离散时间信号和离散.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,copyright,赵越,ise_zhaoy1,第,2,章 离散时间信号和离散时间系统,2,copyright,赵越,ise_zhaoy1,补充：模拟频率和数字频率,数字频率,-,一个很重要却容易引起误解的参数。,设有一个正弦波,式中，是幅度，是模拟角频率，单位为弧度,/,秒，是连续时间，单位为秒。正弦波的周期为,它的倒数是模拟频率 ，单位是赫兹。角频率和频率之间的关系是 。,以采样周期 对正弦波取样，取样频率为 ，单位为赫兹。离散取样点 ，取样后得到的正弦序列为,3,copyright,赵越,ise_zhaoy1,定义数字频率,则得到,与模拟正弦信号对比,正弦序列表达式中的 与正弦波表达式中的 ，位置和作用类似，因此将,定义模拟（角）频率，单位是,rad/s,，单位是,rad,定义数字频率，单位是,rad,，单位是,rad,4,copyright,赵越,ise_zhaoy1,又被称为归一化频率。,将式 和 ，带入式,得到数字频率的另外一种形式,这表明，数字频率是一个与取样频率有关的频率度量，即,数字频率是模拟频率用取样频率归一化后的弧度数,。,因此，对一个正弦波进行取样，使用的取样频率不同，所得到的正弦序列的数字频率也不同。,5,copyright,赵越,ise_zhaoy1,上式还可以改写成,表示每秒对正弦波取样的点数；,表示正弦波每秒周期性重复的次数；,表示正弦波每个周期内取样点的数目。,所以，是指每相邻两个取样点之间的相位差的弧度数。,表示每秒对正弦波取样的点数；,表示正弦波每秒周期性重复的次数；,表示正弦波每个周期内取样点的数目。,所以，是指每相邻两个取样点之间的相位差的弧度数。,6,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7,copyright,赵越,ise_zhaoy1,6.,正弦型序列,正弦型序列定义为,式中，为幅度，为数字域频率它表示序列变化的,快慢速率,，为初相，的单位为弧度。,例,：,则每,10,点重复一次正、余弦变化,正弦型序列是,包络,为正、余弦变化的序列,。,对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。,8,copyright,赵越,ise_zhaoy1,3 4 5 6 7,0 1 2,8 9 10 11 12,0 1 2 3 4 5,6 7 8 9 10,9,copyright,赵越,ise_zhaoy1,对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列,。,例,其中，,为数字域频率，,为采样周期,所以,思考：,周期信号经等间隔采样后得到序列一定是周期序列？,10,copyright,赵越,ise_zhaoy1,则 周期序列，周期为,N,如果,对模拟周期信号采样后得到序列，未必是周期序列！,例如，模拟正弦采样信号一般表示为,式中，是取样频率；是模拟周期信号频率。,11,copyright,赵越,ise_zhaoy1,可由以下条件判断 是否为周期序列：,（,1,）,，为整数，则 是周期序列，周期为 。,（,2,）,，、为整数，则 是周期序列，周期为 。,（,3,）,为无理数，则 不是周期,序列。,12,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7.,斜变序列,斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为,0 1 2 3 4,3,2,1,13,copyright,赵越,ise_zhaoy1,补充：,序列的运算,对应项相乘形成新的序列,序列的每一项乘以标量,b.,标量乘以序列,2,、,a.,序,列相乘,对应项相加形成新的序列,1,、序列相加,14,copyright,赵越,ise_zhaoy1,3.,翻褶,(,折迭,),如果有,则 是以,n=0,为对称轴将,x,(n),加以翻褶的序列,-2,-1,0,1,2,1/8,1/4,1/2,1,x,(-n),n,-1,0,1,2,x,(n),1,1/2,1/4,1/8,-2,n,15,copyright,赵越,ise_zhaoy1,4,、移序或移位,位,逐项左移（超前）,位,逐项右移（延时）,16,copyright,赵越,ise_zhaoy1,0 1 2,3,2,1,-1,3,2,1,-1,-1 0 1,0 1 2,3,2,1,-1,17,copyright,赵越,ise_zhaoy1,5,、累加,设某一序列为,x,(n),则,x,(n),的,累加序列,y(n),定义为,即表示,n,以前的所有,x,(n),的和。