高中数学不等式练习题.doc

高中数学不等式练习题

一．选择题（共16小题）
1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜
2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（　　）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（　　）
A．0 B．2 C．5 D．6
6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2
13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（　　）
A．35 B．105 C．140 D．210
15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（　　）
A． B． C． D．

二．解答题（共10小题）
17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．
18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．
19．解不等式：≥2．
20．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a，c的值；
（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．
21．（1）已知实数x，y均为正数，求证：；
（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．
22．已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．
23．设a、b为正实数，且+=2．
（1）求a2+b2的最小值；
（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．
24．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．
（1）求的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．
25．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．
26．某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．
羊毛颜色
每匹需要/kg
供应量/kg
布料A
布料B
红
3
3
1050
绿
4
2
1200
黄
2
6
1800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数．
（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．

高中数学不等式练习题
参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）
1．（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．
【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b=．
则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），
∴＜log2（a+b）＜a+．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（　　）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．
另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=，y=，z=．
∴3y=，2x=，5z=．
∵==，＞=．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=，y=，z=．
∴==＞1，可得2x＞3y，
==＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y满足的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．

4．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．

5．（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（　　）
A．0 B．2 C．5 D．6
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是
由解得的点A的坐标，
代入目标函数求出最大值．
【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；

由解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y的最大值为
zmax=﹣3+2×4=5．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．

6．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由解得A（3，0），
所以z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．

7．（2017•新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由解得A（0，3），
由解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．

8．（2017•大石桥市校级学业考试）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

A（0，3），
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

9．（2017•天津学业考试）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，1），
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

10．（2017•明山区校级学业考试）若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据题意，首先由ab＞0可得＞0且＞0，进而由基本不等式可得+≥2，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，
则＞0且＞0，
+≥2=2，
即+的最小值是2；
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件．

11．（2017•资阳模拟）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=xc，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；
对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；
对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；
对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．

12．（2017•全国模拟）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2
【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．
∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．
故选C．
【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．

13．（2017•锦州一模）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
【分析】=（）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不等式即可求出
【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，
∴a+b﹣2=1，
∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，
则的最小值是3+2，
故选：D
【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题

14．（2017•乌鲁木齐模拟）已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（　　）
A．35 B．105 C．140 D．210
【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．
【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，
∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．
∴xy≤105．
∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．
故选：B．
【点评】本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（2017•和平区校级二模）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．
那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．
∴+的最小值为8，
则m的最大值为8．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．

16．（2017春•温江区校级月考）已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】展开，并根据x+y=1可以得到，可令t=xy，并求出，而根据的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．
【解答】解：z=
=
=
=；
令t=xy，则；
由在上单调递减，故当t=时 有最小值，
即：时z有最小值．
故选B．
【点评】考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数的单调性．

二．解答题（共10小题）
17．（2017•郑州二模）已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．
【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；
（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，
解得x＜3，∴≤x＜3；
当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，
解得x＞1，∴1＜x＜；
综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；
∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，
∴，
∴m﹣n=4﹣3=1；
（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）
≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）
=3（ab+bc+ca）=3；
∴a+b+c的最小值是．
【点评】本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．

18．（2017春•巢湖市校级期中）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．
【分析】（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；
（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出．
【解答】解：（1）由不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）；
由不等式x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．
∴A∩B=（﹣1，2）．
（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），
∴解得
∴不等式﹣x2+x﹣2＜0可化为x2﹣x+2＞0，
∵△=1﹣4×2=﹣7＜0，
∴x2﹣x+2＞0的解集为R．
【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．

19．（2017春•齐河县校级期中）解不等式：≥2．
【分析】把不等式的右边移项到左边，通分后把分子分母都分解因式，得到的式子小于等于0，然后根据题意画出图形，在数轴上即可得到原不等式的解集．
【解答】解：不等式移项得：﹣2≥0，
变形得：≤0，
即2（x﹣）（x﹣6）（x﹣3）（x﹣5）≤0，且x≠3，x≠5，
根据题意画出图形，如图所示：

根据图形得：≤x＜3或5＜x≤6，
则原不等式的解集为[，3）∪（5，6]．
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想及数形结合的思想．此类题先把分子分母分解因式，然后借助数轴达到求解集的目的．

