沪科版九年级数学上22.2相似三角形的判定典型例题及练习(无答案).doc

沪科版九年级数学上22.2相似三角形的判定典型例题及练习（无答案）
相似三角形的判定
一． 知识点讲解
1. 相似三角形的定义
（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。
如图所示，与相似,记作“∽”，读作相似于 。

（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。
（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。
②相似三角形相似比是有顺序的。
③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。
④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2.平行线截三角形相似的定理
（1）平行线截三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
（2） 数学表达式：

∽

3.相似三角形的判定定理
（1）判定定理1：
文字语言
数学语言
图形
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简记为：两角分别相等的两个三角形相似。）

∽

（2）判定定理2：
文字语言
数学语言
图形
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。）
∽

（3）判定定理3：
文字语言
数学语言
图形
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（简记为：三边成比例的两个三角形相似。）
∽

（4）判定定理4：
文字语言
数学语言
图形
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（简记为：三边成比例的两个三角形相似。）
∽

4. 相似三角形的基本类型

相似三角形
的基本类型

字型

字型

双垂直型

一线三等角型

一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中，可根据，得图中两个阴影部分三角形相似。

一线三垂直型

5. 相似三角形判定思路

判定思路
有平行截线
①平行线截三角形相似的定理
②用平行线的性质，找等角
有一组等角
①找另一对等角
②找该角的两边对应成比例
直角三角形
①找一组锐角相等
②两组边对应成比例
等腰三角形
①找顶角相等
②一组底角相等
③底和腰对应成比例
有两组边对应成比例
①夹角相等
②第三组边也对应成比例
③有一组直角

二． 考点讲解
考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似
1. 如图所示，在中，.
（1）求,,的值； （2）与相似吗？为什么？

考点2：利用相似三角形的定义确定相似比
2. 如图，已知∽,且,,.求：（1）与的相似比；（2）BD的长。

变式练习：如图所示，∽,下列式子不成立的是（ ）
A. B. C. D.
考点3：利用平行线识别相似三角形
3.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
变式练习：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考点4：利用证相似三角形求线段的长
4.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（　　）

A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm
变式练习：如图，在平行四边形中，,，则 .

考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例
5.如图所示，是平行四边形的边的延长线上一点，分别交和于点和.求证：.

变式练习：如图，在梯形中，，且,点，分别是的中点，与相交于点.（1）求证：∽; （2）若，求的长。

考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似
6.如图所示，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点。求证：∽.

变式练习:如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．
求证：△ADC∽△DEB．

考点7：利用相似三角形证明等积式
7.如图所示，在中，,的垂直平分线交于点,交于,交的延长线于.求证：.

变式练习：已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且,连接。求证：；（2）如果，求证：.

考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似
8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．

变式练习：如图所示，在正方形中，是上的点，且,是的中点。
求证：∽

考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似
9.如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF．

变式练习：如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似
10.已知在与中，,，，，。求证∽.

变式练习：在和中，，, ，，，当
时，∽.

三． 基础题型讲解
基础题型1：添加条件来说明三角形相似
1.如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB=AP•AC D．
变式练习:如图，，添加一个条件 ，使得∽

基础题型2：寻找图形中相似三角形的对数
2.如图，在平行四边形中，过点的直线与对角线,边分别交于点，。过点E作,交于点，则图中相似三角形有（ ）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
变式练习：如图所示，为线段上一点，与交于,,交于,交于，则图中相似三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
基础题型3：相似三角形判定定理的应用
3. 如图所示，在中，是高，（1）求证：∽。（2）若与交于点，则∽.

变式练习：如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

基础题型4：与相似三角形有关的分类讨论题
4. 如图所示，点是锐角三角形中边上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条。

变式练习：如图所示是的斜边上异于的一定点，过点作直线截,使截得的三角形与相似，这样的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
基础题型5：相似三角形与函数的综合题
5.如图所示，在正方形中，,是边上与点不重合的任意一点，于点，
（1） 试说明∽；
（2） 当点在上运动时，线段也随之变化。设，求与之间的函数表达式。

变式练习：如图所示，为正三角形，分别是上的点（不在顶点），.
（1） 求证：∽;
（2） 若正三角形的边长为4，并设，，试求与之间的函数表达式。

四． 拔高题型讲解
拔高题型1：利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题
1.已知：如图所示，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点。
求证：.

