函数中的赋值问题(教师版)恍然大悟火爆高考卷中导数赋值取点问题的前世今生.doc

函数中的赋值问题
第一讲 赋值的意义
函数赋值是一个热门的话题，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面：
讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等等．
然而时下，在相当一部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模拟试卷的标准解答中，一种以极限语言或极限观点替代赋值论证的“素描式”解题现象应予关注和纠正．
1.从一道调研试题的标准解答说起
题目1 已知函数．
（1）略；（3）略；
（2）设，若在上有且只有一个零点，求的取值范围．
解：（2），则方程即有唯一解．
记，，令．

①时，单调减，
所以的取值范围是 (?)
②时…，的取值范围是；
③时，单调减，且恒正，所以的取值范围是．
所以当或时，有且只有一个零点，故的取值范围是或．
质疑：
1．“”与“的取值范围是”是否等价？

2．也许解答的潜意识是，那么其依据是什么?

作为指挥棒的省考、国考又是怎样处理相关问题的呢?
答：一个中心：参数全程扫描；一个基本点：赋值丝丝入扣．
2．真题探究
题目2（2013江苏20）设函数，其中为实数．
（1）略；
（2）若在上是单调增函数，求的零点个数，并证明你的结论．

（2）解：由在上单调增，得 (过程略) ．
时，，
而，且图像不间断，
依据零点定理，有且只有一个零点．
【分析时，由(极大值点)，】
时,．令．

且，
所以是的极大值点，也是最大值点，
所以，当且仅当．
故有唯一零点．
时，令．列表：

0

所以．
①在上，且单调，所以有且只有一个零点；
②在上，显然，注意到的结论，
所以，同理有且只有一个零点．
由①②有两个零点．
综上所述，当或时，有1个零点；当时，有2个零点．
【注1】本题第（2）问“时”赋值点的形成过程及其多元性:
①在上，因为，且为常数，所以理应成为直观赋值点的首选．
②在上【难点！】依据单调性，直观赋值点应在右侧充分远处．尝试，失败！
表明该赋值点不够远，再改试，成了！(过程如上) ．显然，赋值点不唯一．
在上，也可考虑(标解)，
或（均不及赋值简便）．
在上也可考虑，．
还可考虑(标解)，并注意到时，(证略) ，．
【注2】在本题结论的牵引下，区间上的三个赋值点一脉相承，
井然有序：因为(当且仅当，等号成立)，所以．
以上赋值均为先直观，后放缩．其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大．所以，当直观赋值受挫时，不妨通过放缩，无悬念地求出赋值点，实现解(证)目标．
现以区间为例 ———
【分析：在右侧充分远处，希望存在，使，为此，应意识到在的表达式中，对起主导作用的那一项是，不宜轻易放缩，放缩的目标应锁定．
依据()(证略) ，，不妨取，
但此路受挫，故须调整放缩的尺度】

思路一：由本题结论，．
．
详解：由本题结论
在上，存在 (以下略)．
思路二：由时，．
的任意性给赋值提供了更为宽松的选择空间：
，
令．
不妨令．
详解：(证略) ，．
今取(以下略)．
【跟踪训练】
1．思考并解答本讲题目1(2)；
2．思考函数赋值问题有哪些依据和方法．