,18,copyright,赵越,ise_zhaoy1,6.,差分,前向差分（先左移后相减）,后向差分（先右移后相减）,19,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7,、尺度变换,m,倍,。,序列每,m,点取一点形成的，即时间轴压缩了,是,0 1 2 3,3,1,例,m,=2,时,0 1 2,-1,3,3,1,2,20,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7,3,2,1,6,0 1 2 3 4 5,其中,m,为正整数,扩展了,m,倍,。,序列每点加,m-,1,个,零值点,形成的，即时间轴,是,例,m,=2,时,21,copyright,赵越,ise_zhaoy1,8.,序列的能量,x,(n),的能量定义为,22,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.3,离散时间系统,2.3.1,线性非移变系统,信号处理的目的之一是要把信号变换成人们需要的形式。,离散时间系统与连续时间系统有相同的分类，如线性、非线性；时变、非时变等。运算关系 满足不同条件，具有不同的性质，对应着不同的系统。,各种离散时间系统，就是把输入序列变换成输出序列的系统。,23,copyright,赵越,ise_zhaoy1,系统的图形示意,y,(,n,),x,(,n,),T,一个有用的系统应当是一个对信号产生,唯一,变换,的系统。,因此，系统可定义为将输入序列 映射为输出序列 的,唯一变换或运算,，并用 表示，即,对变换施加不同的约束条件，可定义出不同种类的离散时间系统。,24,copyright,赵越,ise_zhaoy1,满足叠加原理的系统称为,线性系统,。,设,y,1,(n),和,y,2,(n),分别是系统对输入,x,1,(n),和,x,2,(n),的响应，即,y,1,(n)=T,x,1,(n),，,y,2,(n)=T,x,2,(n),若满足，,T,a,x,1,(n)+,b,x,2,(n),=,a,y,1,(n)+,b,y,2,(n),则此系统是,线性系统,。,a,和,b,均是常数。,1,、,25,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例2.1,证明 所表示的系统不是线性系统。,显然,所以，此系统不是线性系统。,证:,26,copyright,赵越,ise_zhaoy1,非移变系统,如果系统对输入信号的运算关系,T,在整个运算过程中,不随时间变化,，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为,非移变系统,，用公式表示如下：,这意味着,：当输入信号沿自变量轴移动任意距离时，其输出也跟着移动同样的距离。,y(n)=T,x(n),y(n-k)=T,x(n-k),2,、,27,copyright,赵越,ise_zhaoy1,说明,：,在表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“,非时变,（,时不变,）”特性。,28,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例2.2,证明 不是非移变系统。,由于,和,所以,故此系统不是非移变系统。,证：,29,copyright,赵越,ise_zhaoy1,这类系统的一个重要特性：它的输入与输出序列之间存在着,线性卷积关系,。,一个既能满足,叠加原理,，又满足,非移变条件,的系统，被称为,线性非移变（时不变）系统,，,简写为,LTI,离散系统。,30,copyright,赵越,ise_zhaoy1,设系统的输入,x(n)=(n),，系统输出,y(n),的,初始状态,为,零,，定义这种条件下系统输出称为系统的,单位冲激（取样）响应,，用,h(n),表示。,推导：,用公式表示为,y(n)=,h(n)=T,(n),h(n),和模拟系统中的,h(t),单位冲激响应相类似，都代表系统的,时域特征,。,换句话说，,单位冲激响应即是系统对于,(n),的零状态响应,。,31,copyright,赵越,ise_zhaoy1,显然，这是因为只有 时，,因而,所以上式成立。,利用单位冲激序列的定义和序列延迟的概念，可以写出任意序列,x(n),的一般表示式,以上表明，,任意序列都可以表示为加权、延迟的单位冲激序列之和,。,32,copyright,赵越,ise_zhaoy1,通常把上式称为,离散卷积,或,线性卷积,。,h(n)=T,(n),系统是线性非移变的,设系统的,任意,输入用,x(n),表示，则系统输出表示为,卷积形式,33,copyright,赵越,ise_zhaoy1,这意味着，任何线性时不变系统都可以用其单位冲激响应 来表征，而且系统的输入 和输出 之间满足,线性卷积,关系。