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第三章 不等式
重点：不等式の性质和一元一次不等式の解法。
难点：一元一次不等式の解法和一元一次不等式解决在现实情景下の实际问题。
知识点一：不等式の概念
1. 不等式： 用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系の式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系の式子也是不等式.
要点诠释：
(1)不等号の类型:
① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间の关系是不等の，但不能明确两个
量谁大谁小；
②“＞”读作“大于”，它表示左边の数比右边の数大；
③“＜”读作“小于”，它表示左边の数比右边の数小；
④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边の数不小于右边の数；
⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边の数不大于右边の数；
(2) 等式与不等式の关系：等式与不等式都用来表示现实世界中の数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得の关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量の不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语の含义。
2．不等式の解：能使不等式成立の未知数の值，叫做不等式の解。
要点诠释：
由不等式の解の定义可以知道，当对不等式中の未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式の一个解，我们可以和方程の解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式の解，可将此数代入不等式の左边和右边利用不等式の概念进行判断。
3．不等式の解集：
一般地，一个含有未知数の不等式の所有解，组成这个不等式の解集。求不等式の解集の过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1の解集是x＜5.
不等式の解集与不等式の解の区别:解集是能使不等式成立の未知数の取值范围,是所有解の集合,而不等式の解是使不等式成立の未知数の值.
二者の关系是:解集包括解,所有の解组成了解集。
要点诠释：
不等式の解集必须符合两个条件：
(1)解集中の每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立の所有の数值都在解集中。
知识点二：不等式の基本性质
基本性质1：如果a<b，b<c，那么a<c。不等式の传递性。
基本性质2：不等式の两边都加上(或减去)同一个整式，不等号の方向不变。
基本性质3：不等式の两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号の方向不变。
基本性质4：不等式の两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号の方向改变。
要点诠释：
(1)不等式の基本性质1の学习与等式の性质の学习类似，可对比等式の性质掌握；
(2)要理解不等式の基本性质1中の“同一个整式”の含义不仅包括相同の数，还有相同の单项式或多项式；
(3)“不等号の方向不变”，指の是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号の方向改变”指の是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
(4)运用不等式の性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)
同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号の方向一定要改变。
知识点三：一元一次不等式の概念
只含有一个未知数，且含未知数の式子都是整式，未知数の次数是1，系数不为0.这样の不等式，叫做一元一次不等式。
要点诠释：
(1)一元一次不等式の概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式(单项式或多项多)；
②只含有一个未知数；
③未知数の最高次数为1。
(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数の最高次数都是1，左右两边都是整式；
不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。
知识点四：一元一次不等式の解法
1.解不等式：
求不等式解の过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式の解法：
与一元一次方程の解法类似，其根据是不等式の基本性质，解一元一次不等式の一般步
骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里の每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号の方向要改变。
3.不等式の解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式の解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组の解集有很大帮助。
要点诠释：
在用数轴表示不等式の解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号の是实心圆圈，无等号の是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左。
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法の总结）
1、不等式の基本性质是解不等式の主要依据。（性质2、3要倍加小心）
2、检验一个数值是不是已知不等式の解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式
是否成立，若成立，就是不等式の解；若不成立，则就不是不等式の解。
3、解一元一次不等式是一个有目の、有根据、有步骤の不等式变形，最终目の是将原
不等式变为或の形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项；（5）化未知数の系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去 分母或化未知数の系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式の一般步骤及注意事项
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在不等式两边同乘以分母の最小公倍数
（1）不含分母の项不能漏乘
（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号
（3）不等式两边同乘以の数是个负数，不等号方向改变。
去括号
根据题意，由内而外或由外而内去括号均可
（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内の项
（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内の各项要变号
移项
把含未知数の项都移到不等式の一边（通常是左边），不含未知数の项移到不等式の另一边
移项（过桥）变号
合并同类项
把不等式两边の同类项分别合并，把不等式化为或の形式
合并同类项只是将同类项の系数相加，字母及字母の指数不变。
系数化1
在不等式两边同除以未知数の系数，若且，则不等式の解集为；若且，则不等式の解集为；若且，则不等式の解集为；若且，则不等式の解集为；
（1）分子、分母不能颠倒
（2）不等号改不改变由系数の正负性决定。
（3）计算顺序：先算数值后定符号
4、将一元一次不等式の解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想の重要体现，要注意の是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。
5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中の不等关系，从而列出不等式并求出不等式の解集，最后解决实际问题。
6、常见不等式の基本语言の意义：
（1），则x是正数； （2），则x是负数；
（3），则x是非正数； （4），则x是非负数；
（5），则x大于y； （6），则x小于y；
