概率论与数理统计 第4章 几种重要的分布.pdf

第四章几种重要的分布全书第一章随机事件与概率1随机事件2概率3概率的计算4概率的加法法则5条件概率与乘法规则6全概率公式与贝叶斯公式 7独立试验概型 第二章随机变量及其分布1随机变量的概念2随机变量的分布 3二元随机变量4随机变量函数的分布 第三章随机变量的数字特征1数学期望2数学期望的性质3条件期望4方差、协方差第四章几种重要的分布1重要的离散型分布2重要的连续型分布目录第五章大数定律与中心极限定理1切贝谢夫不等式 2大数定律 第六章样本分布 1总体、个体与样本2样本分布函数 3样本分布的数字特征4几个常用统计量的分布 第七章参数估计1估计量的优劣标准2点估计3区间估计第八章假设检验1假设检验的原理2一个正态总体的假设检验3两个正态总体的假设检验 第九章回归分析1一元线性回归方程2相关性检验3可线性化的回归方程目录 1重要的离散型分布2重要的连续型分布1重要的离散型分布（一）0-1分布己0 Ip 1-p PEm=P D5=pq 其中q=l p（二）离散型均匀分布己 1 2.nP 1 1.1_n n_n_E=lx+2x+.+HX-Hl n n n 2E2=l2x+22x+.+n2 x n n n=-n(n+l)(2n+l)xl=(n+l)(2n+l)6 n 6 K 二(n+l)(2n+1)_rn+lY_n2-l6 I 2 J 12（三）几何分布P(m=k)=(l p)Ip k=l,2,*D中(四)二项分布做n重贝努里试验，以己表示某事件A发生的 次数，则P(m=k)=C：pkqk k=O,l,n其中 Ovpvl,q=l-p称己服从参数为n,p的二项分布。简记为J B(n,p)由二项展开公式Xcyqn-k=(p+q)n=lk=036例1某工厂每天用水量保持正常的概率为工4求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设最近6天内用水量保持正常的天数为己它服从二项分布，其中n=6,p=0.75（i 6P 化=0）=0.0002k4y15=0.0044P化=6)=-=0.1780列成分布表为1 0 1 2P 0.0002 0.0044 0.03303 4 5 60.1318 0.2966 0.3560 0.1780例2 10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因,每部机器停车的概率为0.2,求同时停车数目己的分 布。解：己服从二项分布n=10 p=0.2P 化=k)=CoO.2kO.8lo-k k=0,1,10将计算结果列成分布表01 23456789 10P 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00例3 一批产品的废品率p=0.03,进行20次重复抽样,求出现废品的频率为0.1的概率。解：己表示20次重复抽样中废品出现的次数，己服从二项分布n=20 p=0.03P(k)=Co(O.O3)kO.972-k()P 熹=0.1=Pg=2)U 7=C|o(O.O3)2O.9718=0.0988直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。若自服从二项分布则自其中L.，七相互独立，且服从同一0T分布口 4 0 1即、P 1-P P因 E&i=p D：=pq q=l-pEm=E&i+.+EM=npD&=D/.+DJ=npq二项分布中使概率P g二k)取最大值的k,称为二项分布的最可能值，记为k0若P(9k0)为最大，则P(=k0)P(=k0-l)(1)P(k0)P(k0+l)由式n pkoq n-ko _EL*_pko-!qn-ko+1k0!(n-k0)!P 4-(ko-l)!(n-ko+l)!P 4化简得(n-k0+l)p koq k0-pko+lqn-ko-l k0!(n-k0)!r 4(k0+l)!(n-k0-l)!P 乜化简得(ko+l)q2(n k0)pk0(n+l)p-l所以(n+l)p-1 Vk。V(n+l)p即(n+l)p 或(n+l)p-l 当(n+l)p 是整数时 I(n+l)p 其它其中(n+l)p表示(n+l)p的整数部分。口例4某批产品80%的一等品，对它们进行重复 抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数之 的最可能值彩，并用贝努里公式验证。解:己服从二项分布，n=4,p=0.8(n+l)p=(4+l)x0.8=4%=4 或 3用贝努里公式算出己的分布表匕 0 1 2 3 4P 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.40965=3或m=4时，概率最大。