高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案).doc

高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）
1．（本小题满分12分）已知x满足不等式，
求的最大值与最小值及相应x值．

2.（14分）已知定义域为的函数是奇函数
（1）求值；
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

3. （本小题满分10分）
已知定义在区间上的函数为奇函数,且.
(1) 求实数,的值；
(2) 用定义证明:函数在区间上是增函数；
(3) 解关于的不等式.

4. (14分)定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，
(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式
5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x2-2bx+(b≥1)，
(I)求f(x)的最小值g(b)；
(II)求g(b)的最大值M。

6. （12分）设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点.
（1）写出函数的解析式；
（2）若当时，恒有，试确定的取值范围；
（3）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，（）在的最大值为，求的值.
7. （12分）设函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）如果时，有意义，试确定的取值范围；
（3）如果，求证：当时，有.
8. （本题满分14分）已知幂函数满足。
（1） 求整数k的值，并写出相应的函数的解析式；
（2） 对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

9. （本题满分14分）已知函数且
（Ⅰ）若函数的图象经过点，求a的值；
（Ⅱ）当变化时，比较大小，并写出比较过程；
（Ⅲ）若，求的值．
10. （本题16分）已知函数()是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；
(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
11. （本小题满分12分）二次函数的图象经过三点.
（1）求函数的解析式（2）求函数在区间上的最大值和最小值

12.(本小题满分14分)
已知函数,且为奇函数．
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)定义:若函数,则函数在上是减函数,在是增函数.设,求函数在上的值域．

13.(本小题满分16分)
设,,已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性(直接写结论);
(Ⅱ)当时,(i)证明;

14.(本小题满分16分)
设函数的定义域区间为,其中.
(Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为);
(Ⅱ)判断函数的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数,当时,求区间长度的最小值.

1.解：由，∴， ∴，
而
，
当时 此时x==，
当时，此时．
2. 解：（1）由题设，需，
经验证，为奇函数，---------（2分）
（2）减函数--------------（3分）
证明：任取，
由（1）

该函数在定义域上是减函数--------------（7分）
3. 解：(1)由为奇函数,且
则，解得：。
(2)证明：在区间上任取，令,

, , ,
即
故函数在区间上是增函数.
(3)
函数在区间上是增函数
故关于的不等式的解集为.
4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx)<f(x)对x∈R+恒成立，所以
f(x)为R+上的单调减函数
法二：设令

有题知，f(k)<0
所以f(x)在（0，+）上为减函数
法三：设

所以f(x)在（0，+）上为减函数
5解：f(x)=(x-b)2-b2+的对称轴为直线x＝b（ b≥1），
(I) ①当1≤b≤4时，g(b)＝f(b)＝-b2+; ②当b＞4时，g(b)＝f(4)＝16-，
综上所述，f(x)的最小值g(b)＝
(II) ①当1≤b≤4时，g(b)＝-b2+＝-(b-)2+， ∴当b＝1时，M＝g(1)＝-；
②当b＞4时，g(b)＝16-是减函数，∴g(b)＜16-×4＝-15＜-，
综上所述，g(b)的最大值M= -。
6. 解：（1）设点的坐标为，则，即。
∵点在函数图象上
∴，即∴
(2)由题意，则，.
又，且，∴

∵　∴
∵∴，则在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
从而。

（3） 由（1）知，而把的图象向左平移个单位得到的图象，则，∴
即，又，的对称轴为，又在的最大值为，
①令；此时在上递减，∴的最大值为，此时无解；
②令，又，∴；此时在上递增，∴的最大值为，又，∴无解；
③令且∴，此时的最大值为，解得：，又，∴； 综上，的值为.
7解：（1）当时，函数有意义，则，令不等式化为：，转化为，∴此时函数的定义域为
（2）当时，有意义，则，令在上单调递增，∴，则有；
（3）当时，，
设，∵，∴且，则

∴
8解:　（１），
或；当时，，当时，；
或时，．
（２）， ，
开口方向向下，对称轴
又在区间［０，１］上的最大值为５，

9. （Ⅰ）函数的图象经过 ∴，即. 又，所以.
（Ⅱ）当时，; 当时，
因为，，
当时，在上为增函数，
∵，∴. 即.
当时，在上为减函数，
∵，∴. 即.
（Ⅲ）由知，.
所以，（或）.
∴. ∴，
∴ 或 ， 所以， 或 .
10(1)因为为偶函数，
所以，
即 对于恒成立.
于是恒成立,
而x不恒为零，所以. -----------------4
(2)由题意知方程即方程无解.
令，则函数的图象与直线无交点.
因为
任取、R，且，则，从而.
于是，即，
所以在上是单调减函数.
因为，所以.
所以b的取值范围是 ----------------------- 6
(3)由题意知方程有且只有一个实数根．
令，则关于t的方程(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1，则，不合, 舍去；
若，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.
由或－3；但，不合，舍去；而；
方程(*)的两根异号
综上所述，实数的取值范围是． ----------------------- 6
11. 解两点纵坐标相同故可令即将代入上式可得 …………4分
由可知对称轴
1） 当即时在区间上为减函数
………6
2） 当时，在区间上为增函数 …………8分
3）当即时
…………10分
4） 当即时

…………12分

12.(本小题满分14分)
已知函数,且为奇函数．
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)定义:若函数,则函数在上是减函数,在是增函数.设,求函数在上的值域．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，
∵为奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，a=-1 ……………3分
(Ⅱ) =……………3分
设，则当时，， ……………3分
∴
∵当时，函数单调递减；当时，
函数单调递增； ……………2分
∴当时，y的最小值为
当时，，当时，，y的最大值为 ……………2分
∴函数在上的值域是。 ……………1分
13.(本小题满分16分)
设,,已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性(直接写结论);
(Ⅱ)当时,(i)证明;
(ii)若,求的取值范围.
解：（Ⅰ）由，得
当时，分别在上是增函数； ……………2分
当时，分别在上是减函数； ……………2分
（Ⅱ）（i）∵， …………2分
∴，∴ ……………1分
（ii）∵
∴由（i）可知，， ……………2分
①当时，，H=G=a，的取值范围为. ……………2分
②当时，∵，∴
由（Ⅰ）可知，在上是增函数，∴的取值范围为 ……2分
③当时，∵，∴
由（Ⅰ）可知，在上是减函数，∴的取值范围为 ……2分
综上，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为。 ……………1分
14.(本小题满分16分)
设函数的定义域区间为,其中.
(Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为);
(Ⅱ)判断函数的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数,当时,求区间长度的最小值.
解：（Ⅰ）由，得， ……………2分
∴。 …………1分
（Ⅱ）在上是增函数，在上是减函数， ……………1分
设，则…………2分
∵，∴，∴ ……………2分
∴在上是增函数 ……………1分
同理可证，在上是减函数 ……………1分
（Ⅲ）∵，∴ ……………1分
由（Ⅱ）可知，在上是增函数，在上是减函数
的最小值为中较小者； ……………2分
∵……2分
∴的最小值为 ……………1分