高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型.doc

一,向量重要结论
（1）、向量的数量积定义： 规定，
（2）、向量夹角公式：与的夹角为，则
（3）、向量共线的充要条件：与非零向量共线存在惟一的，使。
（4）、两向量平行的充要条件：向量,平行
（5）、两向量垂直的充要条件：向量
（6）、向量不等式：，
（7）、向量的坐标运算：向量,，则
（8）、向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1
（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线。
（17）如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
（20）1.结合律不成立：；
2.消去律不成立不能得到
3.=0不能得到=或=

题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。
（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若与共线， 与共线，则与共线。
（8）若，则。
（9）若，则。
（10）若与不共线，则与都不是零向量。
（11）若，则。
（12）若，则。
题型2.向量的加减运算
1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。
2.化简 。
3.已知,,则的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知的和向量，且，则 ， 。
5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1） （2）
2.已知，则 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量，如下图，请做出向量和。

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在中，是的中点，请用向量表示。
2.在平行四边形中，已知，求。

题型6.向量的坐标运算
1.已知，，则点的坐标是 。
2.已知，，则点的坐标是 。
3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 。
4.已知，，求，，。

5.已知,向量与相等，求的值。
6.已知，，，则 。
7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
2.已知，能与构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。
2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

题型9.求数量积
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），
（3），（4）。

2.已知，求（1），（2），（3），
（4）。

题型10.求向量的夹角
1.已知，，求与的夹角。
2.已知，求与的夹角。
3.已知，，，求。
题型11.求向量的模
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。

2.已知，求（1），（5），（6）。

3.已知，，求。

题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：】
1.与平行的单位向量是 。
2.与平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？

2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？
（2）为何值时，向量与平行？

3.已知是非零向量，，且，求证：。

题型14.三点共线问题
1.已知，，，求证：三点共线。

2.设，求证：三点共线。

3.已知，则一定共线的三点是 。
4.已知，，若点在直线上，求的值。

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

题型15.判断多边形的形状
1.若，，且,则四边形的形状是 。
2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知，，，求证：是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用
1.已知，，当为何值时，向量与平行？
2.已知，且，，求的坐标。
3.已知同向，，则，求的坐标。
3.已知，，，则 。
4.已知，，，请将用向量表示向量。

5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；
（2）若与的夹角为锐角，求的范围。
6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？

7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度。
10.已知三个顶点的坐标分别为，，，
（1）若，求的值；（2）若，求的值。

【备用】
1.已知，求和向量的夹角。
2.已知，，且，，求的夹角的余弦。
1.已知，则 65 。
4.已知两向量，求当垂直时的x的值。
5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。
变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到，。
2.代入验证法
例：已知向量，则（ D ）
A. B. C. D.
变式：已知，请用表示。
解：设，则
即：
，即：
解得：，
3.排除法
例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（ D ）
A. B. C. D.
解：观察前三个选项都不与共线，所以选D。
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