高中数学【配套Word版文档】2.2函数的定义域、值域及解析式.doc

§2.2　函数的定义域、值域及解析式
2014高考会这样考　1.考查函数定义域、值域的求法；2.考查函数解析式的应用；3.和其他知识相结合，考查函数概念．
复习备考要这样做　1.掌握函数定义域的几种情形；2.理解求函数解析式的基本方法；3.和函数最值相结合求函数值域．

1． 函数的定义域
(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．
(2)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式组；
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零．
②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.
③一次函数、二次函数的定义域为R.
④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
⑤y＝tan x的定义域为.
⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
2． 函数的值域
(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．
(2)基本初等函数的值域
①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.
②y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．
④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.
⑥y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]．
⑦y＝tan x的值域是R.
3． 函数解析式的求法
(1)换元法；
(2)待定系数法；
(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．
(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
[难点正本　疑点清源]
1． 函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．
2． (1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．
(2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．
(3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．

1． (2012·山东改编)函数f(x)＝＋的定义域为____________．
答案　(－1,0)∪(0,2]
解析　由得－1<x≤2，且x≠0.
2． 设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)＝________.
答案　2x＋7
解析　由g(x)＝2x＋3，知f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
3． 若f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则可写出满足条件的一个函数解析式f(x)＝2x.类比可以得到：若定义在R上的函数g(x)，满足(1)g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)；(2)g(1)＝3；(3)∀x1<x2，g(x1)<g(x2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为__________．
答案　g(x)＝3x
解析　由①知g(x)应该是指数函数模型，结合②③知g(x)＝3x.抽象离不开具体，对于一些常见的恒等式，其对应的函数模型应该熟悉．如：一、指数函数模型，对应的性质为：f(m＋n)＝f(m)·f(n)或f(m－n)＝；二、对数函数型，对应的性质为：f(mn)＝f(m)＋f(n)或f()＝f(m)－f(n)；三、正比例函数模型，对应的性质为：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；四、余弦函数型，对应的性质为：f(m＋n)＋f(m－n)＝2f(m)f(n)．
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为___________________．
答案　(0，＋∞)
解析　由3x>0知3x＋1>1.
又f(x)在(0，＋∞)为增函数且f(1)＝0，
∴f(x)＝log2(3x＋1)>0.
5． 已知f＝，则f(x)＝__________.
答案　 (x≠0)
解析　令＝t，则x＝且t≠0，
∴f(t)＝＝，
即f(x)＝(x≠0).

题型一　求函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为______________．
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是____________．
思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．
答案　(1)(－1,1)　(2)[0,1)
解析　(1)由，得－1<x<1.
(2)依已知有
解之得0≤x<1，定义域为[0,1)．
探究提高　(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
(1)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．
答案　
解析　f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，符合条件．
②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×3<0，
即m(4m－3)<0，∴0<m<.
综上所述，m的取值范围是.
(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________．
答案　[1,3]
解析　由得1≤x≤3.
故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
题型二　求函数的值域
例2　求下列函数的值域：
(1)y＝x2＋2x (x∈[0,3])；
(2)y＝；
(3)y＝x－；
(4)y＝log3x＋logx3－1.
思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法．
解　(1)(配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x (x∈[0,3])的值域为[0,15]．
(2)(分离常数法)
y＝＝＝1－.
因为≠0，所以1－≠1，
即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
(3)方法一　(换元法)
令＝t，则t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
方法二　(单调性法)
容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以y≤f＝，即函数的值域是.
(4)(基本不等式法)
函数定义域为{x|x∈R，x>0，且x≠1}．
当x>1时，log3x>0，
于是y＝log3x＋－1≥2－1＝1；
当0<x<1时，log3x<0，于是
y＝log3x＋－1＝－－1
≤－2－1＝－3.
故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
探究提高　(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
求下列函数的值域：
(1)y＝；　(2)y＝2x－1－.
解　(1)方法一　(配方法)
∵y＝1－，
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴0<≤，∴－≤y<1.
∴函数的值域为.
方法二　(判别式法)
由y＝，x∈R，
得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.
∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
解得－≤y≤1.
综上得－≤y<1.∴函数的值域为.
(2)方法一　(换元法)
设＝t，则t≥0，x＝，
于是f(x)＝g(t)＝2·－1－t
＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，
显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
所以g(t)≤g(0)＝，
因此原函数的值域是.
方法二　(单调性法)
函数定义域是，
当自变量x增大时，2x－1增大，减小，
所以2x－1－增大，
因此函数f(x)＝2x－1－在其定义域上是一个单调递增函数，
所以当x＝时，函数取得最大值f＝，
故原函数的值域是.
题型三　求函数的解析式
例3　(1)已知f＝lg x，求f(x)；
(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．
解　(1)令t＝＋1，则x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x>1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
探究提高　函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
给出下列两个条件：
(1)f(＋1)＝x＋2；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
解　(1)令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1 (x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，
∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴，∴，
∴f(x)＝x2－x＋3.