常用符号,“,*,”,表示，即,34,copyright,赵越,ise_zhaoy1,卷积积分的,物理意义,h(n),x(n),y(n),35,copyright,赵越,ise_zhaoy1,卷积的性质,（,1,）交换律,卷积的代数定律,h(n),x(n),y(n),=,x(n),h(n),y(n),36,copyright,赵越,ise_zhaoy1,分配律,用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,y(n)=x(n),h,1,(n)+h,2,(n),x(n),h,1,(n),h,2,(n),（,2,）分配律,37,copyright,赵越,ise_zhaoy1,结合律,用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,h,1,(n),h,2,(n),x(n),y(n)=x(n),h,1,(n),h,2,(n),（,3,）结合律,38,copyright,赵越,ise_zhaoy1,卷积,的步骤：,1、,折叠：先在坐标轴 上画出 和 ，将 以纵坐标为对称轴折叠成 。,2、移位：将 移位 ，得到 。,当 为正数时，右移 ；当 为负数时，左移 。,3、相乘：将 和 的对应取样值相乘。,4、相加：把所有的乘积累加起来，即得到 。,39,copyright,赵越,ise_zhaoy1,和 的卷积和图解,40,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.3.2,系统的,稳定性,和,因果性,只要输入是,有界的,，输出必定是,有界,的系统称为,稳定系统,。所谓有界是指在任何时刻 都是有限值，即 。,例如,：,对于线性时不变系统而言，稳定的,充分必要条件,是系统的单位,冲激,响应,绝对可和,，用公式表示为,就不是有界的。,在任何时刻都小于,2,，所以是有界的；,41,copyright,赵越,ise_zhaoy1,设公式 成立，而 为一有界输入序列，且 ，为一常数，则对于线性时不变系统,证明：,1,、充分性,即系统输出有界，故原条件是,充分条件,。,42,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2,、必要性,利用反证法,假设公式 不成立，即,则对下式定义的有界输入序列,系统在 时刻的输出为,显然输出 是无界的，这不符合稳定的条件，因此假设不成立，所以 是系统稳定的,必要条件,。,43,copyright,赵越,ise_zhaoy1,因果系统的输出值取决于现时的和过去的输,入 ，,相反，如果系统输出不仅取决于现时的和过,去的输入而且还取决于将来的输入 ，,，这就在时间上违反了因果律，因而,它是,非因果系统,。,因果性,是系统的另一个重要特性。,所谓因果系统,是指输出不能先于输入的系统。,4,、,44,copyright,赵越,ise_zhaoy1,一个线性非移变系统为因果系统的,充分必要条件,是,必须指出，非因果系统在理论上是存在的。,物理上可实现的系统不可能在某个输入作用之前就有预感并提前响应，所以非因果系统又称为,不可实现系统,。,45,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,2.5,已知一个线性非移变系统的单位取样响应为,讨论其因果性和稳定性。,因为在 时，,故该系统为非因果系统。,解,1,、因果性,46,copyright,赵越,ise_zhaoy1,由式,所以 时该系统稳定，时该系统不稳定。,2,、稳定性,47,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.3.3,线性常系数差分方程,线性时不变系统可以用,线性常系数差分方程,来描述。,描述,连续时间系统,的方程是,微分方程,。对于,离散时间系统,，由于它的变量,n,是离散整型变量，所以只能用,差分方程,加以描述。,48,copyright,赵越,ise_zhaoy1,引入,单位延迟算子,，即 于是,差分方程,是由,函数序列的差分,来表示的。一个函数序列的一阶向后差分表示为,二阶向后差分表示为,因此有,49,copyright,赵越,ise_zhaoy1,二阶向后差分可用 表示,类似的，阶差分表示为,因此按二项式定理将 展开后，便可得到 阶差分的表示式。,50,copyright,赵越,ise_zhaoy1,这就是一个二阶线性常系数差分方程。,将 代入上式，得到,差分方程的,阶数,等于未知序列变量最高序号与最低序号之差。,差分方程,是描述函数序列差分之间关系的方程,。