高中数学必修一函数教案.doc

函数教案
教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
一、与函数相关的概念
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论.
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x－1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（二）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（三）函数的复合型
设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的值域,N是函数y=f(u)的定义域,当M⊆N,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.
二、函数的表达方式
函数的表达方式：解析法、图像法、列表法
（一）解决函数问题
【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
【例2】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.
【例3】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是
(　　)

【例4】求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
三、函数的映射
1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4． 函数的概念．
新课教学
1、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
2、什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射、记作“f：AB”
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
四、函数的单调性
教学目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
一、 引入课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1

随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
二、 新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
五、函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
一、新课教学
（一）函数的奇偶性定义
图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
3．函数的奇偶性与单调性的关系
例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
作业：判断下列函数的奇偶性：
； ； （）

思考：
已知是定义在R上的函数，
设，
试判断的奇偶性；
试判断的关系；
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
六、函数的最值问题
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
利用函数的单调性判断函数的最值问题
一、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值．
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
七、方程的根和函数的零点
一元二次方程及其相应的二次函数
①方程x2-2x-3=0的解为　　　　,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有　　　　个交点,坐标为　　　　. 
②方程x2-2x+1=0的解为　　　　,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有　　　　个交点,坐标为　　　　. 
根据以上观察结果,可以得到:
结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的　　　　.若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点. 
函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：
求函数的零点：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点
二次函数的零点：
二次函数：．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；（2）；（3）；
（4）
3． 当时，函数的零点是怎样分布的？
（1）研究，，
（2），的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．
函数二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
二分法的一般步骤：
若=，则就是函数的零点；
若·<，则令=（此时零点）；
若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．

八、指数函数
1． 整数指数幂的运算性质；

2． 根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
结论：当是奇数时，
当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．有理指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
指数函数的一般形式
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
函数一般性质
图象特征
函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
九、对数函数
（一）对数函数性质和运算
（1）对数的定义：；
（2）对数恒等式：；
1．对数的运算性质
运算性质：
　　如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
2. 换底公式
（，且；，且；）．
3．对数函数一般变形
（1）；（2）．
思考题：
设正整数、、（≤≤）和实数、、、满足：
，，
求、、的值．
（二）对数函数的图象和性质
内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
（1）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
（1）
（2）
（3）
（4）

（2）对数函数的性质如下表格：
图象特征
函数性质

函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）

自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0

作业练习：
（1）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性
（2）求函数的单调区间
十、幂函数．
一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
（1）； （2）；（3）；
（4）；（5）．

幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．