全国中考数学分类解析汇编专题1：代数问题.doc

2012年全国中考数学分类解析汇编
专题1：代数问题

一、选择题
1. （2012宁夏区3分）运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为【 】．
A． B. C． D.
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为：
甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多20根。
而甲种雪糕数量为，乙种雪糕数量为。（数量=金额÷价格）
从而得方程：。故选B。
2. （2012浙江杭州3分）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是【 】　
　A．①②　　B．②③　　C．②③④　　D．①③④
【答案】C。
【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。
【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断：
解方程组，得。
∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。
①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；
②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，
故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。，
故选C。
3. （2012江苏常州2分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④。
其中不等式正确的是【 】
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【答案】A。
【考点】不等式的性质。
【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：
∵a、b、c、d都是正实数，且，∴，即。
∴，即，∴③正确，④不正确。
∵a、b、c、d都是正实数，且，∴。∴，即。
∴。∴①正确，②不正确。
∴不等式正确的是①③。故选A。
4. （2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
5. （2012四川成都3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是【 】
A．100（1＋x）=121 B． 100（1－x）=121 C． 100（1＋x）2=121 D． 100（1－x）2=121
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。
【分析】由于每次提价的百分率都是x，第一次提价后的价格为100(1＋x)，
第一次提价后的价格为100(1＋x) (1＋x) ＝100(1＋x)2。据此列出方程：100（1＋x）2=121。
故选C。
6. （2012云南省3分）若，，则的值为【 】
A. . B. . C. . D. .
【答案】B。
【考点】代数式求值。
【分析】。故选B。
7. （2012新疆区5分）甲乙两班进行植树活动，根据提供信息可知：①甲班共植树90棵，乙班共植树129棵；②乙班的人数比甲班的人数多3人；③甲班每人植树数是乙班每人植树数的．若设甲班人数为x人，求两班人数分别是多少，正确的方程是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】因为甲班人数为x人，则乙班为x+3人，
∴甲班每人植树棵，乙班每人植树棵。
∴根据“甲班每人植树数是乙班每人植树数的”得，。故选A。
8. （2012吉林省2分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】因为原计划每天生产x台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是天，原计划生产450台机器所需时间是天，由“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”得方程。故选C。.
9. （2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。
【分析】∵方程有两个正实数根，
∴。
又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m。
将x1=7－m代入方程，得。
解得m=2或m=6。
∵，∴m=6。故选B。
二、填空题
1. （2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.
第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增
加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为 ▲ .
(参考数据:,,)
【答案】13。
【考点】同底数幂的乘法
【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资
金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：
（1+20%）n－1＞10，即1.2 n－1＞10.
∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，
∴n－1=5+7=12，解得，n=13。
2. （2012福建南平3分）设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，
则下列结论中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
【答案】④。
【考点】新定义，实数的运算。
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：
①[0）=1，故结论错误；
②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误；
③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；
④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，例如x=0.5时，故结论正确。
故答案为④。
3. （2012湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，则=
▲ .
【答案】。
【考点】解一元二次方程，求代数式的值。
【分析】解得，
解得。
∵，∴。
又∵1－ab2≠0，∴。∴。∴。
∴。
4. （2012湖南常德3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如： []=0，[3.14]=3。按此规定 []的值为 ▲ 。
【答案】4。
【考点】新定义，估计无理数的大小。
【分析】∵9＜10＜16，∴。∴。
5. （2012四川绵阳4分）如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 ▲ 个。
【答案】6。
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】，
由①得：；由②得：。
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：。
∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：
，
∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6。
∴a=1，2，3，b=4，5。
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个。
6. （2012四川巴中3分）若关于x的方程有增根，则m的值是 ▲
【答案】0。
【考点】分式方程的增根。
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：
方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）。
∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2。
∴2－2－m=2（2－2），解得m=0。
7. （2012山东淄博4分）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 ▲ .
【答案】101。
【考点】列方程，代数式变形，非负数的性质。
【分析】设三位数各位上的数字为x，y，z，则根据题意，得，即。
∴根据非负数的性质，得x=y且z=0。
∴符合上述条件的三位数可以是101，110，202，220，……。
三、解答题
1. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，
∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。
∵d=|x1﹣x2|，
∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。
∴当p=2时，d 2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】
（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。
2. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。
则（40－2x）2=484，解得（不合题意，舍去），。
∴剪掉的正方形的边长为9cm。
②侧面积有最大值。
设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与x的函数关系为：，
∴x=10时，y最大=800。
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。
（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。
则 ，
解得：（不合题意，舍去），。
∴剪掉的正方形的边长为15cm。
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。
【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。
【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）2=484，求出即可
②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。
（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。
3. （2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　 　 ；
（2）分式不等式的解集为　 　 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。
（2）x＞3或x＜1。
（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
或。
解不等式组①，得0＜x＜，解不等式组②，无解。
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜。
【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。
（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。
4. （2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以
把代入已知方程，得
化简，得：
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。
【答案】解：（1）y2－y－2=0。
（2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）。
把代入方程，得，
去分母，得a+by+cy2=0。
若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。
∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。
把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。
（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。
5. （2012江苏南京9分）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。

