复变函数 解析函数的泰勒展式.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,解析函数的泰勒展式,教学目标,：,掌握泰勒定理及利用泰勒系数公式展开一些初等解析函数,教学重点,：泰勒定理及应用,教学难点,：泰勒定理的证明,定理,4.14,（,泰勒定理,）设 在区域,内,解析,，只要,圆,含,于,则,在,内能,展成幂级数,泰勒展式,其中,系数,泰勒系数,且,展式是,唯一的,。,设函数,f,(,z,),在圆,内解析，那么在,K,内，,简单说法：,证 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式,定理,4.1,的,证明,：,由于当 时，,又因为,定理,4.1,的证明,：,所以,上式的级数当,时一致收敛。,把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得,定理,4.1,的证明,：,其中,由于,z,是,U,内任意一点，定理的结论成立。,2,幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况,定理,4.16,如果幂级数的收敛半径,且,则在收敛,圆周 上,至少有一奇点。,即,不可能有这样的函数存在，它在,内与,恒等,，而,在,C,上处处解析,。,3,一些初等函数的泰勒展式,下面给出几个初等函数的泰勒展式，它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如,解,因,在内解析，故,展,开,后的幂级数在内收敛,。已知,例,.,将在 展开成幂级数。,当时将两式相乘得（,按,对角线方法）,例,4.5,将及,展为的幂级数。,解,因,同理,两式相加除以,2,两式相减除以得,例,4.6,试将函数,按的幂展开，并指明其收敛,范围。,解,第四节,零点的孤立性与唯一性原理,1.,解析函数零点的孤立性,定义,4.7,设 在解析区域,一点,的值为零，则称 为解析,函,数 的,零点,称为 的 级零点。,若,定理,4.17,不恒为零的解析函数 以为级零点的充要条件为：,其中在点的邻域内解析，,且,证 必要性 由假设，,只要令,即可。充分性是明显的。,例,4.7,考察函数,在原点的性质。,解,显然在解析，且,为的三级零点,，因,如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。,（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）,定理,4.20,（唯一性定理）设,（,1,）函数,和,在区域,内解析；,（,2,）,内又有一个收敛于,的点列,，在其上,和 相等。,则,和,在,内恒等。,例,4.9,设,（,1,）在区域内解析；,（,2,）在内 ，,试证：在内,或,证 若有使,因在点连续，故存在邻域，使在内恒为零。而由题设,故必,.,由唯一性定理,定理,4.23,（最大模原理）,设在区域内解析，则在内,任何点都不能达到最大值，除非在,内恒等于常数。,