高中数学必修二第七章复数知识点总结全面整理(带答案).pdf

高中数学必修二第七章复数知识点总结全面整理高中数学必修二第七章复数知识点总结全面整理 单选题 1、复数i2+i3+i2022=（）AiB2 iC2+iD1 答案：B 分析：由复数的乘方化简计算 i2+i3+i2022=(1)+(i)+(1)=2 i 故选：B 2、已知=2+i，则i1+i=（）A1 2iB2+2iC2iD2i 答案：D 分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由=2+i，得=2 i，所以i1+i=2ii1+i=2(1i)(1i)(1+i)(1i)=2(12i+i2)2=2i.故选：D.3、已知复数1，2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,)，若12是纯虚数，则=（）A2B12C12D2 答案：A 分析：根据复数的几何意义，可得1=2+,2=1+，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：1=2+,2=1+，所以12=(2+)(1+)=2+2+2=2 +(2+1)，又12是纯虚数，所以2 =02+1 0，解得=2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.4、已知复数=1+，是z的共轭复数，若a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A-2B-1C1D2 答案：A 分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为=1+，所以=1 ，因此=2+=2+=1 ，所以2=1且=1,则=2,=2.故选：A 5、已知=2 i，则(+i)=（）A6 2iB4 2iC6+2iD4+2i 答案：C 分析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.因为=2 ，故=2+，故(+)=(2 )(2+2)=4+4 2 22=6+2 故选：C.6、若i(1 )=1，则+=（）A2B1C1D2 答案：D 分析：利用复数的除法可求，从而可求+.由题设有1 =1i=ii2=i，故=1+i，故+=(1+i)+(1 i)=2，故选：D 7、在ABC中，已知D是AB边上的一点，若=13+，则 等于（）A13B23C12D34 答案：B 分析：利用共线向量定理求解.因为D是AB边上的一点，所以A，B，D三点共线，所以=，则 =，因为=13+，所以(+23)(+)=0，因为A，B，C不共线，所以+23=0+=0，解得=23，故选：B 8、已知复数12满足|1 2|=(0)，复数(1 ,)满足|1|=或者|2|=，且|对任意1 0)，所以|=|=，又(1 ,)满足|1|=或者|2|=，则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，因为|，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60，如图所示，则最多有 10 个可能的终点，即n=10.故选：C 小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.多选题 9、下列命题为真命题的是（）A若1,2互为共轭复数，则12为实数 B若 i 为虚数单位，n为正整数，则i4+3=i C复数5i2的共轭复数为2 i D复数为2 i的虚部为1 答案：AD 分析：设1=+i,2=i做乘法运算可判断 A；根据复数i乘方的周期性计算可判断 B；化简5i2求出共轭复数可判断 C，由复数的概念可判断 D，设1=+i,2=i，则12=2+2为实数，A 选项正确.i4+3=i3=i，B 选项错误.5i2=5(2i)(2+i)(2i)=2 i，其共轭复数是2+i，C 选项错误.2 i的虚部为1，D 选项正确.故选：AD.10、下列结论正确的是（）A若复数满足+=0，则为纯虚数 B若复数1，2满足|1+2|=|1 2|，则12=0 C若复数满足1，则 D若复数满足|3i|=1，则|2,4 答案：CD 分析：直接利用复数代数形式的运算法则，复数的模，复数的几何意义结合选项判断各选项即可 解：对于 A：设=+i(,)，则=i，由于+=0，所以=0，故=i，当=0时，为实数，故 A 错误；对于 B：设1=+i，2=+i,a,b,c,dR，所以|1+2|=(+)2+(+)2，|1 2|=()2+()2，由于复数1，2满足|1+2|=|1 2|，所以(+)2+(+)2=()2+()2，则4+4=0，整理得+=0 所以12=(+i)(+i)=()+(+)i 0，故 B 错误；对于 C：设=+i,，所以1=1+i=i(+i)(i)=i2+2，由于复数满足1，所以=0，故 ，故 C 正确；对于 D：设=+i(,)，因为|3i|=1，所以2+(3)2=1(0)，所以该曲线为以(0,3)为圆心，1 为半径的圆，故|=4，|=3 1=2，所以|2，4，故 D 正确 故选：CD 11、18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|=|，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（）A若|=1，则=1或=i B复数6+5i与3+4i分别对应向量 与，则向量 对应的复数为 9+i C若点的坐标为(1,1)，则对应的点在第三象限 D若复数满足1|2，则复数对应的点所构成的图形面积为 答案：BCD 分析：由复数的几何意义对四个选项依次判断即可 对于选项 A，设=+i，只需2+2=1即可，故错误；对于选项 B，复数6+5i与3+4i分别表示向量 与，表示向量 的复数为6+5i (3+4i)=9+i，故正确；对于选项 C，点的坐标为(1,1)，则对应的点为(1,1)，在第三象限，故正确；对于选项 D，若复数满足1|2，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为 1，外圆半径为2的圆环上，故所构成的图形面积为2 =，故正确；故选：BCD 填空题 12、已知复数满足 (2+i)=1+2i，则=_.答案：45+35i 分析：由复数的除法运算即可求解.由 (2+i)=1+2i可得=1+2i2+i=(1+2i)(2i)(2+i)(2i)=2+3i2i25=4+3i5=45+35i，所以答案是：45+35i.13、欧拉公式ei=cos+isin（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，若将其中取作就得到了欧拉恒等式ei+1=0，它将两个超越数自然底数e，圆周率，两个单位一虚数单位i，自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一 0 联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数=3212i，则3=_.答案：i 分析：本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理 解法一：=3212i则2=(3212i)(3212i)=1232i 3=(1232i)(3212i)=i；解法二：=3212i=cos116+sin116 3=cos112+isin112=i 所以答案是：i 14、已知 12i是方程x2mx2n0(m，nR)的一个根，则mn_.答案：92 分析：将=1+2代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(3 +2)+(4 2)=0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；解：将=1+2代入方程x2mx2n0，有(12i)2m(12i)2n0，即1+4 4 2+2=0，即(3 +2)+(4 2)=0，由复数相等的充要条件，得3 +2=04 2=0 解得=52=2 故+=2+52=92.所以答案是：92 解答题 15、计算：（1）(13i)6(13i)152i(1i)12(12+12i)2；（2）i2002+(2+2i)8(21i)50+23+i1+23i+(2+2i13i)8 答案：（1）513；（2）247+83i 分析：（1）借助(1232i)3=1，(1 i)2=2i以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i)2=2i，(1 i)2=2i，i4=1，(1232i)3=1以及复数的四则运算，即得解.（1）由于(1232i)3=(1232i)2(1232i)=(1232i)(1232i)=1(1 i)2=2i 故(13i)6(13i)152i(1i)12(12+12i)2=26(1)2215(1)52i(2i)612i=26+21526=1+29=513（2）由于(1+i)2=2i，(1 i)2=2i，i4=1，(1232i)3=1 故i2002+(2+2i)8(21i)50+23+i1+23i+(2+2i13i)8=i5004+2+24(1+i)8225(1 i)50+(23+i)(1 23i)(1+23i)(1 23i)+28(1+i)828(1232i)8=1+24(2i)4225(2i)25+i+28(2i)428(1)2(1232i)2=1+24 2 4i+i+24(12+32i)=247+83i