阶子式,有 个,.,C,k,n,C,k,m,定义,1,在,m,n,矩阵,A,中,任取,k,行,k,列,位于这些,行 列,交叉处,的,k,2,个元素,不改变它们在,A,中所处的位置次序而得的,k,阶行列式,称为矩阵,A,的,k,阶子式,6,故,r,(,A,)=0,A=O,规定 等于,0,零矩阵的秩,矩阵,A,的秩，,记作,r,(,A,),或,R,(,A,),或,rank,(,A,),或,秩,(,A,),定义,2,设在,m,n,矩阵,A,中,有一个,不等于零的,r,阶子式,D,且,所有,r,1,阶子式,(,如果存在的话,),全等于,0,那么数,r,称为,矩阵,A,的秩,D,称为矩阵,A,的,最高阶非零子式,2,、矩阵的秩,7,提示,例,1,和例,2,综合,求矩阵,A,和,B,的秩,其中,在,A,中,容易看出一个,2,阶子式,A,的,3,阶子式只有一个,|,A,|,经计算可知,|,A,|,0,因此,r,(,A,),2,解,以,3,个非零行的首非零元为对角元的,3,阶子式,是一个上三角行列式,它显然,=24,不等于,0,因此,r,(,B,),3,B,是一个有,3,个非零行的,行阶梯形矩阵,其所有,4,阶子式全为零,对于,行阶梯形矩阵,它,的秩,就等于,非零行的行数,8,3,、矩阵的秩的性质,(1),若矩阵,A,中,有某个,s,阶子式不为,0,则,r,(,A,),s,若,A,中,所有,t,阶子式全为,0,则,r,(,A,),t,(2),若,A,为,m,n,矩阵,则,0,r,(,A,),min,m,n,r,(,A,m,n,),min,m,n,(4),对于,n,阶矩阵,A,当,|,A,|,0,时,r,(,A,),n,当,|,A,|,0,时,r,(,A,),n,可逆矩阵,(,非奇异矩阵,),又称为,满秩矩阵,不可逆矩阵,(,奇异矩阵,),又称为,降秩矩阵,可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。,(3),r,(,A,),r,(,A,T,),，,9,在秩是,r,的矩阵中,有没有等于,0,的,r,1,阶子式,?,有没有等于,0,的,r,阶子式,?,解答：,可能有,.,例如,r,(,A,),3,是等于,0,的,2,阶子式,是等于,0,的,3,阶子式,补充例,3,10,定理,1,若,A,与,B,等价,则,r,(,A,),r,(,B,),根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用,初等,(,行,),变换,变成,行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中,非零行的行数,即是,该矩阵的秩,二、矩阵的秩的求法,问题,：经过初等变换后，矩阵的秩,变,吗？,任何矩阵都可以经过,初等行变换,变成,行阶梯形矩阵,。,即初等变换不改变矩阵的秩,.,11,因为,解,例,4,求矩阵,A,的秩,并求,A,的一个最高阶非零子式,其中,所以,r,(,A,),3,为求,A,的最高阶非零子式,考虑由,A,的,1,、,2,、,4,列,构成的矩阵,又因,A,0,的子式,所以,这个子式是,A,的最高阶非零子式,行变换,可见,r,(,A,0,),3,行阶梯形矩阵,12,例,5,即,AB,与,B,等价,13,例,6,14,小结,(2),初等变换法,1.,矩阵的秩的概念,2.,求矩阵的秩的方法,(1),定义法,把矩阵用,初等行变换,化为,行阶梯形矩阵,，,行阶梯形矩阵,中,非零行的行数,就是矩阵的秩,.,寻找矩阵中非零子式的最高阶数,;,15,P67:31,练习题,P67:31,32,16,P67:31,练习题,P67:31,32,17,P67:31,练习题,P67:31,32,继续讨论,x,的值的变化对矩阵,A,的秩的影响，结果同解法一。,18,P67:32,练习题,P67:31,32,19,P67:32,练习题,P67:31,32,20,第一章,P21,2,21,P21,5(3),22,P21,5(3),23,习题,1-5,P25:5,24,25,(4),P40:3(3),、,(4),(3),26,4,P40-4,27,6,P40-6,28,作业：,P46:1(1),7(1),；,P66:18,P46:1(1),求下列矩阵的逆矩阵,29,7(1),容易出错,30,P66:18,31,P66:22,分块矩阵,32,P60:4(4),矩阵的初等变换,33,P60:4(4),矩阵的初等变换,34,P60 5(2),矩阵的初等变换,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,也可以先求,A-2E,的逆，再运算求,B,48,49,