多元函数微分学及其应用归纳总结.doc

第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限
² （或）的定义
² 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
² 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用定义证明
例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设，讨论是否存在？
例4（07年期末考试 一、2，3分）设，讨论是否存在？
例5．求

3、多元函数的连续性
² 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
² 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1． 讨论函数在（0，0）处的连续性。
例2． （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
例3．求 例4．

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数
1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限存在，则有

（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
如果极限存在，则有

对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。
例1（08年期末考试 一、3，4分）已知，则
例2 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
例3 设，求。
例4 设，求。
例5（03年期末考试，一、2，3分） 设，则在(1,2)的值为（ ）。

2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）
,

定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。
例1．设，其中为常数，求：。
例2．设，求。

3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）
4、偏导数的几何意义：表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。

三、全微分
1、在点可微分的判定方法
若，则可判定在点可微分。其中
例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。
例2 （07年期末考试 七、6分），证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。

2、全微分的计算方法
若在可微，则有
其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。
例1（08年期末考试，一，1，4分） 设，则
例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。
例3 （06年期末考试，二、2，3分）设，则
例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数在点(1,0,1)处的全微分为
例5．设，，，求函数：对变量的全微分。

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）
² 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限
² 在可微在的一阶偏导数存在
² 在可微在的方向导数存在

四、多元复合函数求导法则
1、链式求导法则：变量树状图 法则
(1)

6

13

(2)

z
u
x
y
x
y
(3)

例1． （08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。
例2． （08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。
例3． （07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。
例4． （06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（ ）。
例5． （04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。
例6． （03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。
例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。
例8 设，而，，求和。
例9 设，而，，则。
例10． 设，又具有连续的二阶偏导数，求。

2．一阶全微分形式不变性：
设，则不管是自变量还是中间变量，都有
² 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。
² 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
例1．设其中都可微，求。

五、隐函数的求导法则
1、，求
方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。
方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：

2．，求
方法1（直接代公式）：
方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：
，

3．
建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。
例1．设，其中是由确定的隐函数，求。
例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。
例3．（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明

六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
切线向量

切线向量

切线向量

3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数

法线向量

法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：

例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点(a,0,0)的切线方程
例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。
例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面在点(1,2,0)处的法线方程。
例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。
例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。
例7. 在曲线，，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。
例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。
例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，

七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
在沿方向的方向导数为：
① 设为上一点，则

② 设的方向余弦为：，则

可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系

2、梯度的概念和计算公式
在沿什么方向的方向导数最大？
沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模

例1．求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。
例2．求函数在点（2，1）沿方向的方向导数
例3．设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。
例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。
例6（06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。

八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1．求函数的极值。
例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3． 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。
例4 （08年期末考试，六、7分）求在约束下的最大值和最小值。
例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？
例7（03年期末考试，八、10分）求曲线上距原点最近和最远的点。