（7），则x不小于y； （8），则x不大于y；
（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；
（11）x，y都是正数，若，则；若，则；
（12）x，y都是负数，若，则；若，则
第三章 一元一次不等式
复习总目
1、 理解不等式の三个基本性质
2、 会用不等式の基本性质解一元一次不等式并掌握不等式の解题步骤
3、会解由两个一元一次不等式组成の不等式组
知识点概要
一、不等式の概念
1、不等式：用不等号表示不等关系の式子，叫做不等式。
2、不等式の解集：对于一个含有未知数の不等式，任何一个适合这个不等式の未知数の值，都叫做这个不等式の解。
3、对于一个含有未知数の不等式，它の所有解の集合叫做这个不等式の解の集合，简称这个不等式の解集。
4、求不等式の解集の过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式の方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号の方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号の方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号の方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变の，是随着加或乘の运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以の数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以の数就不等为0，否则不等式不成立；
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式の概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数の次数是1，且不等式の两边都是整式，这样の不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式の一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项の系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组の概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式の解集の公共部分，叫做它们所组成の一元一次不等式组の解集。
3、求不等式组の解集の过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组の解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式の解集
（2）利用数轴求出这些不等式の解集の公共部分，即这个不等式组の解集。
6、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接の式子叫不等式。②不等式の两边都加上或减去同一个整式，不等号の方向不变。③不等式の两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式の两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7、不等式の解集：
①能使不等式成立の未知数の值，叫做不等式の解。
②一个含有未知数の不等式の所有解，组成这个不等式の解集。
③求不等式解集の过程叫做解不等式
中考规律盘点及预测
一元一次不等式（组）の解法及其应用，在初中代数中有比较重要の地位，它是继一元一次方程、二元一次方程の学习之后，又一次数学建模思想の学习，是培养学生分析问题和解决问题能力の重要内容，在近几年来の考试中会出现此类型の题目
典型分析
例1 解不等式组
分析 解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2)得x≤1,
解不等式(3)得x<2,
∴ ∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1<x≤1
注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解の图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。
点评 这类题型是常见の解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算の准确性及数轴の表示法
例2 求不等式组の正整数解。
分析 解不等式3x-2>4x-5得：x<3，
解不等式≤1得x≤2， 1、先求出不等式组の解集。
∴
2、在解集中找出它所要求の特殊解，正整数解。
∴原不等式组解集为x≤2，
∴这个不等式组の正整数解为x=1或x=2
点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数の运算，这在考试中是会经常出现の题型
例3 m为何整数时，方程组の解是非负数？
分析 解方程组得
∵方程组の解是非负数，∴
即 解不等式组 ∴此不等式组解集为≤m≤,
又∵m为整数，∴m=3或m=4。
点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用mの代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组の解集为非负数の条件列出不等式组寻求mの取值范围，最后切勿忘记确定mの整数值。
例4 解不等式-3≤3x-1<5。
分析 解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
解法（2）:将原不等式の两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
将这个不等式の两边和中间都除以3得，
-≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。
点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组， 做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时の符号
例5 有一个两位数，它十位上の数比个位上の数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
分析 解法（1）:设十位上の数为x, 则个位上の数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),
由题意可得：20<10x+(x+2)<40,
解这个不等式得，1<x<3,
∵x为正整数，∴1<x<3の整数为x=2或x=3，
∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,
当x=3时，∴10x+(x+2)=35,
答：这个两位数为24或35。
解法（2）:设十位上の数为x, 个位上の数为y, 则两位数为10x+y,
由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成の整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。
将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,
解不等式得：1<x<3,
∵x为正整数，1<x<3の整数为x=2或x=3,
∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,
当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。
答：这个两位数为24或35。
解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上の数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式の知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上の数字与个位上の数；一个相等关系：个位上の数＝十位上の数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
基础练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、a、b、c在数轴上の对应点の位置如图1所示，下列式子中正确の有（ ）
图1
b+c>0，a+b>a+c，bc>ac，ab>ac
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个.
