初中数学二次函数练习(高难).doc

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，点AB坐标分别为（1，1）、（1，2），经过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．

5．如图1，已知抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，顶点为D，点C’是点C关于对称轴的对称点，过点D作DG⊥x轴交x轴于点G，交线段AC于点E。
（1）连接DC，求△DCE的周长；
（2）如图2，点P是线段AC上方抛物线上的一点，过P作PH⊥x 轴交x轴于点H，交线段AC于点Q，当四边形PCQC’的面积最大时，在线段PH上有一动点M，在线段DG上有一动点N，在y轴上有一动点E，且满足MN⊥PH，连接AM,MN,NE,DE，求AM+MN+NE+DE的最小值；
（3）如图3，将抛物线沿直线AC进行平移，平移过程中的点D记为D’，点C记为C’，连接D’C’所形成的直线与x轴相交于点G，请问是否存在这样的点G，使得△D’OG为等腰三角形？若存在，求出此时OG的长度，若不存在，请说明理由。

6．如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)设点为直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求点的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线过直线与轴的交点.设的中点为，是直线上一点，是直线上一点，求周长的最小值.

7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴与轴交于点E，直线CE交抛物线于点F（异于点C），直线CD交轴交于点G．
（1）如图①，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图①，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求的最小值；
（3）如图②，过点D作交轴于点I，将△GDI沿射线GB方向平移至处，将绕点逆时针旋转，当旋转到一定度数时，点会与点I重合，记旋转过程中的为，若在整个旋转过程中，直线G’’I’’分别交x轴和直线GD’于点K、L两点，是否存在这样的K、L，使△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长．

10．如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于两点，其中点的横坐标是.
⑴求这条直线的函数关系式及点的坐标 ；
⑵在轴上是否存在点 ,使得△是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
⑶过线段上一点,作∥轴，交抛物线于点,点在第一象限；点，当点的横坐标为何值时， 的长度最大？最大值是多少？
11．如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
求抛物线的解析式；
点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合，过点P作直线轴于点D，交直线AB于点E．
当时，求P点坐标；
是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．

13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

16．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点 D，其中点B的坐标为（3，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小；若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

17．（12分）如图1，抛物线与轴交于A（1，0），B（-3，0），与轴交于C（0，3），顶点是G．
（1）求抛物线的的解析式及顶点坐标G．
（2）如图1，点D（x，y）是线段BG上的动点（不与B，G重合），DE⊥x轴于E，设四边形OEDC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值．

18．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[2，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[4，2]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[2，4]？

18．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[2，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[4，2]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[2，4]？
19．对于二次函数和一次函数，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
【尝试】（1）当t=2时，抛物线 的顶点坐标为　 　；
（2）判断点A　 　(填是或否)在抛物线L上；
（3）n的值是　 　；
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为　 　　 　．
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
（3）设点为抛物线上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的上方，求的取值范围．
21．如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线y=﹣2x+m+6经过点B，交y轴于点E（0，6）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴与线段BC交于点H，且直线y=x与直线y=﹣2x+m+6交于点G，求证：四边形OHBG是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，若存在，直接写出P点的坐标，不存在请说明理由．

22．如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系；
（2）如图②，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

(3)若BC=DE=2,在（2）的旋转过程中,求线段AE长的最大值和最小值
23．如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
计算：求BC的长；
操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．如图14-2,当点C1在线段CA的延长线上时．
（1）证明：A1C1⊥CC1；
（2）求四边形A1BCC1的面积；
探究：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．连结AA1,CC1，如图14-3．若△ABA1的面积为5,求点C到BC1的距离；
拓展：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1, 如图14-4．
（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值；
（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
24．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

27．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=，点P为射线BD，CE的交点.若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.