第二讲 赋值的依据和方法
1．赋值的理论依据：
1)不等式的基本性质以及一些简单代数方程、不等式的求解．
2)零点存在定理.基本模式是已知的符号，探求赋值点(假定)使得与异号，则在上存在零点．
3)一些基本的超越不等式，如：
1．；．
2．时，．
3．时，．
4．．
【注】应用上述不等式,一般须给出证明．
2．赋值的应对方略：
2.1赋值的方法：
直观放缩法．其形态是先直观尝试，后放缩证明，其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大．（参阅上节“真题探究”）
放缩求解法．其形态是先适度放缩，然后通过解不等式或方程求出赋值点，其特点是稳妥、可靠，但有时，目标放缩有点难．（参阅上节“真题探究”中的思路一，思路二）
2.2赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保，三个优先 ———
三个确保：
（1）确保参数能取到它的一切值；（2）确保赋值点落在规定区间内；（3）确保运算可行．
三个优先：
（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点(参阅2016届南通一模)；
（3）优先简单运算，如，等．
2.3放缩的分类及其目标：放缩于赋值，如影随形，唇齿相依．
（1）依放缩的依据划分，可分为无条件放缩和条件放缩两类．前者如，，等；后者如时，．时，等；
（2）依赋值点的个数划分，可分为单点式和两点式．前者以解方程为归宿；后者以解不等式为归宿，从某种意义上说，后者是前者受挫时的应急之举．
一般情形下，放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些项；但有些问题中，很难界定“主导”与非“主导”，此时放缩的尺度取决于对题目中各种因素的综合考量———这正是赋值的难点．
例1（2015届南师附中期中考试）已知函数．
（1）略；（2）略；
（3）若曲线：在点处的切线与有且只有一个公共点，求正数的取值范围．
解析：（3）易得切线，代入整理得：，题设等价于函数有且只有一个零点，，其中．【下一步分析：首先讨论恒成立（不可能），及恒成立恒成立．】
当，即时，由，
且当时，，；当时，，．
所以是唯一的极小值点，也是最小值点．

且，故满足题意．
即时．由，．

【下一步分析：应比较两零点与的大小．】
即时，，
，又，所以满足题设．
，即时，当，，，所以．

【接着探究：在 上，，所以在右侧充分远处，
希望存在，使，此外应意识到对起主导作用
的那一项应该是（该项不宜轻易放缩），故放缩的主要目标
是几乎可以忽略不计的“”，事实上，当时，，
所以】
详解：又存在，所以，
．
在内，存在零点，所以至少有两个零点，不合题意．

，即时，在上，，，所以．
【接着探究：在上，，所以在右侧充分近处，
希望存在，使．此外应意识到对起主导作用
的那一项应该是（所以不宜轻易放缩）故放缩的主要目标
是几乎可以忽略不计的“”，事实上，当时，，，所以．】
详解：又存在，并注意到，，，所以在内存在零点，
从而至少有两个零点，不合题意．
综上所述，或．
【附证：：】
例2（上节“题目1（2）”）已知函数．
（1）（3）略．
（2）设，若在上有且只有一个零点，求的取值范围．
正解：(参数扫描)

依题意有唯一零点，于是：
当，不合；
当有唯一零点，符合；
当一方面．
【下一步，分析1：用直观放缩法尝试使，显然
因为，所以只要令且充分小，则，从而
．若为某个负常数,因负数的任意性,无法确保，故须与
有关．不妨改试】
另一方面并注意到(证略)．
，所以在内有唯一零点．
于是时，须无零点，而，所以，即．
记，令当；
当，所以，所以．
综上或．
【注】将零点问题转化为不等式恒成立问题从而使“分参”不依赖于形而凸显其严密性．
【下一步分析2：用放缩求解法求使，显然．
事实上时,,解之】
另一方面,使且时，
所以在内有唯一零点． (以下过程同上)
【下一步分析3：仍用放缩求解法，
时，，取】
另一方面,使且时，所以在内有唯一零点． (以下过程同上)

例3 已知，讨论的零点的个数．
解：记的零点的个数为．的定义域为，，
令，当时，,；当时，，，
所以是的唯一极小值点也是最小值点，即．

当，即时，,故．
当，即时，．
当，即时，(如右图所示)
ⅰ.时，在上,在上，
【途径一】存在，，
由零点定理及的单调性．
【途径二：通过放缩，求解赋值点当时, 】
当且时，，同理．
ⅱ.时，由，所以．
ⅲ.时，．一方面，且，另一方面

【途径一：依据单调性，当时，应有，不妨直观尝试】
注意到时，（证略），存在，
，又图像在定义域内不间断，
所以在和内，各有一个零点，故
【途径二(借助原函数极值求赋值点)】
已证在上，且存在，
．同理
综上所述：当时，没有零点；当或时，有1个零点；
当时，有2个零点．
【注】学生可能出现的认知误区是：当时，（或）．
【跟踪训练】
1．解不等式：，其中为自然对数的底数．
解析：记，则原不等式等价于，
令，