函数问题首先要考虑定义域

典例：(14分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．
审题视角　(1)f(x)的定义域；(2)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域．
规范解答
解　∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，
要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，
∴1≤x≤3，[4分]
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．
又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[8分]
∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，
∴ymax＝(1＋3)2－3＝13，ymin＝(0＋3)2－3＝6.[12分]
∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[14分]
温馨提醒　(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．
(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．
(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.

方法与技巧
1． 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．
2． 函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．
3． 函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．
失误与防范
1． 求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．
函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题中的最值的求法．
2． 对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.

A组　专项基础训练
(时间：35分钟，满分：62分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1． 若f(x)＝，则f(x)的定义域为____________．
答案　
解析　要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝log1，
∴0<2x＋1<1，∴－<x<0.
2． (2012·福建改编)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为________．
答案　0
解析　根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
3． 已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
答案　6
解析　由f(1)＝f(2)＝0，得，
∴，∴f(x)＝x2－3x＋2.
∴f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.
4． 已知f＝，则f(x)的解析式为____________．
答案　f(x)＝ (x≠－1)
解析　令t＝ (t≠－1)，由此得x＝，所以f(t)＝＝，从而f(x)的解析式为f(x)＝ (x≠－1)．
5． 若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案　[－1,0]
解析　由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立．
∴x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
6． 若函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域是__________．
答案　
解析　由－1≤log2x≤1得log2≤log2x≤log22，
由y＝log2x在(0，＋∞)上递增，得≤x≤2.
7． 若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是__________．
答案　[－5，－1]
解析　∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3，
∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，∴－5≤F(x)≤－1.
二、解答题(共27分)
8． (13分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合N，求：
(1)集合M、N；(2)集合M∩N，M∪N.
解　(1)M＝{x|2x－3>0}＝，
N＝＝{x|x≥3或x<1}；
(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝{x|x<1或x>}．
9． (14分)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
∴，解得.
∴f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)
＝(x4－3x2＋2)＝2－，
当x2＝时，y取最小值－.
∴函数y＝f(x2－2)的值域为.
B组　专项能力提升
(时间：35分钟，满分：58分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1． (2012·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(0，]
解析　要使函数f(x)＝有意义，则
解得0<x≤.
2． 设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是____________．
答案　[0，＋∞)

解析　f(x)的图象如图．
g(x)是二次函数，且f(g(x))的值域是[0，＋∞)，∴g(x)的值域是[0，＋∞)．
3． 设函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则常数a的取
值范围是______________．
答案　a≥2或a≤－1
解析　易知两段函数都是增函数，当x>2时，y>4＋a；当x≤2时，y≤2＋a2，要使f(x)的值域为R，则4＋a≤2＋a2，解得a≥2或a≤－1.
4． 已知f＝x2＋，则f(3)＝________.
答案　11
解析　∵f＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
5． 设函数g(x)＝x2－2 (x∈R)，f(x)＝， 则f(x)的值域是________________．
答案　∪(2，＋∞)
解析　由x<g(x)可得x<－1或x>2，
由x≥g(x)可得－1≤x≤2；
∴f(x)＝
由f(x)的图象可得：
当x<－1或x>2时，f(x)>f(－1)＝2，
当－1≤x≤2时，f≤f(x)≤f(2)，
即－≤f(x)≤0，∴f(x)值域为∪(2，＋∞)．
6． 设x≥2，则函数y＝的最小值是________．
答案　
解析　y＝，设x＋1＝t，则t≥3，那么y＝＝t＋＋5，在 区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t＝3时，函数取得最小值即ymin＝.
二、解答题(共28分)
7． (14分)已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6 (a∈R)．
(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解　(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，
∴2a2－a－3＝0，∴a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝8(2a2－a－3)≤0.∴－1≤a≤.∴a＋3>0，
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－2＋ .
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)．即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为.
8． (14分)已知定义在[0,6]上的连续函数f(x)，在[0,3]上为正比例函数，在[3,6]上为二次函数，并且当x∈[3,6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
解　由题意，当x∈[3,6]时，
可设f(x)＝a(x－5)2＋3 (a<0)．
∵f(6)＝2，∴a(6－5)2＋3＝2，解得a＝－1，
∴f(x)＝－(x－5)2＋3＝－x2＋10x－22.
当x∈[0,3]时，设f(x)＝kx (k≠0)．
∵x＝3时，f(x)＝－(3－5)2＋3＝－1，
∴－1＝3k，k＝－，∴f(x)＝－x.
故f(x)＝