复合函数求偏导-文档资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复合函数求偏导,一、复合函数的链式法则,二、全微分形式不变性,1,一、复合函数的链式法则,设,z=f,(,u,v,)是变量,u,，,v,的函数，而,u,，,v,又是,x,，,y,的,函数，即 ，如果能构成,z,是,x,y,的,二元复合函数,如何求出函数,z,对自变量,x,，,y,的偏导数呢？,2,定理8.5,设函数 在点(,x,y,)处有偏,导数，而函数,z,=,f,(,u,v,)在对应点(,u,v,)有连续偏导数，则,复合函数 在点(,x,y,)处的偏导数,存在，且有下面的,链式法则,：,复合函数的结构图是,3,公式(1)给出,z,对,x,的偏导数是,公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数,是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即,(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量,x,到达,z,路径的个数.函数结构中自变量,x,到达,z,的路径有两条.第一条是 ，第二条是 ，所以公式(*)由两项组成.,4,(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路,径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 ,有一个函数,z,和一个中间变量,u,，因此，第一项就是两,个偏导数 与 的乘积.,复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.,5,下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏导数公式.,1、设,z,=,f,(,u,v,w,)有连续偏导数，而,都有偏导数，求复合函数,的偏导数 .,6,由结构图看出自变量,x,到达,z,的路径有三条，因此,由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变,量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应,自变量的偏导数乘积，即,同理可得到，,7,2.设函数,w,=,f,(,u,v,)有连续偏导数，而,都有偏导数，求复合函数,的偏导数 .,8,借助于结构图，可得,9,3.设函数,w,=,f,(,u,v,)有连续偏导数，而,可导，则复合函数,只是自变量,x,的函数，,求,z,对,x,的导数 .,可得,10,在这里，函数,z,是通过二元函数,z,=,f,(,u,v,)而成为,x,的一元复合函数.因此，,z,对,x,的导数 又称为,z,对,x,的全导数.对公式(5)应注意，由于,z,，,u,，,v,这三个函数都是,x,的一元函数，故对,x,的导数应写成 ，而不能写成 .,公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数,u,v,的自变量都缩减为一个，即公式(2)就变成(5).更特殊地，如果函数,z,不含,v,，只是,u,的函数，于是公式(5)变成,这正是一元复合函数的求导公式.,11,4.设函数,z,=,f,(,x,v,)有连续偏导数，有偏导数，求复合函数 的偏导数 .,自变量,x,到达,z,的路径有二条，第一路径上只有一个函数，即,z,是,x,的函数.第二路径上有两个函数,z,和,v,.自变量,y,到达,z,的路径只有一条，于是 的偏导数公式应是：,12,注意：,这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的,y,看作常量而对自变量,x,求偏导数，而 是将函数,f,(,x,v,)中的,v,看常量而对第一个位置变量,x,求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为 .,13,例1,设 求,解法1,得,14,解法2,对于具体的二元复合函数，可将中间变量,u,，,v,，用,x,，,y,代入，则得到,，,z,是,x,，,y,二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得,15,例2,设 ，其中,f,(,u,v,)为可微函数，求,解,令 ，可得,其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数,f,仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.,16,例3,设 ，其中,f,(,u,v,w,)为可微函数，求,解,令 可得,17,例4,设 求,解,可得,在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的.,显然不等于 .,18,例5,设 求,解,得,19,例6,设,z,=,f,(,x,x,cos,y,)，其中,f,(,u,v,)为可微函数，求,解,令,v,=,x,cos,y,，得,求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用链式法则对它再求偏导数即可.,20,例7,设 ，求证：,证,21,由于,x,，,y,，,z,在函数中的地位是相同的，所以同样有,因此有,22,二、全微分形式不变性,与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论,u,，,v,是自变量还是中间变量，函数,z,=,f,(,u,v,)的全微分的形式是一样的.即,这个性质称为,全微分的形式不变性,.,事实上，设,z,=,f,(,u,v,)有连续偏导数，当,u,，,v,是自变量时，显然(7)式成立.,23,如果,u,，,v,是中间变量，即 ，且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数,的全微分为,其中,将 代入上式，得,24,即，当,u,，,v,是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性.,25,例如，,利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式，求函数的全微分会更简便些.,利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，,26,例8,求 的全微分及偏导数.,解,27,例9,设 ，其中,f,(,u,v,)有连续偏导数，求 及,解,设,28,