．
当；当．
又一方面，存在另一方面，存在，
所以当且仅当时，从而原不等式的解集为．
2．已知函数．讨论函数的单调性；

(2)若有两个零点,求的取值范围．
解析：易得在,在
(2)①若则,在定义域内最多一个零点,不合．
所以且
此时，一方面使；另一方面，注意到(证略) ．
于是，使．
依据零点定理以及的单调性,可知在和上各有一个零点，
所以的取值范围是．
3．设函数若对任意的成立，求的取值范围．
解：．
1.当时,；
2.当时, ，
所以使得且在内与题设不符.
所以．

第三讲 赋值的若干经典问题
例1（2015.新课标（1）文21）设函数．
（1）讨论零点的个数；（2）略．
解：（1）．
①当时,，故无零点；

②当时零点的个数即零点的个数，记为．
所以在上，所以．又．
【下一步如何寻找正数使?】
途径一(直观放缩法) 【分析】假定，故应将锁定在右侧一点点，
直观尝试后，形成如下的——
详解：取，，依据零点定理，
由,．
途径二(放缩求解法)【分析】时于是当，即时，
．
详解：时，于是当时，
，取．依据零点定理，

由,．
例2（2016.全（1）理21）已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）略．
解析：（Ⅰ）(参数扫描) ．
若，当，当．
一方面,当时；
另一方面,当时——
途径一(标解)存在且，使，
所以在两侧，各有一个零点，满足题意．
途径二【分析：当时,能对起主导作用的那一项显然是，而变化幅度不大，是比较理想的放缩目标．时,
】
详解：时,
，今取，所以在两侧，
各有一个零点，满足题意．
若，当，所以有两零点时，有两零点
有两零点，但
所以不存在两个零点．
综上，的取值范围是．
【注】顺便指出,在同解变形中,巧用升降格,可简化解题过程． (证明:)
例3（2017全（2）文21）设函数．
（1）略；（2）当时，，求的取值范围．
解：（2）．显然（否则若，注意到，则）．

【下一步探求的范围：令恒成立
，，所以，，所以】，记，，所以即
，．于是：
当时，，，，从而；
当时，
途径一【分析当时，
．】
详解：当时，注意到(证略) ，
今取，不合题意.综上，．
途径二：，又，故在上有唯一零点，
且在上，所以不合题意．
综上．

例4 （省竞赛集训题）设数列的通项,证明:．
【分析：联想超越不等式小于…有①；②等．
然后用分项比较法,将待证式两边均表示为从起连续项的和：
整合并分解左边：；
同时将右边化整为零:．
依据②，所以原式获证】
证明：易证，令

．
【跟踪训练】
1．设函数.若方程有解，求的取值范围．
解：方程有解函数有零点．
．
①时，（证略）所以无零点；
②时，（观察！）【下一步分析：如何赋值,使得？
当时,说明:若不能确保
解方程所得到的，则改用两点式,即（参阅(二)例2分析3）】
又且，
由零点定理，有零点．
③时，所以令（易知是的最大值点）
【下一步分析:令,无零点．于是剩下又经观察，所以有零点】
③1.)时,无零点；
③2.) 时，又经观察，所以有零点．
综上所述或．
2．为正常数，函数．
证明：使得当时，恒成立．
证法一易证 (证略)又用代
而.今取，
当时,由得,再由.获证．
证法二易证时在 (证略)
于是，(1)当时,，结论成立．(2)当时，取 (显然)
当时,，结论仍然成立．
综上所述使得当时, 恒成立．
3．已知，（）．
（1）（2）略
（3）当，，若对任意给定的，在区间上总存在，使得，求实数的取值范围．
（3）略解：易得在上递增，在上递减，故，
又，，所以的取值范围（即值域）为．
而过定点，．
【分析：分别令（无解），……】
当时，在上，，单调减，不合题意；
当时，令得:，且当，；时，，并注意到从而有．

【下一步分析:需证明在及上的取值范围均应包含，所以两段上的“赋值”回避不了．】
事实上，一方面在上，须；
另一方面在上，存在使，
所以当时，在两个单调区间上的取值范围均包含，
所以，必存在，，使.
故所求取值范围是．
15