28．（2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
29．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．
如图②，当α=90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）

30．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．
（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．

31．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.
（1）求证：△PCQ是等边三角形；
（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求
出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

32．如图，抛物线y=﹣x2+2x的顶点为M，与x轴交于0，A两点，点P（a，0）是线段0A上一动点（不包括端点），过点P作y轴的平行线，交直线y=x于点B，交抛物线于点C，以BC为一边，在BC的右侧作矩形BCDE，若CD=2，则当矩形BCDE与△OAM重叠部分为轴对称图形时，a的取值范围是__．

参考答案
1．D
2．y=-x2+x+2
3．（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（3）Q（，），或（，）
4．（1）：y=x2﹣2x+2；（2）m=2；（3）当0＜m＜1时，L=2m2﹣2m+2；当1＜m＜2时，L=2m2﹣4m+4；（4）当△FDQ为等腰直角三角形时，m的取值范围为≤m＜1和1＜m≤2或m=2﹣
5．（1）2（2） （3）OG=或5或或
6．（1）y=2x-3（2）当时，有最大值，此时P(2，-3)（3）
7．(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（2﹣，1），F2（2+，1）．
8．（1）y=x2﹣4x﹣5（2）（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）
9．（1） D
（2） 最小值为
（3）略
10．（1）点的坐标为；（2）；（3）当的横坐标为6时， 的长度最大值为18.
11．（1）（2）点P坐标为或或或．
12．（1）y=﹣x2+4x；（2）B（0，2）；（3）E（2，﹣12+8）
13．（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）N（﹣1，2），△ANC的面积有最大值为1；（3）M的坐标为（﹣1，0）或（，0）或（，0）；（4）点P的坐标为：（﹣1，2）或（， ）．
14．（1）C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0）；（2）当t=时，△BCM的面积最大，此时P点坐标为（ ， ）；（3）Q点的坐标为（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣）.
15．（1）；（2）M（1，0），（2，0）；（3）m＝1，－2， ．
16．（1）y＝－(x－1)2＋4；（2）四边形DFHG的周长最小为；（3）点T的坐标为（， ）
17．（1），G（-1，4）；（2） （），当时， ；（3）．
18．（1）此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；（2）图象对应的函数的特征数为：[0，﹣1]；（3）原函数的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位得到．
19．【尝试】（1，-2） 是 n=6；【发现】 （2，0）、（﹣1，6）；【应用】不是 理由见解析.
20．（1）；（2）或；（3）
21．（1）y=x2-2x-3；（2）证明见解析（3）存在满足条件的点p，点p的坐标是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3）
22．（1）证明见解析（2）成立（3）线段AE长的最大值是3，最小值是1.
23．(1)7.(2)证明见解析；；（3）；（4）+，-；，-．
24．（1）△FGH是等边三角形；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
25．(1)60°；（2）；（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．
26．（1）①证明见试题解析；②；（2）．
27．(1)详见解析；（2）①或；②PB长的最小值是，最大值是.
28．解：探究一：
（1）依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，
则∠CFP=30°。
∴CF=BC•sin30°=3×=。
∴CP=CF•tan∠CFP=×=1。
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，
∴PG=CG﹣CP=﹣1=。
在Rt△APG中，由勾股定理得：。
（2）由（1）可知，FC=．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=。

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=，
在Rt△AGP1中，，∴∠P1AG=30°。
∴∠P1AB=45°﹣30°=15°。
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°。
∴∠PAB的度数为15°或75°。
探究二：△AMN的周长存在有最小值。
如答图3所示，连接AD，

图3
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。
∵在△AMD与△CND中，，
∴△AMD≌△CND（ASA）。∴AM=CN。
设AM=x，则CN=x，，
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
，
∴△AMN的周长为：AM+AN+MN= 。
当x=时，有最小值，最小值为。
∴△AMN周长的最小值为。
29．（Ⅰ）B′（， ）；（Ⅱ）①M（， ），②最小值=﹣1．
30．（1）（1，2）；（2）S=t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值
31．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.
32．或或＜a≤5．