将不等式(n+l)p-1 k0 (n+l)p改写为p-1,k。，p p+-n时 C：=0称己服从超几何分布。利用组合数的性质 n、kn-k _n乙=N1+N2k=0可以验证 之pg=k)=lk=0ESkk=0n=Ek k=l_nNi_ nN、-1F-Ni 二 n-NCnN 1N1：Q k!(Nk)!n-k/N!N2/n!(N-n)!y(Nt-1)!c 白(k-l)!(Nk)!口/、k-ln-k/n-l乙小电/5-i k=l/n-k/(N-l)!N2/(n-l)!(N-n)!山-r-P-r I r nr Ni No N _ 11 也可求出 Dj=n-N N N-1当Nf 8时，超几何分布以二项分布为极限。N(N 1)(N n+1)n!Nn NN-1 N n+1 n?N N NNn n!1-nJI1 2、1-nJI N)同样地4k!1 nJ1-2 11上I M JcNJn-kn-k-、P 化=k)=叫1I nJ1 kf N k 1 I N J(n-k)!N2Jn k 1N2?n!I Ny v N Jn!N：N k!(n-k)!Nn.1-M J1力(11、n-k-1.1-N2 J1、1-.1 n l)I NJN)C：IN；kNJIn k I l-J11I nJ I n)N N当N f oo时，若记p二一贝(Jlp=q=一 N NP化=k)f姬尸名例8 10件产品有4件是废品，任取3件，分别 川超几何分布与二项分布求取到2件废品的 概率。解：用之表示取到的废品数。不放回抽取时，己服从超几何分布C2clP化=2）=宁=0.3Go有放回抽取时，己服从二项分布（4 V A 6、P化=2）=C；=0.288110J 110J两者相差很多，是因为产品总数不大。3例9 一大批种子的发芽率为90%,从中任取10粒,求播种后，(1)恰有8粒发芽的概率不少于8粒发 芽的概率解：己表示10粒种子中发芽的种子数目。己服从超几何分布N很大，n很小，可用二项分布近似计算。n=10 p=0.9 q=0.1P化=8)=CoO.98O.l2 x 0.1937(2)P化 8)=C.980.12+CoO.99O.1+O.910 x 0.9298(六)Poisson分布如果随机变量己的概率函数为PMk)=P(W=k)=e k=0,l,2,k!其中九 0,称己服从Poisson分布。00 k 00利用级数=ex,易知fp4k)=1 k=o k!k=oPoisson分布常见于稠密性问题，如：候车室旅客数目，原子放射粒数织机上的断头数 _印刷错谩,、_I 力陷 1口 ooo y kEj=Vk-e-x白k!oo)k1=XV-e-z台(k-1)!记k-1二m,则 oo y mE1=九tje-匕九 m=m!oo k oo y k1E2=Vk2e-=XVk-e-k!(k-1)!oo y m=X(m+l)-e-x m=o m!oo y m oo、m=-e+X-e-x=X2+X念 m!Mm!士(r T、匕 Q_改 D。二 A利10已知&服从Poisson分布,且P化=1)=P化=2),求P也=4)解：需要确定参数九P 化=1)=P 化=2)art 九-X 九2 一卜即e=e1!2!由于九0,可求出九=2 t z 24 _2 2 2故 P(1=4)=e=e4!3X 0.090224实际计算时，可查Poisson分布表。0.510 0.6065311 0.3032652 0.0758163 0.0126364 0.0015805 0.0001586 0.0000137 0.00000189100.3678790.3678790.1839400.0613130.0153280.0030660.0005110.0000730.0000090.0000011.50.2231300.3346950.2510210.1255100.0470670.0141200.0035300.0007560.0001420.000240.000042 0.135335 0.270671 0.270671 0.180447 0.090224 0.036089 0.012030 0.003437 0.000859 0.000191 0.0000382.50.0820850.2052520.2565160.2137630.1336020.0668010.0278340.0099410.0031060.0008630.00021650.0067380.0336900.0842240.1403740.1754670.1754670.1462230.1044450.0652780.0362260.018133例nm服从参数九=0.5的Poisson分布，查表求出 p&=2),P&=6),P&=30)解：直接查表可得P(m=2)=0.075816,P(己=6)=0.000013P(m=30)=03例12。