1.数理方程中典型方程和定解条件的推导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,数学物理方法,一些典型方程和定解条件的推导,第一章,Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions,思路,数学物理方程与特殊函数,2,一,.,均匀弦的横振动方程的建立,二,.,传输线方程,(,电报方程,),的建立,三,.,电磁场方程的建立,四,.,热传导方程的建立,提要：,五,.,举例,3,数学物理方程的建立：,从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联,数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。,“,一语道破！”,适用范围：,这是从事科学研究的基本,方法与路径。,4,5,第一章 一些典型方程和定解条件的推导,1.1,基本方程（泛定方程）的建立,物理模型,（现象、过程）,数学形式表述,（建立偏微分方程并求解）,目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。,步骤,：,(1,）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；,（,2,）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；,（,3,）忽略次要因素，抓住主要矛盾；,（,4,）化简整理，得到偏微分方程。,不含初始条件,不含边界条件,6,物理状态描述,:,设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，,不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,任意截取一小段，并抽象性夸大。,弦的振动：虽然经典，但,极具启发性。,一,.,均匀弦的横振动方程的建立,7,X,1,、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2,、微元,ds,的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,隔离物体法,8,X,1,、建立坐标系 选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2,、微元,ds,的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,(1),(2),9,马克思在,数学手稿,中指出：微分是,“,扬弃了的或消失了的差值,”,。哲学上的,“,扬弃,”,是指,“,既被克服又被保存,”,，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子,y,和分母,x,都被扬弃了，就是说，它们都消失为,0,，从而有限大小的,x,和,y,都被克服，差商,但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。,我们记扬弃了的（或消失了的）,那末，导数就是,导数,10,从运动的观点看导数的定义,导数,关于函数的某种形式的极限 （实质）,函数在某点上的变化率 （数学结构）,某点上切线的斜率 （几何意义）,导数,“,只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅,表明状态，并且也表明过程：运动。”,摘恩格斯,.,自然辩证法,11,3,、忽略与近似,(1),(2),ds,T,T,o,对于小振动：,所以有：,12,3,、忽略与近似,(1),(2),对于小振动：,于是（,1,）式变为：,代入（,2,）式变为：,一般说来，将,g,略去，上式变为,13,14,上式实际上可以明确表示为：,令 ，于是有：,一维波动方程,4,、整理化简,15,L,二,.,传输线方程,(,电报方程,),的建立,现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有,分布参数,的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以,R,、,L,、,C,、,G,表示。,对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（,Kirchhoff,）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著,辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，,因而同一支路中电流呈现瞬态变化。,16,物理状态描述,:,设如图传输线是,分布参数电路,，即传输线上电阻,R,、电感,L,、电容,C,和电导,G,是按单位长度计算其对应的物理量，并且在,x+dx,范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为,dx.,17,电容元件：,电感元件：,换路定理,:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,电路准备知识,18,+,L,L,C,C,+,-,与同学们商榷的,几个,问题：（,P4-5,）,（,1,）设某时刻,t,，输入与输出端的对应关系是否合理,?,（,2,）电流 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？,（,3,）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意,P5.-1.5,式）？,”,是否合理？,“,另外,由基尔霍夫第一定律,流入,节点,的电流应等于流出该,节点,的电流,即,19,梁昆淼先生的做法：,“,今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以,R,，,L,，,C,，,G,。