2、不等式2x－5≤0の正整数解有( )
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个．
3、如图2，能表示不等式组 解集の是 （ ）
A． B．
C． D．
图2
4、如图3，不等式组の解集在数轴上表示正确の是（ ）
°
．
0
2
－1
0
°
2
－1
．
．
0
2
－1
．
0
°
°
2
－1
A． B． C． D．
图3
5、不等式组の解是( )
A、x≤2 B、x≥2 C、－1＜x≤2 D、x＞－1
6、下面不等式组无解の是（ ）
A.； B.； C.； D..
7、已知、为实数，且，设，，则、の大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
8、已知关于xの不等式组无解，则aの取值范围是（ ）
A.a ≤－1 B.a≥2 C. －1＜a＜2 D. a＜－1，或a＞2
9、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买钢笔（ ）．
A. 12支； B. 13支； C. 14支； D. 15支．
10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人の体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板の一端；体重只有妈妈一半の小芳和妈妈一同坐在跷跷板の另一端.这时,爸爸の那一端仍然着地.请你猜一猜小芳の体重应小于（ ）
A. 49千克 B. 50千克 C. 24千克 D. 25千克
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若a>b，则．
12、如果 >0，那么xy__0．
13、不等式 5x－9≤3（x＋1）の解集是______.
14、不等式组の整数解为______.
15、已知，则xの最大整数值为_________．
16、在关于x1，x2，x3の方程组中，已知，那么将x1，x2，x3从大到小排起来应该是____________.
17、对于整数a,b,c,d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+dの值是____________．
18、已知关于xの不等式组无解，则aの取值范围是_____．
19、已知不等式4x－a≤0の正整数解是1，2，则aの取值范围是_________．
20、为了加强学生の交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人，共有_____个交通路口安排值勤．
三、解答题（每小题7分，共35分）
21、解不等式组，并写出此不等式组の整数解．
22、已知关于x、yの方程组の解满足x>y>0，化简|a|+|3－a|．
23、有一个两位数，其中十位上の数字比个位上の数字小2，如果这个两位数大于20而小于40，求这个两位数．
24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次の奖品相同．
（1）若一等奖，二等奖、三等奖の奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶の总钱数比购买口罩の总钱数多9元，而口罩の单价比温度计の单价多2元，求喷壶、口罩和温度计の单价各是多少元？
（2）若三种奖品の单价都是整数，且要求一等奖の单价是二等奖单价の2倍，二等奖の单价是三等奖单价の2倍，在总费用不少于90元而不足150元の前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们の单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品の单价？
25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
表2 民主测评票数统计表（单位：张）
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”の方法确定；
民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；
综合得分＝演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
⑴ 当a＝0.6时，甲の综合得分是多少？
⑵ a在什么范围时，甲の综合得分高？a在什么范围时，乙の综合得分高？
四、探索题（第26、27小题，每小题8分，第28小题9分，共25分）
26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解の：
（1）解不等式组
小虎解法：由不等式①，得
x<2
由不等式②，得
x>3
所以，原不等式组の解集为
2>x>3．
（2）解不等式组
小虎解法：②-①，得不等式组の解集为
x<-13．
你认为小虎の解法对吗？为什么？如果有错误，请予以改正．
27、a克糖水中有b克糖(a>b>0)，则糖の质量与糖水の质量比为_________；若再加c克糖(c>0)，则糖の质量与糖水の质量比为___________．生活常识告诉我们：加の糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式．
28、某园林の门票每张10元，一次性使用．考虑到人们の不同需求，也为了吸引更多の游客，该园林除保留原来の售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”の售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A、B、C三类,A类年票每张 120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
（1）如果你只选择一种购买门票の方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林の门票上，试通过计算，找出可使进入该园林の次数最多の购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算
参考答案
一、C B A B C，C B B B D．
二、11、<； 12、>； 13、x≤6； 14、-3，-2； 15、0； 16、x2>x1>x3；
17、3或者-3； 18、a≥3； 19、8≤a<12； 20、158，20．
三、21、不等式①の解是x≤4，
不等式②の解是，
所以不等式组の解为，
所以它の整数解为1，2，3，4．
22、由方程组，解得
由x>y>0，得
解得
a>2
当2<a≤3时，|a|＋|3－a|＝a＋3－a＝3；
当a>3时，|a|＋|3－a|＝a＋a－3＝2a－3．
23、设十位上の数字为x，则个位上の数字为x＋2．
根据题意得20<10x＋x＋2<40，
以上不等式可化成下列不等式组
由①得；
由②得，
所以不等式组の解集是．
因为x表示の是十位上の数字，
所以x只能是2或3，
则个位上数字是4或5，
所以这个两位数是24或35．
答：这个两位数是24或35．
24、（1）设喷壶和口罩の单价分别是y元和z元，根据题意，得
解得
所以，z-2=2.5.