,例如，对于一个二阶差分方程,展开后得,51,copyright,赵越,ise_zhaoy1,上式说明，系统在某时刻 的输出值 不仅与该时刻的输入 、过去时刻的输入 ，等有关，还与过去时刻的输出值 ，等有关。,线性常系数差分方程的一般形式为,方程稍加变换得：,52,copyright,赵越,ise_zhaoy1,在离散时间系统中，基本运算关系是,延时,（移位）、,乘系数,和,相加,，其基本单元是延迟器、乘法器和加法器。其符号如下图所示。,53,copyright,赵越,ise_zhaoy1,延迟器,延迟器、乘法器和加法器示意图,54,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,：离散系统结构如下图，写出描述该系统的差分方程。,延迟器,解：由图知,则,55,copyright,赵越,ise_zhaoy1,线性常系数差分方程的求解,已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：,1,、,经典解法,-,与微分方程求解很类似，由,通解,与,特解,组成差分方程的,完全解。,2,、,递推解法,-,适用于系统,阶数不高,且激励,比较简单的情况。,3,、,变换域方法,利用,Z,变换,56,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例：,设系统用差分方程,y(n)=ay(n-1)+x(n),描述，输入序列,x(n)=(n),，求输出序列,y(n),。,解,：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。,上式表明，已知,输入序列,和,N,个初始条件,，则可以求出,n,时刻的输出,；如果将该公式中的,n,用,n+1,代替，可以求出,n+1,时刻的输出，因此上式表示的差分方程本身就是一个适合,递推法,求解的方程。,57,copyright,赵越,ise_zhaoy1,y(n)=ay(n-1)+x(n),n=0,时，,y(0)=ay(-1)+(0)=1,1,、,设初始条件,y(-1)=0,n=1,时，,y(1)=ay(0)+(1)=a,n=2,时，,y(2)=ay(1)+(2)=a,2,n=n,时，,y(n)=a,n,所以,，,y(n)=a,n,u(n),58,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2,、,设初始条件,y(-1)=1,n=0,时，,y(0)=ay(-1)+(0)=1+a,n=1,时，,y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)a,n=2,时，,y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a,2,n=n,时，,y(n)=(1+a)a,n,所以,，,y(n)=(1+a)a,n,u(n),59,copyright,赵越,ise_zhaoy1,但对于差分方程，其本身也可以向,n0,的方向递推，是一个因果解。,因此,差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。,60,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.4,离散时间信号和系统,的频域描述,2.4.1,离散时间信号的傅里叶变换,信号和系统的分析方法有两种：,时域,分析方法,频率,分析方法,61,copyright,赵越,ise_zhaoy1,在,离散系统,中：,1,、信号用序列表示，其自变量仅,取整数，非整数时无定义，,2,、系统则用,差分方程,描述。,3,、频域分析是用,Z,变换,或,傅里叶变换,。,在,模拟系统,中：,1,、信号一般用连续变量时间,t,的函数表示，,2,、系统则用,微分方程,描述。,3,、用,拉普拉斯变换,和,傅里叶变换,将时间,域数转换到频率域。,62,copyright,赵越,ise_zhaoy1,傅里叶变换,：,建立以时间,t,为自变量的,“,信号,”,与以频率,f,为自变量的,“,频率函数,”,(,频谱,),之间的某种变换关系。,所以,“,时间,”,或,“,频率,”,取连续还是离散值,就形成各种不同形式的,傅里叶变换对,。,63,copyright,赵越,ise_zhaoy1,傅里叶变换定义为,傅里叶反变换定义为,式中，表示角频率。,连续,时间信号,64,copyright,赵越,ise_zhaoy1,傅里叶变换定义为,傅里叶反变换定义为,离散时间信号,65,copyright,赵越,ise_zhaoy1,通常将以下一对公式合称为离散时间信号的,傅里叶变换对：,在物理意义上，表示序列 的,频谱,，为数字域频率。