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数学学业水平考试常用公式及结论

一、集合与函数：
集合
1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
2、 集合相等：若：,则
3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：
4．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个； 5.常用数集：自然数集：N 正整数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2
① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
二次函数y = ax2 +bx + c（）的性质
1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值：
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式; (2)顶点式;
(3)两根式.
指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a m • a n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n
（5） （6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） （8）（9）
2、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

Y
0
X
1
a > 1
0
Y
X
1
0 < a < 1

3.指数式与对数式的互化： .
对数与对数函数
1.对数的运算法则：
（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N
（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M -- log a N
（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =
（10）推论 (,且,,且,, ).
（11）log a N = （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）
X
0
Y
1
0 < a < 1
0
Y
X
1
a >1

2.图象平移：若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象； 规律：左加右减，上加下减
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
函数的零点：1.定义：对于，把使的X叫的零点。即
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条
曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在，
使得，这个C就是零点。
二、圆：
1、斜率的计算公式：k = tanα= （α ≠ 90°，x 1≠x 2）
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b(k存在) ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) (k存在）；
（3）两点式 （） ；4）截距式 （）
（5）一般式
3、两条直线的位置关系：

l1：y = k1 x + b1
l2：y = k 2 x + b2
l1： A1 x + B1 y + C1 = 0
l2： A2 x + B2 y + C2 = 0
重合
k1= k 2且b1= b2

平行
k1= k 2且b1≠ b2

垂直
k1 k 2 = – 1
A1 A2 + B1 B2 = 0
4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =
5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：

6、圆的方程

圆的方程
圆心
半径
标准方程
x 2+ y 2= r 2
（0，0）
r
(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2
（a，b）
r
一般方程
x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

7.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种若，则 点在圆外
点在圆上
点在圆内
8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线与圆的位置关系有三种:
①②③.
9.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
三、立体几何：
（一）、线线平行判定定理：
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、 垂直于同一平面的两直线平行。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
四、三角函数：
1、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 tanαcotα=1
2、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α
3、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ干sinαsinβ

4、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
5、三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
五、平面向量 ：
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|| =；
（2）坐标法：设=（x，y），则|| =
2、平行向量
规定：零向量与任一向量平行。设=（x1，y1），=（x2，y2），λ为实数
向量法：∥（≠）<=> =λ
坐标法：∥（≠）<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> （y1 ≠0 ，y 2 ≠0）
3、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设=（x1，y1），=（x2，y2）
向量法：⊥<=> ·= 0 坐标法：⊥<=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0
4、平面两点间的距离公式
=(A，B).
5、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则+=（x1+ x2 ，y1+ y2）
6、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则-=（x1 - x2 ，y1- y2）
7、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos =
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则cos =
8、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：·= || || cos
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则·= x1 x2 + y1 y2
（3） a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
六、解三角形：
ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60º，∠A +∠C = 120º
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
4、边角关系：（1）正弦定理： （R为ΔABC外接圆半径）
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB ,
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC
, ,
5、面积公式：S = a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
七、不等式：
（一）、均值定理及其变式：（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b
（2）a , b ∈ R + , a + b ≥ 2 （3）a , b ∈ R + , a b ≤
以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
（二）.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
；

八、数列 ：
（一）、等差数列{ a n }
1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：S n = n a 1 +n ( n – 1 ) d =
3、等差数列的主要性质：
① 若m + n = 2 p，则 a m + a n = 2 a p（等差中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )
（二）、等比数列{ a n }1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
当q≠1时，S n = =， 当q = 1时，S n = n a 1
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a p2 = a m • a n（等比中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N )
（三）、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + … + a n ，则恒有

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