服从Poisson分布，E=5,查表求P(1=3)%=5)解：因九=E.5,查表得P化=3)=0.140374P化=5)=0.1754676例13检查了 100个零件上的疵点数，结果为疵点数 0123456频数 14 27 26 20 7 3 3试用Poisson分布计算疵点数的分布，并与实际结果比较。1解：九=(14x0+27x1+.+3x6)=2100查表并与频率比较，可列出下表疵点数 0123456 频率 0.14 0.27 0.26 0.20 0.07 0.03 0.03概率 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120当零件数量很大时，上述频率与概率更接近。通常在n比较大，p很小时，可以用Poisson分布近似代替二项分布，其中九=np出例14 一大批产品的废品率为p=0.015,求任取一箱(有100个产品)，箱中恰好有一个废品的概率。解：所取一箱中废品个数己服从超几何分布，产品数量很大，可用二项分布计算，n=100,P化=1)=CjooO.O15 x 0.985工 0.335953由于n较大，p很小，可用Poisson分布代替二项分布。九二np=1.5,查表可得P化=1)=0.334695 误差不超过1%Poisson分布中使概率P(=k)取最大值的k,称为Poisson分布的最可能值，记为k0若Pg=k。)为最大，则 p(C&=kI)(I)P(k0)P(k0+l)(2)由化简得由kV九九%九k+i-e 2-ek0!一(k0+l)!化简得k0Z-l即 X-lk0 X所以九或九-1当九是整数时 彩=j X 其它6 设己服从参数九=2.5的Poisson分布，求己的最可能值，并查表验证。解：九=2.5不是整数k=X=2.5=2查表可得a o2 3 41P 0.0821 0.2053 0.2565 0.2138 0.13362重要的连续型分布（一）连续型均匀分布&p(x)=a+bE,二-2（二）指数分布-当ax o0 其它其中九 0,称之服从参数为九的指数分布。fd-oo fd-oo、(p(x)dx=Xe-Zxdx=11 IE2=px2Xe-Xxdx 分布函数为F(x)=0 l-e-Xx当xVO时当x 0时对任何实数a,b(0 a b)P(a 0)失效的概率为P(0)P(1000)=1-P(0 x 0,r0称己服从一分布，记作mr（x,r）-00-00(p(x)dx=-jxr_1e-xdx九X=t=1因此，九，r是两个参数r（r）xr-1e-Xxdx九x 二 t1xr（r）1 r-r（r+l）=-xr（r）-Xtre-tdt门备x 九X 二 t一一31九 2（r）Fr（r+2）=X2r（r）tr+1e-Mt（r+l）r九2（r+l）r（r YrVr一分布在概率论、数理统计等方面有很多应用。当r=l时，,、fXe-Xx x0(x)=八 八0 x0(p(x)=(r-1)!0 x0（p（x）=22r-0 x）=一丁 而G其中6 日为常数，且O0称之服从正态分布，记作己N（|Li,c2）这是最重要、最常见的分布。许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般 可以认为服从正态分布。例如人的身高、零件长度，考试成绩等。特点为“中间大，两头小工rl=0+=ip【二 1p=如。或广 XP 斗 T8r 8广=xp(x)d)8M 8MDm=r(x-EQ2(p(x)dxJ00:r(x-iLi)2J00X-Ll 石二t(Xi)?ye 2/dxJ2g、_2t2e-t2dtt2e-t2dtx2(3 A r-UJ2(?1.(1r 一、22i=Vk=a2当 口=0,0=1 时1 记作(p(x)=e-T-(Po(x)称为标准正态分布，记作qN(0,l)(Po(x)除具有概率密度的性质之外，还有如下性质:(Po(x)具有各阶导数(2)(p0(-x)=(p0(x)(p0(x)在x=0左右分别单调上升和单调下降1在x=0达到最大值：(p0(x)=-=0.3989(4)(p0(x)在x二1处有两个拐点。(5)lim(p0(x)=0X-00可以利用标准正态分布的概率密度函数表查出（Po（x）的值。