,66,copyright,赵越,ise_zhaoy1,上式实际是将序列 展开成复指数序列的,加权和,的形式，则是不同频率的复指数序列的幅度。,因此，表示序列的,频谱,。,67,copyright,赵越,ise_zhaoy1,一般情况下，是一个复量，可表示为,或用,幅度,和,相位,表示为,其中,幅度谱,相位谱,68,copyright,赵越,ise_zhaoy1,由于 和 都是 的 周期函数，所以只需要去一个周期就足够代表序列的频谱，通常取为,或 。,在 为实序列的情况下，是 的偶函数，,是 的奇函数。基于这种对称性，在 范围内的幅度谱和相位谱就足以描述序列的频谱。,可采用对数形式的幅度谱 ，单位是 。,的单位是度或弧度，通常采用主值相位表示相位谱。,69,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,：矩形序列的频谱，,N=10,。,70,copyright,赵越,ise_zhaoy1,可看出,幅度谱,和,相位谱,以 为周期的特点。,71,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,2.14,求下列信号的傅立叶变换,解：,72,copyright,赵越,ise_zhaoy1,73,copyright,赵越,ise_zhaoy1,总结,离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个,特点,:,1,、,是以 为周期的 的连续函数。,可得出,这是因为,2,、,当 为实序列时，的幅值 在,区间内是,偶对称函数,，相位,是,奇对称函数,。,74,copyright,赵越,ise_zhaoy1,DTFT,成立的,充分条件,是序列,x(n),满足,绝对可和,的条件，即满足下式：,部分序列不是绝对可和，但也存在傅立叶变换。,有的序列不是绝对可和，但却是平方可和的序列，它的幂级数均方收敛。,既不是绝对可和又不是平方可和的序列，可以借助于冲激函数来定义,DTFT,。,75,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,求下列信号的,DTFT,解：,当 时,即上式的幂级数是发散的。,由于上式的幂级数是复指数之和，而复指数是由余弦序列和正弦序列作为实部和虚部构成的，它们都是无穷长的震荡序列，所以当 时，幂级数的和式也不收敛。这意味着复指数序列的,DTFT,并不存在。,定义复指数序列和正弦序列的,DTFT,，必须借助于冲激函数的概念。,76,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.4.2,离散时间信号的傅里叶变换的性质,1,、序列的傅里叶变换的,线性,式中,a,b,为常数,若,则,77,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2,、序列的,移位,与,调制,若,则,移位,调制,78,copyright,赵越,ise_zhaoy1,3,、序列的折叠,若,则,79,copyright,赵越,ise_zhaoy1,4,、序列乘以,n,（频域微分）,设,则,证：,80,copyright,赵越,ise_zhaoy1,5,、序列的复共轭,设,则,81,copyright,赵越,ise_zhaoy1,，,若,则,证明：,6,、序列的,卷积,（时域卷积定理）,82,copyright,赵越,ise_zhaoy1,则,用与时域卷积相似的方法可证。,7,、序列,相乘,（频域卷积定理）,，,若,83,copyright,赵越,ise_zhaoy1,8,、序列的傅里叶变换的对称性,序列的傅里叶变换的,对称性,是傅里叶变换性质中的一大类。利用序列的傅里叶变换的对称性可以,简化序列傅里叶变换的运算,，是非常有用的。,84,copyright,赵越,ise_zhaoy1,的,共轭对称,与,共轭反对称序列,定义：,任意一个复序列总可以分解成,共轭对称,与,共轭反对称,序列之和。,共轭对称序列,共轭反对称序列,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),n,x,n,x,n,x,n,x,n,x,n,x,n,x,n,x,o,e,o,e,o,e,-,=,-,+,-,=,-,+,=,*,*,*,85,copyright,赵越,ise_zhaoy1,式中,是实部为,偶,对称，虚部为,奇,对称的序列；,是实部为,奇,对称，虚部为,偶,对称的序列。,解以上方程组可得,：,86,copyright,赵越,ise_zhaoy1,证明：,不难得到,所以，是实部为,偶,对称，虚部为,奇,对称的序列；,87,copyright,赵越,ise_zhaoy1,同理可得,可得,所以，是实部为,奇,对称，虚部为,偶,对称的序列。