妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐公式编辑器完美编辑).doc

妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题
柯西中值定理：若函数满足如下条件：
（i）在闭区间上连续；
（ii）在开区间内可导；
（iii）在内的每一点处
则在内至少存在一点，使得 .

1、 （2012年天津高考理科数学压轴题）
已知函数的最小值为其中
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若对，都有成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明： （）.

2、（2013广西理科数学压轴题）
已知函数
（Ⅰ）当时，求的最小值 （Ⅱ）设证明：

3、(2015年山东高考数学理科第21题)
设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若成立，求的取值范围.

4、（2017年德阳市二诊数学压轴题）
已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求证：. （Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

5、已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

6、（2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考数学压轴题）
已知函数，（其中是自然对数的底数）.
（Ⅰ）若，求函数在上的最大值；
（Ⅱ）若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的、，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7、（2017年江苏省南通市二模理科数学）
已知函数，，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在，，使得成立，其中为常数，求证：.
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.