题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得x•2x=288．
解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．

？

我的结果也正确
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样……
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．

【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为ym，则长为2ym。
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。
∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。
（2）a+c b+d =2。理由如下：
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，
即 ，即a+c b+d =2。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质。
6. （2012江苏盐城12分）
知识迁移： 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当
时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.
直接应用：已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值
为_________.
变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该
最小值时相应的的值.
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每
千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,
求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【答案】解：直接应用：1；2 。
变形应用：∵ ，
∴有最小值为。
当，即时取得该最小值。
实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则
，
∴当(千米)时,
该汽车平均每千米的运输成本最低，
最低成本为元。
【考点】二次函数的应用，几何不等式。
【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：
∵函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为，
∴函数与函数，则当时，取得最小值为。
变形运用：先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。
实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所
给的结论即可得出答案。
7. （2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：
（1） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2） 已知满足,求；
（3） 已知满足求正数的最小值。
【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：
，且由已知所求方程的两根为
∴，。
∴所求方程为，即。
（2）∵满足，
∴是方程的两根。∴ 。
∴。
（3）∵且 ∴。
∴是一元二次方程的两个根，
代简，得 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。
又∵ ∴。 ∴。
∴正数的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。
【分析】（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值。
8. （2012贵州铜仁12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组得：， 解方程组得：。
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元。
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴，解得：50≤x≤53。
∵x 为正整数，∴x=50，51，52，53。∴共有4种进货方案。
（3）∵B种纪念品利润较高，∴B种数量越多总利润越高。
∴选择购A种50件，B种50件。
总利润=50×20+50×30=2500（元）。
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
购进A种纪念品8件＋B种纪念品3件=950元
购进A种纪念品5件＋B种纪念品6件=800元。
（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：
购买这100件纪念品的资金不少于7500元，不超过7650元。
（3）因为B种纪念品利润较高，所以选取B种数量多的方案即可求解。
9. （2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，
∴乙种树每棵200元，丙种树每棵×200=300（元）。
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵．
根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000，
解得x=30。
∴2x=600，1000－3x=100，
答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，
根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120，
解得：y≤201.2。
∵y为正整数，∴y最大为201。
答：丙种树最多可以购买201棵。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求出即可。
10. （2012内蒙古赤峰14分）阅读材料：
（1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵，
∴（）与（）的符号相同
当＞0时，＞0，得
当=0时，=0，得
当＜0时，＜0，得
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1= （用x、y的式子表示）
W2= （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【答案】解：（1）①3x+7y；2x+8y。
②W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y，
∵x＞y，∴x﹣y＞0。∴W1﹣W2＞0。
∴W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大。
（2）①x+3。
②。
③∵
∴当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；
当=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5；
当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5。
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x=6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短。
【考点】整式的混合运算，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）①W1=3x+7y，W2=2x+8y。
（2）①a1=AB+AP=x+3。
②过B作BM⊥AC于M，则AM=4﹣3=1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2﹣12=x2﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：
AP+BP=A′B=。
③根据阅读材料的方法求解。
11. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
车 型
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费。
【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得
16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8，
∴18－x=18－8=10。
答：大货车用8辆，小货车用10辆。
（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，
∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。
（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。
又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。
∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。
【考点】一元一次方程和一次函数的应用
【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。
12. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．
（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？
【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，
则 ，解得 。
答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。
（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．
则 ，解得 。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。
∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：
改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；
改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。
（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为：
地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；
国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。
13. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
【答案】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，
根据题意得：180x＋150（200－x）=32400，
解得：x=80，200－x=200－80=120。
∴购进甲、乙两种服装80件、120件。
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：
，解得：70≤y≤80。
∵y是正整数，∴共有11种方案。
（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+26000。
①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，
∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。
②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。
③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，
∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。
【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。
（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。
14. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价
定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购
买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。
（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；
当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。
∴。
（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，
此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。
（2）由利润y=销售单价×件数