样表如下：X0.000.030.040.050.080.090.00.39890.39880.39860.39840.39770.39730.10.39700.39560.39510.39450.39250.39181.50.12950.12380.12190.12000.11450.11271.60.11090.10570.10400.10230.097280.095663.00.0244320.0240490.0239280.0238100.0234750.0233703.10.0232670.0229750.0228840.0227940.0225410.0224614.90.0524390.0521050.0520030.0519070.0516430.051563-3例2已知己NQ1),查表求出(Po(L63)(po(O.18),(po(-3),(po(7),(po(O)解:(p0(1.63)=0.1057(p0(0.18)=0.3925(po(-3)=(po(3)=0.004432%=0(Po(O)=0.3989标准正态分布的分布函数为F(x)=(p0(t)dt=Jco一般记为0(x)f2r JeF其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表 查出。样表如下：X0.000.010.040.00.50000.50400.51601.60.945200.946300.949501.70.955430.956370.959071.80.964070.964850.967211.90.971280.971930.973812.50.923790O.9239630.9244572.6O.925339O.9254730.9258554.90.965208O.9654460.9660940.050.060.080.51990.52390.53190.950530.951540.953520.959940.960800.962460.967840.968560.969950.974410.975000.976150.9246140.9247660.925060O.9259750.9260930.9263190.9662890.9664750.966821对小于零的X,由下图=1 P（己 x）=1-o（x）可以间接查表求出9 例3 已知之 NQ1),求P化 1.96),P化-1.96),P(比 1 1.96),P(1.6 2.5),P 化 5.9)解：P(m V1.96)=.(1.96)=0.975P(-1.96)=00(-1.96)二1-o(L96)=0.025P(l 己 1 1.96)=P(-1.96 己 1.96)=%(1.96)-%(-1.96)=2 0(1.96)-1=0.95P(-1.6 0P 化 x)=J 0.5 X=0J_o(_x)X 0)P(ab)=O0(b)-(D0(a)当x 2 5时，o(x)比1当xV5时，o(x)2OX x 1F(x)=fx(p(t)dt=dt LoJ2g一般记为(x)定理2 若匕 N(n，o2),则M+b N(a|i+b,a2(y2),(awO)证：记r|=am+b,可以求出%(x)=2%1 1(x-b-1=-eI a I V2k(ji Li e 2aVa/2k I a I cy2四 Jx-(a|Li+b)271I a故“是参数为a|Li+b,的正态分布推论2若己N(|i,o2),则刍二星N(O,1)证：在定理中取a二工,b=-E即可。定理3若己N(工则(x)=01(2)(p(x)=-(p0I O J证：(x)=P&Vx)在两边对x求导即得。这样可利用标准正态分布计算一般正态分布。3 例4 设己 N(6,22),求P化V10)及P(4VmV8)解：I 2 2)(已6)=P-212)=0)o(2)=0.97725P(48)=P(I-6I2),P(-5)=0.045,P(己 3)=0.618,求 pi 及 o解：P(7P-匕一日 3-|1、3-四、o)=0.618o a)1=1.7查表可得 求解得|i=1.8,0=4定理4若己NQ1),则己21 工证：(p(x)=-=e 2x2(DT|=&2,已求出，X0时/(X)=1-+e 2 而1)_ cJ；X2xOJpll称心“）服从二元正态分布可以验证（p（x,y）dxdy=1,定理6二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。己 NMo；）n N（|Li2,（y22）通过计算可求出cov&r|)=p502故匕与”的相关系数为p一般来说，p=0不能保证己与H独立 但对二元正态分布例外。定理7服从二元正态分布的随机变量化门),它们独立的充分必要条件是相关系数p=0 此结论可推广到多元正态分布的情形。还有两个重要的连续型分布称自服从具有n个自由度的t分布。记姚t(n)/、nl2 31-1%+口2右(p(x)二称自服从具有第一个自由度为小第二个自由度为的F分布 记为&F(n19n2)第四章结束