拔高题型2:利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题
2. 如图所示，是直角三角形，，，点在反比例函数的图像上。若点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A.-4 B.4 C.-2 D.2
3．如图，一条直线与反比例函数y＝的图象交于A（1，4）、B（4，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．
（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；
（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标．

拔高题型3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系
4.如图所示，在矩形中，，，为线段上的动点（不与点重合），连接,过点作,与线段交于点，设，。
（1） 写出关于的函数表达式；
（2） 若，当为何值时，的值最大？最大值是多少？

拔高题型4：利用相似三角形的定义进行规律探究
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？

6.如图所示，已知AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6，CD=4，BD=k，点P在BD上移动，保持∠APC=90,但不与点B和点D重合。
（1）当k=14时，请问在BD上存在多少个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似？并求BP的长．
（2）已知在BD上至少存在一个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似，求k的取值范围．

7.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

拔尖题型5：和相似有关的存在型问题
8.如图所示，在中，已知,，且≌,将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点.
（1） 求证：∽；
（2） 在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由。

拔尖题型6：相似三角形与折叠问题
9.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由。

五． 课后作业
一．选择题。
1.如图，直线AB与▱MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D，则图中的相似三角形有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
2.与图中相似的是（ ）

3.如图所示，在平行四边形ABCD中,,,,则的长为（ ）
A. B.8 C.10 D.16
4.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）
A．100° B．120° C．115° D．135°
5.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（　　）
A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm
6.如图，在中，是中线，,,则线段的长为（ ）
A.4 B. C.6 D.
7.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，在（）内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）
A. B. C. D.
9.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）

10．已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　）
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
11. 如图所示，在中，，，，分别在，上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
12. 如图所示，在中，,，平分交于点，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
13. 如图所示，正方形的对角线与相交于点，的平分线分别交于两点。若,则线段的长为（ ）
A. B. C.1 D.
14. 如图所示，中，,，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
A.3 B.3或 C.3或 D.
二． 填空题。
15.在中，为边上一点，且，已知，，则 。

16.如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）

17．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 。
（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

18．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足
条件时，有△ABC∽△AED．（只需写一个条件即可）

19．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= 。

20．如图，已知直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为 。

21.如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB=6，AC=10，当CD= 时，△ABC∽△ACD．

22.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．

23．四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，AB=7cm，BC=3cm，试在AB边上确定P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．则AP的长是 ．
22.（2016•芦溪县二模）如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 。

24. 如图，在中，,，.四边形是的内接正方形（点在三角形的边上），则此正方形的面积是 。

三． 解答题。
25.如图，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．

26.如图所示，中，是边上的高，且.
（1） 求证：∽;
（2） 求的大小。

27.如图，AC//EF//BD,求证：.

28.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED．

29.如图所示，在等腰三角形中，，为延长线上一点，为延长线上一点，。
（1） 求证：∽；
（2） 若,求的度数。

30.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，是线段的中点。请问在轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由。

31.如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点。和的顶点都在格点上，的延长线交于点。
（1） 求证：∽；
（2） 求证：.

32.如图所示，正方形中，为上一点，是的中点，,垂足为，且交的延长线于点，交于点。
（1） 求证：∽；
（2） 若,,求的长。

33.在中，为边上一点。（1）如图①，若,求证：.
（2）若为的中点，。
①如图②，若,,求的长；
②如图③，若,,直接写出的长。

34.如图，直线与轴、轴分别相交于两点，与双曲线（）相交于点，轴于点，且,点的坐标为。
（1） 求双曲线对应的函数表达式；
（2） 若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点为顶点的三角形与相似时，求点的坐标。

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