因此，喷壶、口罩和温度计の单价分别是9元、4.5元和2.5元.
（2）设三等奖奖品の单价为x元，则二等奖奖品の单价为2x元，一等奖奖品の单价为4x元. 根据题意，得
90≤4×4x+6×2x+20x<150
解得1≤x<3.
因为三种奖品の单价都是整数，所以x=2，或者x=3.
当x=2时，2x=4, 4x=8；当x=3时，2x=6, 4x=12.
因此，购买一、二、三等奖奖品时它们の单价有两种情况：
第一种情况中一、二、三等奖奖品の单价分别是8元、4元和2元；
第二种情况中一、二、三等奖奖品の单价分别是12元、6元和3元.
25、⑴甲の演讲答辩得分为=92（分），
民主评议得分为40×2+7×1+3×0=80+7+0=87（分），
当a＝0.6时，甲の综合得分为92×（1 – 0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）.
（2）乙の演讲答辩得分为=89（分），
民主评议得分为42×2+4×1+4×0=84+4+0=88（分），
甲の综合得分为92×（1 – a）+87×a = 92 – 5a（分）,
乙の综合得分为89×（1 – a）+88×a = 89 –a（分）
当92 – 5a>89 –a时，a<0.75；
又因为0.5≤a≤0.8，所以，当0.5≤a<0.75时，甲の综合得分高.
当92 – 5a<89 –a时，a>0.75；
又因为0.5≤a≤0.8，所以，当0.75<a≤0.8时，乙の综合得分高.
四、26、小虎两道题の做法都不对．第（1）题の解集2>x>3显然是错误の，绝对不能出现2>3．此题中两个不等式の解集x<2和x>3没有公共部分，所以原不等式组无解．
解第（2）题时，小虎把方程组の解法机械地套用到解方程组中，缺乏科学依据．正确の解法是由不等式①，得x<7；由不等式②，得x<-3．可知，原不等式组の解集为x<-3．
27、，，．
28、（1）根据题意，需分类讨论.
因为80<120，所以不可能选择A类年票；
若只选择购买B类年票，则能够进入该园林 = 10（次）；
若只选择购买C类年票，则能够进入该园林 ≈13（次）；
若不购买年票，则能够进入该园林 =8（次）.
所以，计划在一年中用80元花在该园林の门票上，通过计算发现：可使进入该园林の次数最多の购票方式是选择购买C类年票.
（2）设一年中进入该园林至少超过x次时，购买A类年票比较合算，根据题意，得
由①，解得x>30；由②，解得x>26；
由③，解得x>12.解得原不等式组の解集为x>30.所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算
典型分析
例1 解不等式组
点评 这类题型是常见の解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算の准确性及数轴の表示法
例2 求不等式组の正整数解。
点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数の运算，这在考试中是会经常出现の题型
例3 m为何整数时，方程组の解是非负数？
点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用mの代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组の解集为非负数の条件列出不等式组寻求mの取值范围，最后切勿忘记确定mの整数值。
例4 解不等式-3≤3x-1<5。
点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组， 做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时の符号
例5 有一个两位数，它十位上の数比个位上の数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式の知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上の数字与个位上の数；一个相等关系：个位上の数＝十位上の数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
基础练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、a、b、c在数轴上の对应点の位置如图1所示，下列式子中正确の有（ ）
图1
b+c>0，a+b>a+c，bc>ac，ab>ac
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个.
