高三数学(理)总复习金版教程《高效作业》带详解答案.doc

第5章 第4节

一、选择题
1. 设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大(　　)
A. 17　　　　　　　　 B. 18
C. 17或18 D. 19
答案：C
解析：令an≥0，得1≤n≤18.
∵a18＝0，a17>0，a19<0，
∴到第18项或17项和最大．
2. 等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝4，a2＋a3＋a4＝－2，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由于q＝＝＝－，
所以a3＋a4＋a5＝(a2＋a3＋a4)×(－)＝1，
a6＋a7＋a8＝(a3＋a4＋a5)×(－)3＝－，
于是a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝.
3．数列1，，，…，，…的前n项和为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：an＝＝＝－，
∴Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝2(1－)＝.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，Sn为数列{an}的前n项和，令bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn的取值范围为(　　)
A．[，1) B．(，1)
C．[，) D．[，1)
答案：A
解析：∵a1＝1，∴Sn＝n＝n2，bn＝＝＝－，则{bn}的前n项和Tn＝1－∈[，1)．
5．(2010·皖南联考)今年“十一”迎来祖国60周年华诞，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　)
A．211－47 B．212－57
C．213－68 D．214－80
答案：B
解析：由题意可知，从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57，所以答案为B.
6. 设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)
A. [，2) B. [，2]
C. [，1] D. [，1)
答案：D
解析：f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(1)f(2)＝f3(1)，
f(4)＝f(1)f(3)＝f4(1)，a1＝f(1)＝，
∴f(n)＝()n，Sn＝＝1－∈[，1)．
二、填空题
7．设正整数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an＋)，推测an的表达式为________．
答案：an＝－
解析：∵a1＝(a1＋)，∴a1＝1.
又∵S2－S1＝a2＝(a2＋)－1，即2(a2＋1)＝a2＋，
∴a2＝－1，
同理：2(a3＋)＝a3＋，∴a3＝－，…，
∴an＝－.
8. 设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
答案：10100
解析：由x2－x<2nx(n∈N*)得0<x<2n＋1，因此an＝2n，所以数列{an}是一个等差数列，所以S100＝＝10100.
9．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.
答案：2n＋2－n－4
解析：设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，
得a22＝a1a5，
即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)
∴d＝2或d＝0(舍去)．
∴an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.
又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，
∴Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)
＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n
＝2n＋2－n－4.
三、解答题
10．(2010·福建质检一)在等差数列{an}中，a1＝1，Sn为前n项和，且满足S2n－2Sn＝n2，n∈N*.
(1)求a2及{an}的通项公式；
(2)记bn＝n＋qan(q>0)，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)令n＝1，由S2n－2Sn＝n2得S2－2S1＝12，即a1＋a2－2a1＝1.
又∵a1＝1，∴a2＝2，∴公差d＝1.
∴an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)由(1)得bn＝n＋qn，
若q≠1，则Tn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(q1＋q2＋…＋qn)＝＋.
若q＝1，则bn＝n＋1，Tn＝＝.
11. 等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
解得或(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1＋－－)
＝－.
12. (2010·陕西质检二)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2，n∈N*)，且当λ＝2，或λ＝－3时，数列{an＋1＋λan}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设3nbn＝n(3n－an)且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|<m对于任意n∈N*恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当λ＝2时，可得＝＝3，
故数列{an＋1＋2an}为首项是a2＋2a1＝15，公比为3的等比数列，
则an＋1＋2an＝15·3n－1.　①
当λ＝－3时，可得＝＝－2，
故数列{an＋1－3an}是首项为a2－3a1＝－10，公比为－2的等比数列，
∴an＋1－3an＝－10·(－2)n－1.　②
①－②得，an＝3n－(－2)n.
(2)∵3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝
n(－2)n，
∴bn＝n(－)n.
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，则Sn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，　③
∴Sn＝()2＋2×()3＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，　④
③－④可得，
Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n＋1
＝－n()n＋1
＝2[1－()n]－n()n＋1.
∴Sn＝6[1－()n]－3n()n＋1<6.
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|<m对于任意n∈N*恒成立，只需m≥6，
∴m的取值范围是[6，＋∞)．