20．（2017春•涞水县校级期中）已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a，c的值；
（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；
（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且a＜0，…（1分）
所以；…（3分）
解得a=﹣，c=﹣；…（5分）
（2）由（1）得a=﹣，c=﹣，
所以不等式ax2+2x+4c＞0化为﹣x2+2x﹣3＞0，
解得2＜x＜6，
∴A={x|2＜x＜6}，
又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，
解得x＞﹣m，
∴B={x|x＞﹣m}，…（8分）
∵A⊂B，
∴{x|2＜x＜6}⊂{x|x＞﹣m}，
∴﹣m≤2，即m≥﹣2，
∴m的取值范围是[2，+∞）．…（10分）
【点评】本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目．

21．（2017春•雨城区校级期中）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；
（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．
【分析】（1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；
（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]＜0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．
【解答】解：（1）证明：=，…（2分）
又因为x＞0，y＞0，所以，
由基本不等式得，，…（4分）
当且仅当时，取等号，
即2y=3x时取等号，
所以；…（5分）
（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）
令[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]=0，
得 x1=a+1，x2=a﹣1，
又因为a+1＞a﹣1，…（9分）
所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1）．…（10分）
【点评】本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．

22．（2017•泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．
【分析】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得证．
【解答】解：∵a，b，c全不相等，
∴全不相等
∴＞2，＞2，＞2
三式相加得，＞6
∴＞3
即＞3
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．

23．（2017•泉州模拟）设a、b为正实数，且+=2．
（1）求a2+b2的最小值；
（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．
【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），
利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．
（2）根据+=2．
∴a，
代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3
求解即可得出ab=1
【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．
∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．
即ab（a=b时等号成立）
∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．
∴a2+b2的最小值为1，
（2）∵且+=2．
∴a
∵（a﹣b）2≥4（ab）3，
∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3
即（2）2﹣4ab≥4（ab）3
即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，
∵a、b为正实数，
∴ab=1
【点评】本题考查了基本不等式，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基本不等式求函数最值时，要保证：“一正、二定、三相等”，此题是基础题

24．（2017•唐山一模）已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．
（1）求的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．
【分析】（1）根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质得到（x+1）（y+1）的最大值是4，从而判断出结论即可．
【解答】解：（1），
当且仅当x=y=1时，等号成立．
所以的最小值为2．
（2）不存在．
因为x2+y2≥2xy，
所以（x+y）2≤2（x2+y2）=2（x+y），
∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，
又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．
从而有（x+1）（y+1）≤≤=4，
因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档题．

25．（2017•天津一模）某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．
【分析】（Ⅰ）写出约束条件，画出图象即可，
（Ⅱ）设出目标函数，欲求利润最大，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足的数学关系式为，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．
（Ⅱ）解：设利润为z万元，则目标函数z=900x+600y，所以y=﹣x+，这是斜率为﹣，在y轴上的截距为的一族平行直线．
当取最大值时，z的值最大，又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z=900x+600y经过可行域中的点M时，截距的值最大，即z的值最大．
解方程组，得点M的坐标为（30，20），
所以Zmax=900×30+600×20=39000．
故每天生产甲种产品30吨，乙种产品20吨时利润最大，且最大利润为39000元．

【点评】本题主要考查生活中的优化问题，利用条件建立二元二次不等式组，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．

26．（2017•滨海新区模拟）某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．
羊毛颜色
每匹需要/kg
供应量/kg
布料A
布料B
红
3
3
1050
绿
4
2
1200
黄
2
6
1800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数．
（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立不等式关系，利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．
（Ⅱ）求出目标函数，利用线性规划的知识进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，
则，对应的可行域如图：
（Ⅱ）设最大利润为z，则目标函数为 z=60x+40y，
则y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，当直线y=﹣x+经过可行域上M时，截距最大，即z最大．
解方程组，
得M的坐标为x=250，y=100
所以zmax=60x+40y=19000．
答：该公司每月生产布料A、B分别为250、100匹时，能够产生最大的利润，最大的利润是19000 元．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．

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