于是,亦即,亦即,将 作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了 而得 的方程,同理,消去,得到 的方程,20,设某时刻,t,，对应关系如下：,左端：；右端,:,+,L,L,C,C,+,-,输入端,输出端,参阅：丘关源主编,电路,P426-430,，第十八章，均匀传输线。,21,+,L,L,C,C,+,-,由基尔霍夫电压定律,:,由基尔霍夫电流定律,:,电容上的电流：,电感上的电压：,流入,流出,22,+,L,L,C,C,+,-,由基尔霍夫电流定律,:,电容上的电流：,电感上的电压：,整理后得到：,相对于函数的变化率，略去无穷小量,dx,得,23,由基尔霍夫电压定律,:,由基尔霍夫电流定律,:,(1.4),(1.5),24,25,基本电磁场量 场的物质方程,Maxwell,方程,电场强度,磁场强度,电感应强度,磁感应强度,介质的介电常数,导磁率,导电率,传导电流的面密度,电荷的体密度,Vector difference operator,三,.,电磁场方程的建立,26,目标,:,利用上述关系,分别解出 、。,由,将 代入上式，得,对上式两边求旋度，得,再将 代入上式，得,这是一个关于磁场强度的二阶微分方程,方法之一,27,为进一步化简，利用,Hamilton,算子的运算性质,磁场强度、磁感应强度的散度为零。,如法炮制，可得关于电场强度的方程,如果介质不导电（,=0,），,上述方程简化为：,三维波动方程,将 代入上式，得,28,目标,:,建立关于电位,u,的方程,由电感应强度 与电场强度 的定义知：,（电荷体密度）,而电场强度与电位之间的关系，由下式确定,由此可得：,依据,Hamilton,算子的运算性质：,这个非齐次方程称为泊松（,Poisson,）方程,若静电场是无源的，即 ，上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯（,Laplace,）方程,上式可写成,方法之二,29,数学准备知识,30,31,32,33,34,35,静电场方程,泊松,(Poisson),方程,方法之三,36,37,物理模型,:,均匀且各向同性的导热体,在传热过程中所满足的微分方程,.,研究对象,:,热场中任一闭曲面,S,体积为,V,热场,V,(,体积,),S,(,闭曲面,),t,时刻,V,内任一点,M(x,y,z),处,的温度为,u(x,y,z,t).,M,曲面元,ds,的法向,(,从,V,内,V,外,),ds,数学表述为,：,四,.,热传导方程的建立,物理规律,:,由热学的,(Fourier),实验可知,:,dt,时间之内,流经面元,ds,的热量,dQ,与,时间,dt,成正比；,曲面面积,ds,成正比；,温度,u,沿曲面法方向 的,方向导数 成正比。,38,关于双侧曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲线如图所示,小常识,39,M,ds,V,(,体积,),S,(,闭曲面,),热场,40,M,ds,V,(,体积,),S,(,闭曲面,),热场,数学表述为：,从,t,1,t,2,通过曲面元,S,流入区域,V,的热量为,必然等于,V,内各点所吸收的热量,(,热量守恒,),上式中的 ，在热学中的意义？,为何上式左边的“,”,号又不见了？,41,数学处理：由于,S,为闭曲面，假设,u(x,y,z),具有一阶连续偏导数,那么,依据奥,高公式（高斯公式）,因此有：,42,由于,t,1,t,2,以及区域,V,的任意性,且被积函数为连续,因此有,若令,:,那么上述方程可写为,三维热传导方程,43,讨论,:,(1).,若,V,内有热源,强度为,F(x,y,z,t),则热传导方程为,其中,(2).,若导热体为一根细杆,则,(3).,若导热体为一薄片,则,44,(4).,若热场为一稳恒场,(,温度趋于平衡状态,),则,与之对应有,稳恒温度场内的温度满足,Laplace,方程,.,(5).,在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过,程时,若扩散系数为常量，那么所导出的 扩散方程，形式上与热传导,方程相同。即,这里,扩散系数,浓度,45,一,.,均匀弦的横振动方程,二,.,传输线方程,(,电报方程,),一维波动方程,高频传输线方程,三,.,电磁场方程,三维波动方程,四,.,热传导方程,(,场点,t,时刻的温度分布,),三维热传导方程,(,振幅,),(,电流、电压,),46,1.2,初始条件与边界条件,上一节谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将,具体条件 数学表述出来。,所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。,从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。,一、初始条件,系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。,（,1,）弦振动,47,（,2,）热传导,特别说明：,Poisson,方程，,Laplace,方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，,可不提初始条件。,列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明,整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！,48,二、边界条件,具体物理问题的边界约束状态。,以弦振动为例，弦振动时，其端点（以,x=a,表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类,右端点在振动过程中始终保持不动。,（,1,）固定端（右端）,（,2,）自由端（右端）,右端点在振动过程中不受,u,方向的外力，从而这,个端点在位移方向上的张力为,0,。,49,（,3,）弹性支承端,50,又如热传导问题：,V,(,体积,),S,(,闭曲面,),M,ds,51,52,53,本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。