初三数学二次函数较高难度综合题(含详细.doc

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2015-2016学年度二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．二次函数（≠0）的图像如图所示，其对称轴为=1，有如下结论：① ＜1 ②2+=0 ③＜4 ④若方程的两个根为，，则+=2.则结论正确的是【 】

A.      ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
2．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】

A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
3．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

4．在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是（ ）

5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（0，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
6．若函数y=mx²+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2
7．已知二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；⑤a＋b＞m（am＋b）（m≠1的实数）其中正确的结论个数有（ ）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
8．已知抛物线与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数

9．在同一坐标系中，函数与的图象，只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k和函数y=﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（ ）

A．± B． C． D．
12．抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：（1）b2>4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c>0；（5）a-b+c<0．则正确的结论是（ ）

A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（4）（5）

二、填空题（题型注释）
14．如图，抛物线（）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．

15．已知二次函数的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②；③4a+c＜0；④2a－b+l﹤0．其中正确的结论是（填写序号） ．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是______．

A．②③ B．①② C．③④ D．①④

17．
抛物线经过A（，0）、C（0，）两点，与轴交于另一点B。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（，）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点，的坐标。
（3）在（2）的条件下，连结BD，问在轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D．

18．请直接写出用m表示点A、D的坐标
19．求这个二次函数的解析式；
20．点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．

22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.

（1）说明：；
（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标.
（3）当的面积为时，求的值.

23．已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x－1交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，；
（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

25．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

试卷第7页，总8页
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参考答案
1．C
【解析】由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；
∵抛物线的对称轴为x=-b/2a =1，∴2a+b=0，选项②正确；
由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；
令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，
∵方程的两根为x1，x2，且-b/2a =1，及-b/a =2，
∴x1+x2=-b/a =2，选项④正确，
综上，正确的结论有②④．
故选C
2．D。
【解析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5。故选D。
3．D.
【解析】
试题分析：先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．
∵二次函数的图象开口向下，
∴反比例函数的图象必在二、四象限，故A、C错误；
∵二次函数的图象经过原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点，故B错误．
故选D．
考点: 1.二次函数的图象；2.一次函数的图象；3.反比例函数的图象．
4．C
【解析】
试题分析：根据函数解析式可得：两个函数与y轴交于同一点，则B、D排除；A、一次函数a＜0，b＞0，二次函数a＞0，b＞0，则此选项错误；C、一次函数a＞0，b＞0，二次函数a＞0，b＞0，则次选项正确．
考点：一次函数与二次函数
5．A
【解析】
试题分析：根据图像可得：a＞0，b＞0，c＜0，则abc＜0，则①正确；根据对称轴可得：－=－1，则b=2a，即2a－b=0，则②正确；当x=2时，y＞0，则4a+2b+c＞0，则③错误；根据图像可得④错误．
考点：二次函数的性质
6．D
【解析】
试题分析：当函数为一次函数时，则m=0；当函数为二次函数时，则，解得：m=±2．综上所述，m=0或2或－2．
考点：函数的性质
7．B
【解析】
试题分析：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，则①错误；当x=－1时，y＜0，即a－b+c＜0，则②错误；③、④、⑤正确．
考点：二次函数的性质
8．A．
【解析】
试题分析：根据题意，令，∵抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，∴f（0）＜，解得：m＜，综上可得：，故选A．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．压轴题．
9．D．
【解析】
试题分析：A．两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B．两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C．D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b同号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确，故选D．
考点：二次函数的图象．
10．C．
【解析】
试题分析：分k＞0与k＜0两种情况进行讨论：①当k＞0时，函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向下，对称轴在y轴的右侧；当k＜0时，函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故答案选C．
考点：二次函数的图象和系数的关系;一次函数的图象．
11．D
【解析】
试题分析：因为二次函数（为常数）的图象过原点，所以，所以，又抛物线开口向上，所以a＞0，所以，故选：D．
考点：二次函数图象的性质．
12．D
【解析】
试题分析：因为，所以抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到，故选：D．
考点：抛物线的平移．
13． D
【解析】
试题分析：因为抛物线与x轴有2个交点，所以＞0，所以（1）b2>4ac正确；因为对称轴为直线x=-1，所以，所以，所以（3）错误；然后观察所给选项可知：A、B、C都错误，D正确，也可以根据抛物线得出：a＞0， b＞0，c＜0，所以abc＜0，从而判断出（2）错误，然后可确定D正确，故选：D．
考点：抛物线的性质．
14．0．
【解析】
试题分析：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．数形结合．
15．①②③．
【解析】
试题解析：①根据题意画大致图象如图所示，

