高考数学圆锥曲线与平面向量训练.pdf

圆锥曲线与平面向量的综合圆锥曲线与平面向量的综合（1）(一一)解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：1.给出直线的方向向量或，等于已知直线的斜率或；ku,1rnmu,rknm2.给出与相交,等于已知过的中点;OBOAABOBOAAB3.给出,等于已知是的中点;0r PNPMPMN4.给出,等于已知与的中点三点共线;BQBPAQAPQP,AB5.给出以下情形之一,ACAB/存在实数,CABArr使若存在实数,等于已知三点共线.BOAOCOrrr使且,1,CBA,6.给出，等于已知是的定比分点，为定比，即1OBOAOPPABPBAP7.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是0MBMAMBMA AMB0mMBMAAMB钝角,给出,等于已知是锐角,0mMBMAAMB8.给出,等于已知是的平分线/MPMBMBMAMAMPAMB9.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;ABCD0)()(ADABADABABCD10.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;ABCDADABADABABCD11.在中，给出，等于已知是的外心；ABC222OCOBOAOABC12.在中，给出，等于已知是的重心；ABC0OCOBOAOABC13.在中，给出，等于已知是的垂心；ABCOAOCOCOBOBOAOABC14.在中，给出等于已知通过的内心；ABC OAOP)(ACACABAB)(RAPABC15.在中，给出等于已知是的内心；ABC,0OCcOBbOAaOABC16.在中，给出,等于已知是中边的中线;ABCACABAD21ADABCBC 17.给出,等于已知的面积AMBmMBMAcotAMB(三三)综合题举例综合题举例【例例 1】(2005 年年辽宁卷辽宁卷 21)已知椭圆已知椭圆的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，是椭圆外的动点，)0(12222babyax满足满足点点P是线段是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点与该椭圆的交点，点T在线段在线段F2Q上，并且满足上，并且满足.2|1aQF.0|,022TFTFPT （）设）设为点为点P的横坐标，证明的横坐标，证明；xxacaPF|1 （）求点）求点T的轨迹的轨迹C的方程；的方程；（）试问：在点）试问：在点T的轨迹的轨迹C上，是否存在点上，是否存在点M使使F1MF2的面积的面积 S=若存在，求若存在，求F1MF2 的的.2b正切值；若不存在，请说明理由正切值；若不存在，请说明理由.解：（）证法一：设点 P 的坐标为).,(yx由 P在椭圆上，得),(yx.)()()(|222222221xacaxabbcxycxPF由，所以 0,acxacaax知.|1xacaPF证法二：设点 P 的坐标为记).,(yx,|,|2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.|,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点 P 的坐标为椭圆的左准线方程为).,(yx.0 xaca 由椭圆第二定义得，即accaxPF|21.|21xacacaxacPF由，所以0,acxacaax知.|1xacaPF（）解法一：设点 T 的坐标为).,(yx当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.0|PTaa当|时，由，得.0|0|2TFPT且0|2 TFPT2TFPT 又，所以 T 为线段 F2Q 的中点.|2PFPQ 在QF1F2中，所以有aQFOT|21|1.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx解法二：设点 T 的坐标为).,(yx当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.0|PTaa当|时，由，得.0|0|2TFPT且02TFPT2TFPT 又，所以 T 为线段 F2Q 的中点.|2PFPQ 设点 Q 的坐标为（），yx,则.2,2yycxx因此 .2,2yycxx由得 aQF2|1.4)(222aycx将代入，可得.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx （）解法一：C 上存在点 M（）使 S=的充要条件是00,yx2b .|221,2022020bycayx由得，由得 所以，当时，存在点 M，使 S=；ay|0.|20cbycba22b当时，不存在满足条件的点 M.cba2当时，cba2),(),(002001yxcMFyxcMF由，2222022021bcaycxMFMF，212121cos|MFFMFMFMFMF，得22121sin|21bMFFMFMFS.2tan21MFF解法二：C 上存在点 M（）使 S=的充要条件是00,yx2b .|221,2022020bycayx由得 上式代入得.|20cby.0)(2224220cbacbacbax于是，当时，存在点 M，使 S=；cba22b当时，不存在满足条件的点 M.cba2当时，记，cba2cxykkcxykkMFMF00200121,由知，则,2|21aFF9021MFF.2|1|tan212121kkkkMFF【例例 2】(2005 年年重庆卷重庆卷理理 21)已知椭圆已知椭圆C1的方程为的方程为，双曲线，双曲线C2的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而的左、右顶点，而 C2的左、的左、1422 yx右顶点分别是右顶点分别是 C1的左、右焦点的左、右焦点.（）求双曲线）求双曲线C2的方程；的方程；（）若直线）若直线与椭圆与椭圆C1及双曲线及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且都恒有两个不同的交点，且 l 与与C2的两个交点的两个交点 A2:kxyl和和 B 满足满足（其中（其中 O 为原点）为原点），求，求 k 的取值范围的取值范围.6OBOA解：（）设双曲线C2的方程为，则12222byax.1,31422222bcbaa得再由故C2的方程为.1322 yx()将代入得2 kxy1422 yx.0428)41(22kxxk由直线 l 与椭圆C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即 .412k.0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将由直线 l 与双曲线C2恒有两个不同的交点 A，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222kkkkkk且即)2)(2(,66319,3126),(),(22BABABABABABABABABBAAkxkxxxyyxxyyxxOBOAkxxkkxxyxByxA而得由则设 .1373231262319)1(2)(2)1(222222kkkkkkkxxkxxkBABA解此不等式得.0131315,613732222kkkk即于是 .31151322kk或由、得.11513314122kk或故k的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(UUU【例例 3】(2005 年年全国卷全国卷理理 21 文文 22)已知椭圆的中心为坐标原点已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在，焦点在轴上，斜率为轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A、B 两两x点，点，与与共线共线.OBOA)1,3(a （I）求椭圆的离心率；）求椭圆的离心率；（II）设）设 M 为椭圆上任意一点，且为椭圆上任意一点，且，证明，证明为定值为定值.),(ROBOAOM22 解：（I）设椭圆方程为),0,(),0(12222cFbabyax则直线 AB 的方程为1,2222byaxcxy代入化简得.02)(22222222bacacxaxba令),(),(2211yxByxA则.,22222222122221babacaxxbacaxx共线，得),(2121yyxxOBOA由aOBOAa与),1,3(.0)()(32121xxyy.36,36.3,232.23,0)()2(3,22222222121212211aceabacbacbacacxxxxcxxcxycxy故离心率所以即又（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.223ba 12222byax22233byx),(),(),(),(2211yxyxyxyxOM由已知得设.,2121yyyxxx在椭圆上，),(yxMQ.3)(3)(2221221byyxx即 .3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx由（I）知.21,23,23222221cbcacxx)(33.8321212121222222221cxcxxxyyxxcbabacaxx.0329233)(3422222121cccccxxxx又又，代入得 222222212133,33byxbyx.122故为定值，定值为 1.22