必修2高中数学试卷.doc

必修2高中数学试卷　
一． 选择题（共12小题）1．某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)
A．2+ B．4+ C．2+2 D．5　
2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的
比值为（　　）A． B． C． D．　
3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α,β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m,n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α,β不平行,则在α内不存在与β平行直线 D．若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面　
4． 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
1题图2题图4题图
5．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（　　）
A．2 B．8 C．4 D．10　
6．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）　
7．过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．　
8．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）
A．(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B．(x+1)2+(y+1)2=1 C．(x+1)2+(y+1)2=2 D．(x﹣1)2+(y﹣1)2=2　
9．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在
直线的斜率为（　　）A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣　
10．直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b=（　　）A.-2或12 B.2或-12 C.-2或﹣12 D.2或12　
11．一个结晶体的形状为平行六面体ABC﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此
的夹角都是60°，则=（　　）A． B．2 C． D．　
12．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围

成的几何体的体积为（　　）A． B． C．2π D．4π　
二．填空题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动
点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成
的角为θ，则cosθ的最大值为　　　　　　．　 13题图　
14．现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个，若将它们重
新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为　　　　　
15． 已知点P（0,﹣1），Q（0,1），若直线 l：y=mx-2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，
则实数 m 的取值范围是　　　　　　．　
16．若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r＞0)相交于A,B两点，且∠AOB=120°，O为坐标原点，则r=　　　　

三．解答题（共6小题）17．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；
若不存在，说明理由．

18． 已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，
过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=
（Ⅰ）若λ[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．

19． 如图菱形ABCD,∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，
BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．

21． 已知函数f(x)=x3﹣3x及y=f(x)上一点P（1，﹣2），过点P作直线．（1）求使直线和y=f(x)相切且
以P为切点的直线方程；（2）求使直线和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程．

22．已知点M是圆心为C1的圆(x﹣1)2+y2=8上的动点，点C2(1，0)，若线段MC2的中垂线交MC1于点N．
（1）求动点N的轨迹方程；（2）若直线：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且与N 点轨迹交于不同的两点P，
Q，O为坐标原点，若•=μ且≤u≤，求△OPQ面积的取值范围．
高中数学组卷参考答案 一．1．C 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．D
9．D 10．D 11．D 12．B　二．13．0.4 14． 15．m≤-或m≥ 16．2　
三．17．解：（1）∵圆C1：x2+y2-6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x-3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；

（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组(x−3)2+y2＝4，y＝kx，消去y可得：（1+k2）x2-6x+5=0，由△=36-4（1+k2）×5＞0，可得k2＜0.8
由韦达定理，可得x1+x2=6/(1+k2)，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为x=3/(1+k2)，y=3k/(1+k2)，
其中-2/5＜k＜2/5，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x-1.5）2+y2=9/4，其中5/3＜x≤3；
（3）结论：当k∈[-2/7，2/7]∪{-3/4，3/4}时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点．
理由如下：联立方程组(x-1.5)2+y2＝9/4，y＝k(x−4)，消去y，可得：（1+k2）x2-（3+8k2）x+16k2=0，
令△=（3+8k2）2-4（1+k2）•16k2=0，解得k=±3/4，又∵轨迹C的端点（5/3，±2/3）
与点（4，0）决定的直线斜率为±2/7，∴当直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为[-2/7，2/7]∪{-3/4，3/4}．
18． 解：（I）令P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，可设抛物线方程为 y2=2px
由椭圆的方程可得F1 （-1，0），F2 （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为  y2=4x，
由题意，可设PQ的方程  x=my-1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得 y2-4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4．  又 =λ，∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，
又  (y1+y2)2/y1y2=λ+1/λ+2=4m2．λ∈[2，4]，∴2+1/2≤λ+1/λ≤4+1/4，9/8≤m2≤25/16，
∴4/5≤1/m≤2/3, ∴直线L的斜率k的取值范围为[4/5，2/3]．
（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x1，-y1），
∵KQF2-KMF2=y2/(x2−1)+y1/(x1−1)=[2ky1y2−2(y1+y2)]/(x1−1)(x2−1)=0，
∴M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点  F2 （1，0 ）．
19．解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，
不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=/2，
在直角三角形FDG中，可得FG=/2，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=/2，可得EF=3/2，
从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，
建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，-，0），E（1，0，），F（-1，0，/2），C（0，，0），
即有=（1，，），=（-1，-，/2），
故cos＜，＞=•/||•||=-/3．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为/3
20．证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；
（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；
又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；
又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．
21．解：（1）由f（x）=x3-3x得，f′（x）=3x2-3，过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），则f′（x0）=3x02-3．
又直线过（x0，y0），P（1，-2），故其斜率可表示为[y0−(−2)]/(x0−1)=(x03−3x0+2)/(x0−1)，
又(x03−3x0+2)/(x0−1)=3x02-3，即x03-3x0+2=3（x02-1）•（x0-1），解得x0=1（舍）或x0=-0.5，
故所求直线的斜率为k=3×（1/4-1）=-9/4，∴y-（-2）=-9/4（x-1），即9x+4y-1=0
22．解：（1）由已知得|MN|=|NC2|，则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2＞|C1C2|=2，故动点N的轨迹是以C1，
C2为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b2=1，动点N的轨迹方程为x2/2+y2=1；
（2）∵直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线，∴|t|/(1+k2)=1，∴t2=k2+1，
直线l：y=kx+t代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2＞0可得k≠0．
∴x1+x2=-4kt/(1+2k2)，x1x2=(2t2−2)/(1+2k2)，∴y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=(t2−2k2)/(1+2k2)，
∵t2=k2+1，∴x1x2=2k2/(1+2k2)，y1y2=(1−k2)/(1+2k2)，∴•=μ=x1x2+y1y2=(1+k2)/(1+2k2)，
∵2/3≤μ≤4/5，∴2/3≤(1+k2)/(1+2k2)≤/5，∴1/3≤k2≤1，
∵|PQ|=•=2,令λ=k4+k2，
∵1/3≤k2≤1∴λ∈[4/9，2]．
|PQ|=2•=2•,在[4/9，2]上单调递增，∴4/5≤|PQ|≤4/3，
∵直线PQ是圆x2+y2=1的切线，∴O到PQ的距离为1，
∴S△OPQ=0.5|PQ|，即2/5≤1/2|PQ|≤2/3．故△OPQ面积的取值范围是[2/5，2/3]．