,第一类边界条件：,物理条件直接规定了,u,在边界上的值，如,第二类边界条件,：,物理条件并不直接规定了,u,在边界上的值，而是规定了,u,的法向微商在,边界上的值，如,第三类边界条件：,物理条件规定了,u,与,u,n,在边界上值之间的某个线性关系，如,54,1.3,定解问题的提法,1.,二阶线性偏微分方程的解,二阶线性偏微分方程的最一般形式为（,n,个自变量）,对于只有两 个自变量的情况，上式则变化为,（,1.33,）,（,1.34,）,线性偏微分方程（,1.33,）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。,55,56,结论：如果一个函数,u,，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程，,使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。,2.,几个名词简介,57,3.,定解问题的稳定性与适定性,物理问题“翻译”为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！,（,1,）解的存在性,定解问题是否有解。,（,2,）解的唯一性,是否只有一个解。,（,3,）解的稳定性,定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。,方法：试算,+,实验,本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。,“+”,拟合,上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。,58,59,60,为什么,?,61,为什么,?,小技巧,!,微分性质的不变性,.,62,63,64,方法之二,65,66,设有空间两点，若以,M,1,为始点，另一点,M,2,为终点的线段称为有向线段,.,通过原点作一与其平行且同向的有向线段,.,将与,Ox,Oy,Oz,三个坐标轴正向,的夹角,分别记作,.,这三个角,称为有向线段的方向角,.,则其方向角也是唯一确定的。,其中,0,0,0.,若有向线段的方向确定了，,方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。,67,等温线或等温面,68,等温线或等温面,69,等温线或等温面,70,例,.,设长为 的均匀细弦，两端固定，初始位移为,0,。开始时，在,处受到冲量为 的作用，试写出其定解问题。,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为：,泛定方程（,1,）,由两端固定，知：,边界条件（,2,）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为,0,，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于 点周围足够小的 ，弦段,71,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为,0,，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,质量,速度,冲量：力的时间作用效应。,动量定理：动量的改变,=,冲量的作用。,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。,对于 点周围足够小的 ，弦段,由此可见：初始条件为,初始条件（,3,）,72,最后可得定解问题,泛定方程（,1,）,边界条件（,2,）,初始条件（,3,）,73,74,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为：,泛定方程（,1,）,由两端固定，知：,边界条件（,2,）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为,0,，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于 点周围足够小的 ，弦段,75,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为,0,，知,由开初时，在 处受到冲量 的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于 点周围足够小的 ，弦段,质量,速度,由此可见：初始条件为,初始条件（,3,）,冲量：力的时间作用效应。,动量定理：动量的改变,=,冲量的作用。,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。,76,例,有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必定引致邻段的压缩或伸,长，这种伸缩传开了去，就有纵波沿着杆传播。试导出它的振动方程。,分析：,77,另附,78,解 泛定方程的推导，设杆的横截面积为,S,，杨氏模量为,E,，密度为,。,79,解 泛定方程的推导，设杆的横截面积为,S,，杨氏模量为,E,，密度为,。,如图建立坐标系，,并选取任意微元。,由,Hooke,定律，微元所受到的弹性力为,依据牛顿运动定律，得,80,这就是杆在平衡位置，具有横坐标为 的横截面上的纵向位移量 所,满足的偏微分方程。它是一维齐次波动方程。,（,1,）泛定方程,（,2,）初始条件,81,（,3,）边界条件,振动问题在平衡位置处的,运动特征,82,综合起来，定解问题应为：,（,1,）泛定方程,（,2,）初始条件,（,3,）边界条件,定解问题,83,84,85,初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！,边界条件一定要在边界上选取！,86,第一类边界条件：,物理条件直接规定了,u,在边界上的值，如,第二类边界条件,：,物理条件并不直接规定了,u,在边界上的值，而是规定了,u,的法,向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：,物理条件规定了,u,与,u,n,在边界上值之间的某个线性关系，如,87,