①由图象开口向下知a＜0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为x=-=＞-，即＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x=-＜0，∴b＜0，∴a＜b＜0．故正确；
②由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：
＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2-4ac＞-8a，故②正确；
③由4a-2b+c=0得4a+c=2b,
∵b＜0，
∴4a+c＜0，故此结论正确．
④由4a-2b+c=0得2a-b=-，而0＜c＜2，∴-1＜-＜0∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，所以结论错误．
考点：抛物线与x轴的交点．
16．A
【解析】
试题分析：因为抛物线开口向下，所以a＜0，又对称轴在y轴右侧且小于1，所以ab异号，＜1，所以b＞0，b+2a＜0,所以③正确；因为抛物线与y轴的交点位于正半轴，所以c＞0，所以abc＜0，所以④错误，又因为当x=1时，y＞0，所以a+b+c＞0，所以①错误；当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，所以a-b+c＜0，所以②正确，因此②③正确，故选：A．
考点：二次函数图象的性质．
17．
（1）
（2）（0，-1）
（3）（1,0）（9,0）
【解析】

18．A(3－m，0)，D(0，m－3 )
19．设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)2(a≠0)
∵抛物线过点B、D，
∴ 解得 …………4分
所以二次函数的解析式为y＝(x－1)2，
即：y＝x2－2x＋1 …………5分
20．设点Q的坐标为(x，x2－2 x＋1)，显然1＜x＜3 …6分
连结BP，过点Q作QH⊥x轴，交BP于点H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）
∴AP＝2，BC＝3，PC＝2
由P（1，0），B（3，4）求得直线BP的解析式为y＝2x－2
∵QH⊥x轴，点Q的坐标为(x，x2－2 x＋1)
∴点H的横坐标为x，∴点H的坐标为(x，2x－2)
∴QH＝2x－2－(x2－2x＋1)＝－x2＋４x－3 …………7分
∴四边形ABQP面积S＝S△APB＋S△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC
＝×2×4＋×(－x2＋４x－３)×2
＝－x2＋４x＋1＝－(x－2)2＋5 …………9分
∵1＜x＜3
∴当x＝2时，S取得最大值为5， …………10分
即当点Q的坐标为(2，1)时，四边形ABQP面积的最大值为5
【解析】略
22．(1)理由见解析；（2）（，）；（3）2.
【解析】
试题分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标．由此可求出A、B的坐标。通过构建相似三角形求解，过O作OG∥AC交BE于G，那么可得出两组相似三角形：△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系，从而得出CE、AE的比例关系．
(2)由已知可求C（2，8），再求AC所在直线解析式，根据△AEF∽△ACH可求E点坐标.
(3)由D是OC的中点可知S△OCE=2S△CDE,又由已知可求S△AOC=8,从而可求出CH、AH的值，从而可求的值.
试题解析：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0.
解得：x1=-2，x2=4
∴OA=2，OB=4.
过点O作OG∥AC交BE于G

∴△CEG∽△OGD
∴
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE
∴
∵OB=4,OA=2
∴;
(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，
∴C（2，8）
设AC所在直线解析式为：y=kx+b
把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4
所以y=2x+4
分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H

由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=,
∴E点坐标为（，）
（3）连接OE
∵D是OC的中点，
∴S△OCE=2S△CED
∵S△OCE: S△AOC=CE:CA=2:5
∴S△CED：S△AOC=1：5．
∴S△AOC=5S△CED=8
∴
∴CH=8

考点: 二次函数综合题.
23．（1）（2）（1，2）（3）存在，（ ，）
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵，∴对称轴为x=1。
令，解得x1=3，x2=－1，∴C（－1，0）。
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，

由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得。
∴直线AB解析式为y=－x＋3。
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）。
（3）结论：存在。
如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，

则ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．

∵P（x，y）在抛物线上，∴，代入上式得：
。
∴当x= 时，S△ABP取得最大值。
当x= 时，，∴P（， ）。
∴在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大，P点的坐标为（ ，）。
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标。
（3）求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标。
24．（1）y=x2+4x-1；（2）∴m=,-2，或-3时S四边形OBDC=2SS△BPD
【解析】
试题分析：（1）由x=0时带入y=x-1求出y的值求出B的坐标，当x=-3时，代入y=x-1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
试题解析：
∵y=x-1，∴x=0时，y=-1，∴B（0，-1）．
当x=-3时，y=-4，∴A（-3，-4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，∴
∴∴抛物线的解析式为：y=x2+4x-1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m-1），D（m，m-1）
如图1①，作BE⊥PC于E， ∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m2，
∴PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2，
∴
解得：m1=0（舍去），m2=-2，m3=
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=1-4m-m2+1-m=2-4m-m2，

解得：m=0（舍去）或m=-3，
∴m=,-2，或-3时S四边形OBDC=2S△BPD；
）如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a-1），则D（a，a-1），
∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m2，
∴DP=1-4m-m2-1+m=-3m-m2．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴（1，0），
∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴
解得：m=1舍去或m=-2，∴P（-2，-5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4
PD=1-m-（1-4m-m2）=3m+m2．
∵PC⊥x轴，∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．

∴AD=(-3-m)
∵△PAD∽△FEA，
∴

∴m=-2或m=-3
∴P（-2，-5）或（-3，-4）与点A重合，舍去，
∴P（-2，-5）．
考点：二次函数综合题.
25．（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
（3）先判定△DBE是直角三角形，即可得证△AOB∽△DBE.
试题解析：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积＝

；
（3）相似
如图，；

即：，所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，
∴△AOB∽△DBE.
考点: 二次函数综合题．
答案第11页，总12页