【数学】2019年四川省内江市中考真题(解析版).doc

2019年四川内江市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分.）
1．﹣的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．﹣268000用科学记数法表示为（　　）
A．﹣268×103 B．﹣268×104 C．﹣26.8×104 D．﹣2.68×105
3．下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件为必然事件的是（　　）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）2＝m6
C．m3+m3＝2m3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
7．在函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
9．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
10．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
11．若关于x的代等式组恰有三个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．1≤a＜ B．1＜a≤ C．1＜a＜ D．a≤1或a＞
12．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（　　）

A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．分解因式：xy2﹣2xy+x＝　 　．
14．一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是　 　．
15．若+＝2，则分式的值为　 　．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）
17．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．

18．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．

19．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调査”），王老师所调查的4个班共征集到作品　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

20．（9分）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）

21．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）
22．若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝　 　．
23．如图，点A、B、C在同一直线上，且AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝，则S2+S3＝　 　．

24．若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是　 　．
25．如图，在菱形ABCD中，sinB＝，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是　 　．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）
26．（12分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．

27．（12分）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB＝BC；

（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；

（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

28．（12分）两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；

（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】
一、选择题
1．C
【解析】﹣的相反数是，故选：C．
2．D
【解析】数字﹣268000用科学记数法表示应为：﹣2.68×105，
故选：D．
3．A
【解析】A.主视图是三角形，故此选项正确；
B.主视图是矩形，故此选项错误；
C.主视图是圆，故此选项错误；
D.主视图是矩形，故此选项错误；
故选：A．
4．B
【解析】A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：B．
5．D
【解析】A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
6．C
【解析】A．m2•m3＝m5，故选项A不合题意；
B．（m4）2＝m8，故选项B不合题意；
C．m3+m3＝2m3，故选项C符合题意；
D．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故选项D不合题意．
故选：C．
7．D
【解析】由题意得，x+3≠0，4﹣x≥0，
解得，x≤4且x≠﹣3，
故选：D．
8．C
【解析】∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．
故选：C．
9．A
【解析】解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
10．A
【解析】由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
11．B
【解析】解不等式+＞0，得：x＞﹣，
解不等式3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得：x＜2a，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴2＜2a≤3，
解得1＜a≤，
故选：B．
12．C
【解析】∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴点B到D1E1的距离＝h2＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
故选：C．
二、填空题
13． x（y﹣1）2
【解析】xy2﹣2xy+x，
＝x（y2﹣2y+1），
＝x（y﹣1）2．
14．2
【解析】这组数据的平均数是：（1+2+3+4）÷5＝2，
则方差S2＝ [（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2；
故答案为：2．
15．﹣4
【解析】 +＝2，可得m+n＝2mn，
＝＝＝﹣4；
故答案为﹣4；
16．
【解析】如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，
∴∠D＝30°，
则∠COE＝2∠D＝60°，
∵CD＝4，
∴CO＝DO＝2，
∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×＝，
∴DE＝2DF＝2，
∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，
故答案为： +．
三、解答题
17．解：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°
＝﹣1+4+（2﹣）+3×＝3+2﹣+＝5；
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝5．
19．解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，4÷＝24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），
条形统计图为：

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角＝360°×＝150°；
故答案为抽样调査；6；150°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．
20．解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE，
设BE＝x，在Rt△ABE中，tanBAE＝，
则AE＝＝x，
∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE＝x，
由题意得，BE+CE＝120，即x+x＝120，
解得，x＝60（﹣1），
∴AD＝CE＝x＝180﹣60，
∴DC＝180﹣60，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．

21．解：（1）∵点A（a，4），∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2， 4）代入y＝得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；′′B′
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大，
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：

解得：k＝，b＝，
∴直线AP的关系式为y＝x+，
当y＝0时，即x+＝0，解得x＝，
∴P（，0）

四、填空题
22．1002
【解析】∵a﹣100≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|+＝a，得﹣1001+a+＝a，
∴＝1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
23．
【解析】设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，
，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2+S3＝2x2+x2＝3x2＝，
故答案为：．
24．26
【解析】，
①﹣②得，y＝1+z，
把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，
则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
当z＝5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，
故答案为：26．
25．
【解析】延长CM交AD于点G，

∵将四边形AEFB沿EF翻折，
∴AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°
∵sinB＝＝sinN＝，
∴设CF＝4x，FN＝5x，
∴CN＝＝3x，
∴BC＝9x＝AB＝CD＝AD，
∵sinB＝＝sinD＝
∴GC＝
∴GM＝GC﹣（MN﹣CN）＝﹣6x＝x
∵∠A+∠B＝180°，∠EMC+∠EMG＝180°
∴∠B＝∠EMG
∴sinB＝sin∠EMG＝＝
∴cos∠EMG＝＝
∴EM＝2x，
∴AE＝2x，
∴＝
故答案为：
五、解答题
26．解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
50﹣20＝30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，
由题意得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴a＝14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，
由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a），
＝（15﹣m）a+600，
①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大，
∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，
②当m＝15时，15﹣m＝0，
y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小，
∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．
27．（1）证明：如图1，连接OA，
∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，
∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，
∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；
（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，

则∠APD＝90°，
∵OB＝5，OP＝3，
∴PB＝2，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△PBC中，PC＝＝2，
∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，
∴△DAP∽△PBC，
∴＝，即＝，
解得，AP＝；
（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，
则OE＝BC＝AB＝×，
由题意得，⊙O于MN有交点，
∴OE≤r，即×≤r，
解得，r≥，
∵直线l与⊙O相离，
∴r＜5，
则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．

28．解：（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4），
∵抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同
∴m＝2，n＝﹣3，
∴y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）作AP⊥x轴，
设A（a，a2﹣2a﹣3），
∵A在第四象限，
∴0＜a＜3，
∴AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，
∴AP+OP＝﹣a2+3a+3＝﹣
∵0＜a＜3，
∴AP+OP的最大值为；
（3）假设C2的对称轴上存在点Q，
过点B'作B'D⊥l于点D，
∴∠B'DQ＝90°，
①当点Q在顶点C的下方时，
∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），抛物线的对称轴为x＝1，
∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°，
∴△BCQ≌△QDB'（AAS）
∴B'D＝CQ，QD＝BC，
设点Q（1，b），
∴B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，
可知B'（﹣3﹣b，2+b），
∴（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，
∴b2+7b+10＝0，
∴b＝﹣2或b＝﹣5，
∵b＜﹣4，
∴Q（1，﹣5），
②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）；
综上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；