,88,copyright,赵越,ise_zhaoy1,例,：分析 的对称性,解,：因为 ，满足共轭对称序列的条件，所以是共轭对称序列。,将这个共轭对称序列分解成实部与虚部，可得,这表明，共轭对称序列的实部的确是偶序列，而虚部确实是奇序列。,89,copyright,赵越,ise_zhaoy1,同理可定义序列的傅里叶变换 可以被分解为,共轭对称,与,共轭反对称,两部分之和。,共轭反对称函数,共轭对称函数,90,copyright,赵越,ise_zhaoy1,式中,的实部为,偶,函数，虚部为,奇,函数；,的实部为,奇,函数，虚部为,偶,函数,91,copyright,赵越,ise_zhaoy1,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,满足对称性：,92,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2,、,证：,93,copyright,赵越,ise_zhaoy1,3,、,证,：,94,copyright,赵越,ise_zhaoy1,证：,4,、,95,copyright,赵越,ise_zhaoy1,5,、,证：,96,copyright,赵越,ise_zhaoy1,6,、,证：,97,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7,、,证：,98,copyright,赵越,ise_zhaoy1,8,、,证：,99,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.4.3,离散时间系统的频率响应,在信号处理中，,正弦信号,和,复指数信号,是对信号进行频谱分析和计算系统的频率响应的重要工具。,在连续时间信号处理中采用复指数信号，可以把微分和积分运算转换为乘法和除法运算，假设 ，有,特别是复指数信号更为方便，不仅因为它比三角函数的运算更加简洁，而且还应为它在计算上有以下特点：,100,copyright,赵越,ise_zhaoy1,另外，线性非移变系统对正弦序列的稳态响应仍然是正弦序列，频率与输入信号的,频率相同,，而,幅度和相位取决于系统的特性,。,在离散时间信号处理中采用复指数序列，可以乘法运算来实现序列的时移。假设 ，有,因此，信号处理的大多数工具，如拉普拉斯变换、傅里叶变换、,Z,变换和离散傅里叶变换等，都采用复指数信号（序列）作为基型信号。,101,copyright,赵越,ise_zhaoy1,为研究线性非移变系统的,频域特性,，设输入序列是一个数字域频率为 的复指数序列，即,由线性卷积公式，可得到系统对 的响应为,其中,102,copyright,赵越,ise_zhaoy1,是一个与系统的特性有关的量，称为单位取样响应为 的系统的,频率响应,。,或用极坐标表示为,一般为复数，表示为,103,copyright,赵越,ise_zhaoy1,分别称为系统的,幅度响应,和,相位响应,。,式中,和,幅度响应（幅度特性）,：系统的增益随频率的变化。,相位响应（相位特性）,：系统的输出信号相对于输入信号的相位滞后随频率的变化。,104,copyright,赵越,ise_zhaoy1,上式表示的,系统频率响应,是一种傅里叶级数表示，可被看作傅里叶级数的系数。因此，,频率响应,与,冲激响应,构成一对,傅里叶变换对,。则有,105,copyright,赵越,ise_zhaoy1,系统的,频率响应,含有系统的所有信息。,知道系统的频率响应 ，就可以计算系统对任何输入信号 的响应 ，方法是首先将 变换成 ，然后将 乘以 得到 ，最后计算 的,IDTFT,即得到 。,106,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.5,信号的取样,2.5.1,连续时间信号的取样,离散时间信号常常是由连续时间信号经周期取样得到的。,完成取样功能的器件称为,取样器,，如下图所示。,107,copyright,赵越,ise_zhaoy1,0,0,取样器示意图,取样器,S,对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关,S,。设电子开关每隔周期,T,合上一次，在电子开关输出端得到其采样信号,。,108,copyright,赵越,ise_zhaoy1,电子开关可以用一个,乘法器,等效，图中的 是周期性开关函数。,当 为零时，乘法器输出为零，等效为开关断开，信号通不过去；,不为零时,信号通过。,采样信号可以表示为,109,copyright,赵越,ise_zhaoy1,连续时间信号的取样,在,实际,取样器中，设开关闭合时间为,秒（,n,1,，序列值全为零的序列。