四年级奥数详解蝴蝶模型.doc

详解蝴蝶模型
同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总结，推导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。
首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。
一、任意四边形蝴蝶模型

如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线，会出现S1S3和S2S4两只蝴蝶。
我们有两个结论：
（1）S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。想想特殊的四边形有哪些，这个结论在它们身上同样成立吗？
（2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO:OB(大三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：△ABD的伤口是AO，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比就是AO:OC啦！)

二、梯形蝴蝶模型

如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是
（1）因为梯形也是四边形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）；
（2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）；
（3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之比为

(注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方份！而且切记切记：该结论只能通过上下底的比求出四个小三角形的面积份数，而不能直接求面积)；
其实知识点就这么多，关键是怎么运用。
蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？
首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所以我们看到交叉一定要连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四边形呀！
其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。有平行那肯定是梯形啦！
再次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之比标份数的结论。若图中有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来求解了。
举个例子：

ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面积是6平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积
首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。如下图：

图中ACED就是我们要研究的梯形蝴蝶模型。因为△ODE面积是6平方厘米，所以△AOC的面积也是6平方厘米。接下来我们该求△ABC的面积了。怎么办呢？我们应该从BC:CE=3:2这个条件入手，有边长比，那一般就能找梯形上下底之比，很多同学会卡在这里，因为他们忽视了ABCD是平行四边形这个条件。BC:CE=3:2，所以AD：CE也是3：2,根据梯形蝴蝶模型的第三个结论，我们可以写出S△AOD：S△OCE：S△AOC:S△ODE=9：4：6：6（注意平方），△ODE的面积是6平方厘米，对应6份，所以一份是1平方厘米。AOD的面积就是9平方厘米。而S△ABC=S△OCD（都是平行四边形ABCD的一半），因此能得到△ABC也是9+6=15平方厘米。所以阴影就是S△ABC+S△AOC=15+6=21平方厘米。
当然也可以利用BC:CE=3:2=S△ABC:S△ACE（等高模型），而S△ACE的面积是S△AOC+S△OCE=6+4=10平方厘米，也能得到S△ABC的面积是15平方厘米。
注意：梯形蝴蝶模型常常结合等高或者一半模型哦！
同学们，你们明白了吗？