人教版九年级数学下二次函数的中考二次函数知识点总结.pdf

-1-人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函2yaxbxcabc，0a 数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，0a 而可以为零二次函数的定义域是全体实数bc，2二次函数的结构特征：2yaxbxc（1）等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式，的最高次数是 2xx（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、二次函数各种形式之间的变换1 二次函数用配方法可化成：的形式，其中cbxaxy2khxay2.abackabh4422，2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy22hxaykhxay2.cbxaxy2三、二次函数解析式的表示方法1一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3两根式：（，是抛物线与 轴两交点的横坐标）12()()ya xxxx0a 1x2xx.4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即时，抛x240bac物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数图象的画法2yaxbxc1 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，2yaxbxc2()ya xhk确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴y0c，0c，对称的点、与 轴的交点，（若与 轴没有交点，则取两组2hc，x10 x，20 x，x关于对称轴对称的点）.2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与轴xy的交点.五、二次函数的性质2axy 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随 的增大而增大；时，0 x yx0 x 随 的增大而减小；时，有最yx0 x y小值 00a 向下00，轴y时，随 的增大而减小；时，0 x yx0 x 随 的增大而增大；时，有最yx0 x y大值 0-2-六、二次函数的性质2yaxc七、二次函数的性质：2ya xh八、二次函数的性质2ya xhk九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbxc1 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向a0a0a下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.a2 对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线y2bxa y.0 x3 顶点坐标：），（abacab44224 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么a抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线中，与函数图像的关系cbxaxy2cba,1 二次项系数a的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随 的增大而增大；时，0 x yx0 x 随 的增大而减小；时，有最yx0 x y小值 c0a 向下0c，轴y时，随 的增大而减小；时，0 x yx0 x 随 的增大而增大；时，有最yx0 x y大值 c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随 的增大而增大；时，xhyxxh随 的增大而减小；时，有最yxxhy小值 00a 向下0h，X=h时，随 的增大而减小；时，xhyxxh随 的增大而增大；时，有最yxxhy大值 0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随 的增大而增大；时，xhyxxh随 的增大而减小；时，有最yxxhy小值 k0a 向下hk，X=h时，随 的增大而减小；时，xhyxxh随 的增大而增大；时，有最yxxhy大值 k-3-二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之 的值越小，开口0a aa越大；当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之 的值越大，开口0a aa越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的aaa大小决定开口的大小2 一次项系数b在二次项系数 确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02bay总结起来，在 确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab总结：3 常数项c 当时，抛物线与轴的交点在 轴上方，即抛物线与轴交点的纵0c yxy坐标为正；当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的0c yy纵坐标为；0 当时，抛物线与轴的交点在 轴下方，即抛物线与轴交点的纵0c yxy坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法：，顶点是，abacabxacbxaxy442222），（abacab4422对称轴是直线.abx22 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，khxay2得到顶点为(,)，对称轴是直线.h khx 3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.-4-十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy2 顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay23 交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：x1x2x.21xxxxay十三、直线与抛物线的交点1轴与抛物线得交点为(0,).ycbxaxy2c2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,yhx cbxaxy2h).cbhah23 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐xcbxaxy2x标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的1x2x02cbxaxx交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；0 x 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0 x 没有交点抛物线与轴相离.0 x4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.kkcbxax25 一次函数的图像 与二次函数的图像0knkxyl02acbxaxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不G2ykxnyaxbxc同的解时与有两个交点;方程组只有一组解时与只有一个交点；lGlG方程组无解时与没有交点.lG6 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为xcbxaxy2x，由于、是方程的两个根，故0021，xBxA1x2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 关于 轴对称x 关于 轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于 轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 2 关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk3 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk-5-4 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5 关于点对称 mn，关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn，222ya xhmnk 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题a意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk，保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方2yaxhk，法如下：【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22 平移规律 在原有函数的基础上 “值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字 “左加右减，上加下减”十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。三点式。（1）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（，0），B（，0），C（0，-3）三332点，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=a(x-1)+4，经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。2.顶点式。顶点式。（1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。（1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。3.交点式。交点式。（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y=a(x-2a)(x-21b)的解析式。-6-4.定点式。定点式。（1）在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线经过2225212axaxyx 轴上一定点 Q，直线经过点 Q,求抛物线的解析式。2)2(xay（2）抛物线 y=x2+(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。（3）抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。5.平移式。平移式。（1）把抛物线 y=-2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。（2）抛物线向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.32xxy6.距离式。距离式。（1）抛物线 y=ax2+4ax+1(a【0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m【0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。7.对称轴式。对称轴式。（1）抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=-x2+ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y轴于点 C,且 OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。438.对称式。对称式。（1）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式。（2）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。9.切点式。切点式。（1）已知直线 y=ax-a2(a0)与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。（2）直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2+k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。10.判别式式。判别式式。（1）已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。（2）已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。