左边序列的,Z,变换表示为,3,、左边序列,其收敛域是在某一圆,(,半径为,),的圆内，收敛域为,0|z|R,x+,155,copyright,赵越,ise_zhaoy1,0|z|R,x+,156,copyright,赵越,ise_zhaoy1,157,copyright,赵越,ise_zhaoy1,4,、双边序列,双边序列是指,n,从 到 都有非零值的序列，它可以看作一个,左边序列,和一个,右边序列,之和，其,Z,变换表示为,158,copyright,赵越,ise_zhaoy1,X(z),的收敛域是,X,1,(z),和,X,2,(z),收敛域的公共收敛区域。,如果,R,x+,R,x-,，其收敛域为,R,x-,|z|R,x+,，这是,一个环状域，,159,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.6.3 Z,变换的逆变换,Z,变换的逆变换是由 求序列 的变换。,160,copyright,赵越,ise_zhaoy1,C,为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。,0,c,161,copyright,赵越,ise_zhaoy1,幂级数法（长除法）,部分分式展开法,留数定理法（围线积分法）,求逆,Z,变换的方法通常有三种：,162,copyright,赵越,ise_zhaoy1,幂级数法,如果一个,Z,变换 能表示成幂级数的形式，那么可直接看出序列 是幂级数中的系数。,因此，若能用现有的幂级数公式将 展开，便可很容易地求得 。,适用单边的左或右序列，双边序列不适用,163,copyright,赵越,ise_zhaoy1,有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运,算所得的式子。,部分分式展开法,将一般的有理多项式展开为简单的有理式。,有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两,个多项式的商。分子的次数低于分母时,称为真分式。,164,copyright,赵越,ise_zhaoy1,部分分式：把,x,的一个实系数的真分式分解成几个,分式的和，使各分式具有 或,的形式，其中,x,2,+Ax+B,是实,数范围内的不可约多项式，而且,k,是正,整数。这时称各分式为原分式的,“,部分,分式,”,。,将,X(z),展成一些简单的常用的部分分式之和,通过查表,(,参考表,2.2),求得各部分的逆变换,再相加即得到原序列,x(n),。,165,copyright,赵越,ise_zhaoy1,表,2.2,常见序列,Z,变换,166,copyright,赵越,ise_zhaoy1,167,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.6.4 Z,变换的性质和定理,1,、线性,设,Z,x(n),X(z),R,x-,|z|R,x+,Z,y(n),Y(z),R,y-,|z|R,y+,则,Z,ax(n)+by(n),=aX(z)+bY(z),R,-,|z|R,+,R,+,=min,R,x+,R,y+,R,-,=max,R,x-,R,y-,这里新的收敛域,(R,-,，,R,+,),是,X(z),和,Y(z),的公共收敛域，如果没有公共收敛域，则该,Z,变换不存在。,168,copyright,赵越,ise_zhaoy1,设,Z,x(n),X(z),R,x-,|z|R,x+,则,Z,x(n-m),=z,-m,X(z),R,x-,|z|R,x+,2,、序列的移位,169,copyright,赵越,ise_zhaoy1,设,Z,x(n),X(z),R,x-,|z|R,x+,a,为常数,则,Z,a,n,x(n),X(a,-1,z),，,|a|R,x-,|z|a|R,x+,证明,：,因为,R,x-,|a,-1,z|R,x+,，得到,|a|R,x-,|z|a|R,x+,。,3,、乘以指数,a,n,170,copyright,赵越,ise_zhaoy1,4,、序列的折叠,设,Z,x(n),X(z),R,x-,|z|R,x+,则,Z,x(-n),=,171,copyright,赵越,ise_zhaoy1,5,、序列的复共轭,设,则,172,copyright,赵越,ise_zhaoy1,6,、的微分,设,则,173,copyright,赵越,ise_zhaoy1,7,、初值定理,设,x(n),是因果序列，,X(z)=,Z,x(n),8,、终值定理,设,x(n),是因果序列，而且,X(z),除在,z=1,处可以有一阶极点外，其它极点都在单位圆内，则,174,copyright,赵越,ise_zhaoy1,9,、序列的卷积,设,则,175,copyright,赵越,ise_zhaoy1,10,、复卷积定理,设,Z,x(n),=X(z),，,R,x-,|z|R,x+,Z,y(n),=Y(z),R,y-,|z|R,y+,w(n)=x(n)y(n),则,这个公式称为复卷积公式。