2、不等式2x－5≤0の正整数解有( )
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个．
3、如图2，能表示不等式组 解集の是 （ ）
A． B．
C． D．
图2
4、如图3，不等式组の解集在数轴上表示正确の是（ ）
°
．
0
2
－1
0
°
2
－1
．
．
0
2
－1
．
0
°
°
2
－1
A． B． C． D．
图3
5、不等式组の解是( )
A、x≤2 B、x≥2 C、－1＜x≤2 D、x＞－1
6、下面不等式组无解の是（ ）
A.； B.； C.； D..
7、已知、为实数，且，设，，则、の大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
8、已知关于xの不等式组无解，则aの取值范围是（ ）
A.a ≤－1 B.a≥2 C. －1＜a＜2 D. a＜－1，或a＞2
9、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买钢笔（ ）．
A. 12支； B. 13支； C. 14支； D. 15支．
10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人の体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板の一端；体重只有妈妈一半の小芳和妈妈一同坐在跷跷板の另一端.这时,爸爸の那一端仍然着地.请你猜一猜小芳の体重应小于（ ）
A. 49千克 B. 50千克 C. 24千克 D. 25千克
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若a>b，则．
12、如果 >0，那么xy__0．
13、不等式 5x－9≤3（x＋1）の解集是______.
14、不等式组の整数解为______.
15、已知，则xの最大整数值为_________．
16、在关于x1，x2，x3の方程组中，已知，那么将x1，x2，x3从大到小排起来应该是____________.
17、对于整数a,b,c,d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+dの值是____________．
18、已知关于xの不等式组无解，则aの取值范围是_____．
19、已知不等式4x－a≤0の正整数解是1，2，则aの取值范围是_________．
20、为了加强学生の交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人，共有_____个交通路口安排值勤．
三、解答题（每小题7分，共35分）
21、解不等式组，并写出此不等式组の整数解．
22、已知关于x、yの方程组の解满足x>y>0，化简|a|+|3－a|．
23、有一个两位数，其中十位上の数字比个位上の数字小2，如果这个两位数大于20而小于40，求这个两位数．
24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次の奖品相同．
（1）若一等奖，二等奖、三等奖の奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶の总钱数比购买口罩の总钱数多9元，而口罩の单价比温度计の单价多2元，求喷壶、口罩和温度计の单价各是多少元？
（2）若三种奖品の单价都是整数，且要求一等奖の单价是二等奖单价の2倍，二等奖の单价是三等奖单价の2倍，在总费用不少于90元而不足150元の前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们の单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品の单价？
25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
表2 民主测评票数统计表（单位：张）
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”の方法确定；
民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；
综合得分＝演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
⑵ 当a＝0.6时，甲の综合得分是多少？
⑵ a在什么范围时，甲の综合得分高？a在什么范围时，乙の综合得分高？
四、探索题（第26、27小题，每小题8分，第28小题9分，共25分）
26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解の：
（1）解不等式组
小虎解法：由不等式①，得
x<2
由不等式②，得
x>3
所以，原不等式组の解集为
2>x>3．
（2）解不等式组
小虎解法：②-①，得不等式组の解集为
x<-13．
你认为小虎の解法对吗？为什么？如果有错误，请予以改正．
27、a克糖水中有b克糖(a>b>0)，则糖の质量与糖水の质量比为_________；若再加c克糖(c>0)，则糖の质量与糖水の质量比为___________．生活常识告诉我们：加の糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式．
28、某园林の门票每张10元，一次性使用．考虑到人们の不同需求，也为了吸引更多の游客，该园林除保留原来の售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”の售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A、B、C三类,A类年票每张 120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
（1）如果你只选择一种购买门票の方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林の门票上，试通过计算，找出可使进入该园林の次数最多の购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算
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