No.57全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.57 高中数学联赛模拟试卷
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、是周期为5的奇函数，，则 。
2、设函数，若表示不大于的最大整数，则函数的值域是 。
1 2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 …
20 28 36 44 …
48 64 80 …
112 144 …
… … …
3、, 为多项式的根，则
4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现 次。
5、已知二次函数，若对于上的任意三个实数，函数值都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的的值可以是 。
6、若 ，则 。
1
2
3
4
5
6
7
8
7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为 。
8、等比数列中，，函数，则函数在处的切线方程为 。
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，且满足。（1）推导出三边之间的关系式；（2）求的值。

10、（本题20分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

11、（本题20分）已知函数，，定义，偶函数的定义域为，当时，。（1）求；（2）若存在实数使得该函数在上的最大值为，最小值为，求非零实数的取值范围。

1、8，
2、{0，1}。解：由已知得

3、－1，设为多项式的所有正根，由韦达定理有
变形为
代入得 结合得
4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为，
记第n行的第m个数为,则

算得
答案为4。
5、内的任一实数。解：由题意当时， ；
当时，不存在；
当时，，不存在；
当时，，
所以这时；
当时，，
所以这时；综上所述。
6、0 解：原方程可化为考虑单调性
7、完成从第一格到第7格，每次跳一格，要跳7次才能完成。有次跳1格，次跳2格，则
当时，有种跳法；当时，有种跳法
当时，有种跳法；当时，有种跳法
共有种跳法
8、，则
切线斜率
9、解:（1）取AB、AC的中点E、F，则

同理；所以
（2）
10、由消去化简整理得
设，，则 ①
由消去化简整理得
设，，则 ②
因为，所以，此时．由得 ．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．
11、解：（1）因为

…
设，
所以…
图象如右：
（2）因为；
又因为，所以（否则，矛盾）
当
所以有两个不同实根，

综上所述。

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