,c,是,v,平面的收敛域中任一条环绕原点的反时针方向的闭合围线。,176,copyright,赵越,ise_zhaoy1,11,、,Parseval,公式,则,v,平面上，,c,所在的收敛域为,这就是傅里叶变换的,Parseval,公式。,物理意义,：在时域中计算得到的序列能量与在频域中计算得到频谱能量相等。,177,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.6.5 Z,变换与拉普拉斯变换的关系,分析连续时间信号和取样信号拉氏变换之间的关系，之前曾把取样信号表示为,取样信号的拉氏变换可表示为,178,copyright,赵越,ise_zhaoy1,将 代入上式，并改变积分和求和次序，得,上式表明，连续时间信号 经理想取样得到取样信号 的拉氏变换，是连续时间信号 的拉氏变换在,S,平面上沿虚轴的,周期延拓,。,179,copyright,赵越,ise_zhaoy1,取样信号的拉氏变换与离散时间信号的,Z,变换之间的关系：,对取样信号求拉氏变换,对离散时间信号求,Z,变换,注意到,180,copyright,赵越,ise_zhaoy1,可以得到：,这说明，在 的条件下，离散时间信号的,Z,变换等于取样信号的拉氏变换。,这两种变换之间的关系，就是由复变量 平面到复变量 平面的映射，其映射关系为,181,copyright,赵越,ise_zhaoy1,若令 和 ，则得到,因此,的模 只与 的实部 相对应,的辐角只与 的虚部 相对应,182,copyright,赵越,ise_zhaoy1,当 时，；,s,平面的虚轴映射成,z,平面的,单位圆周,（,1,）与 的关系,当 时，；,当 时，；,s,平面的左半平面映射成单位圆,内部,s,平面的右半平面映射成单位圆,外部,183,copyright,赵越,ise_zhaoy1,184,copyright,赵越,ise_zhaoy1,当 ，,当 ，,当 ，,当 从 增加到 ，则由 增加到 ，即辐角旋转一周，将整个,Z,平面映射一次。,当 再增加 ，则相应的又增加 ，即辐角又旋转一周，将整个,Z,平面又映射一次。,（,2,）与 的关系,185,copyright,赵越,ise_zhaoy1,S,平面上宽度为 的水平带映射成整个,Z,平面，,左半带映射成单位圆内部,右半带映射成单位圆外部,长度为 的虚轴映射成单位圆周,结合,关系,，有：,186,copyright,赵越,ise_zhaoy1,S,平面,Z,平面,S,平面被映射成无限个,Z,平面,这无限个,Z,平面重叠在一起，因此这种映射不是简单的代数映射。,187,copyright,赵越,ise_zhaoy1,由以上结论得到,188,copyright,赵越,ise_zhaoy1,z,变换和其它变换的关系图,理想取样,拉氏变换,Z,变换,傅氏变换,拉氏变换,傅氏变换,189,copyright,赵越,ise_zhaoy1,2.7,系统函数,设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列,(n),的响应，称为系统的,单位取样响应,h(n),，对,h(n),进行傅里叶变换得到,H(e,j,),。,（频率响应）,190,copyright,赵越,ise_zhaoy1,线性系统可用,线性常系数差分方程,;,单位取样响应,;,频率响应（传输函数）,描述。,设,h(n),进行,Z,变换，得到,H(z),，一般称,H(z),为系统的,系统函数,，它表征了系统的,复频域特性,。,还可以用,系统函数,来描述。,191,copyright,赵越,ise_zhaoy1,已知一个系统的输入和输出满足差分方程：,因此,对上式两边求,Z,变换得,192,copyright,赵越,ise_zhaoy1,因为，为了使,h(n),的,Z,变换存在，就要求式（,2.140,）中的级数绝对可和，即,这就是系统稳定的,充要条件,。因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。,当,|z|=1,时，上式变为,系统的,稳定性,与系统函数,H(z),的收敛域有密切关系。,193,copyright,赵越,ise_zhaoy1,由此得出一个,重要结论,：如果系统函数的所有极点都在单位圆内，则系统是稳定的。,反之，如果系统稳定，则系统的所有极点都在单位圆内。,这也意味着，如果系统函数的收敛域包括,单位圆,，则系统是稳定