高中数学必修21抛物线教学讲义.doc

卓越个性化教学讲义
03-抛物线
【知识点】
一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

二、抛物线的焦半径、焦点弦
1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则
(1) x0+， (2)，－p2
(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p
(4) 若AB的倾斜角为θ，则=
（5）+=
2. 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
4、弦长公式：
三、抛物线问题的基本方法
1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线： 抛物线，
①　 联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

或
b. 中点, ，
②　 点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
【典型例题】
考点1 抛物线的定义
题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （ ）
A． B．
C． D.
［解析］C 由抛物线定义，即：．
2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,
M点坐标是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C
考点2 抛物线的标准方程
题型:求抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
[解析]
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程
[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点
补充：
抛物线的几个常见结论及其应用
结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，
则：，。
证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，
由得: ∴，。
当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：。
例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。
证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。
则： =
结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设，，设直线AB:
由得:, ∴，，
∴。
易验证，结论对斜率不存在时也成立。
（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。
例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。
解：由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角），
则，所以直线AB倾斜角为或。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。
证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，
垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。
由抛物线定义：，，
∴，
∴以AB为直径为圆与准线l相切

（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，
∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，
∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，
∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，
∴，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB
∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。
结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。
证明：设直线AB方程为:，由 得， △>0，，
∵AO⊥BO，∴⊥∴
将，代入得，。∴直线AB恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，取最小值1。
结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．
例 直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值．
解析：设点分别为，则，．
的坐标分别为．．．
【课堂练习】
A 抛物线
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0)
2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.5(11) D.16(37)
4．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为( )
A.y0(2p) B.y0(p) C.x0(p) D.p(x0)
5．[2010·福建卷] 以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
6．[2010·山东卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
7．[2010·陕西卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A.2(1) B．1 C．2 D．4
8．[2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8 C．8 D．16

9．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．
10．[2010·浙江卷] 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.
12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
(2)若→(FA)＝λ1→(AP)，→(BF)＝λ2→(FA)，λ2(λ1)∈2(1)，求λ2的取值范围．

B 抛物线
1．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y
2．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )
A.2(5) B.2(3) C．－2(1) D．－2(3)
3．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2] C．[0,2] D．(0,2)
5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝3p C．x＝2(3)p D．x＝2(5)p
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.2(17) B．3 C. D.2(9)
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
10．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若→(AM)＝→(MB)，则p＝________.
11．[2010·重庆卷] 已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足→(AF)＝3→(FB)，则弦AB的中点P到准线的距离为________．
12．(13分)[2012·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy中，设点F，0(1)，直线l：x＝－2(1)，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

图K50－1

13．(12分)[2010·湖北卷] 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有→(FA)·→(FB)<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

A
1．B [解析] 由y2＝－8x，易知焦点坐标是(－2,0)．
2．B [解析] 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为，0(a)，则直线l的方程为y＝24(a)，它与y轴的交点为A2(a)，所以△OAF的面积为2(1)4(a)·2(a)＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.
3．A [解析] 设动点p到直线l2的距离之和为d，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝5(|4－0＋6|)＝2.

4．D [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1(2)＝2py1，x2(2)＝2py2，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝2p(y1－y2)，即kAB＝x1－x2(y1－y2)＝2p(x1＋x2)＝p(x0).
5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.
6．B [解析] 抛物线的焦点F，0(p)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－2(p)，即x＝y＋2(p)，
将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
所以2(y1＋y2)＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，
准线方程为x＝－1.
7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x＝－2(p)，圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16.
∴3－2(p)＝4，∴p＝2.
方法2：作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－2(p)＝－1，解得p＝2.
8．B [解析] 设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4，∵直线AF的斜率为－，∴∠AFB＝60°.在Rt△ABF中，|AF|＝cos60°(4)＝8.又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.
9．－4(1) [解析] 抛物线方程为x2＝a(1)y，故其准线方程是y＝－4a(1)＝1，解得a＝－4(1).
10.4(2) [解析] 设抛物线的焦点F，0(p)，由B为线段FA的中点，所以B，1(p)，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为4(p)＋2(p)＝4(3p)＝4(2).
11．±2(2) [解析] 过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝k2(4－2k2)，x1x2＝1.
因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即k2(4－2k2)＝6，解得k＝±2(2).
而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±2(2).
12．[解答] (1)由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)．由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以1＋k2(|3k|)＝，
解得k＝±2(2)，所以直线l的斜率为±2(2).
(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为x0－4(y0)，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为y0(4－x0)，
直线AB的方程为y－y0＝y0(4－x0)(x－x0)，
联立方程y2＝4x，((x－x0)，)
消去x，得4(x0)y2－y0y＋y0(2)＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝4－x0(4y0)，
因为N为AB中点，所以2(y1＋y2)＝y0，即4－x0(2y0)＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
13．[解答] (1)证明：由已知F，0(p)，设A(x1，y1)，
则y1(2)＝2px1，
圆心坐标为2(y1)，圆心到y轴的距离为4(2x1＋p)，
圆的半径为2(|FA|)＝2(1)×2(p)＝4(2x1＋p)，
所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．
(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由→(FA)＝λ1→(AP)，→(BF)＝λ2→(FA)，得
，y1(p)＝λ1(－x1，y0－y1)，
－x2，－y2(p)＝λ2，y1(p)，
所以x1－2(p)＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，
2(p)－x2＝λ22(p)，y2＝－λ2y1，
由y2＝－λ2y1，得y2(2)＝λ2(2)y1(2).
又y1(2)＝2px1，y2(2)＝2px2，
所以x2＝λ2(2)x1.
代入2(p)－x2＝λ22(p)，得2(p)－λ2(2)x1＝λ22(p)，2(p)(1＋λ2)＝x1λ2(1＋λ2)，
整理得x1＝2λ2(p)，
代入x1－2(p)＝－λ1x1，得2λ2(p)－2(p)＝－2λ2(λ1p)，
所以λ2(1)＝1－λ2(λ1)，
因为λ2(λ1)∈2(1)，所以λ2的取值范围是，2(4).
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋2(p)，
将x＝my＋2(p)代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，
所以y1y2＝－p2(*)．
由→(FA)＝λ1→(AP)，→(BF)＝λ2→(FA)，得
，y1(p)＝λ1(－x1，y0－y1)，
－x2，－y2(p)＝λ2，y1(p)，
所以x1－2(p)＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，
2(p)－x2＝λ22(p)，y2＝－λ2y1，
将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y1(2)＝λ2(p2)，
所以2px1＝λ2(p2)，x1＝2λ2(p).
代入x1－2(p)＝－λ1x1，得λ2(1)＝1－λ2(λ1)，
因为λ2(λ1)∈2(1)，所以λ2的取值范围是，2(4).
B
1．C [解析] 点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.
2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x2＝－2－a(1)y，则焦参数p＝2(1)－a，故抛物线的准线方程是y＝2(p)＝2(－a)，则2(－a)＝1，解得a＝－2(3).
3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB的面积S＝2(1)|AB||OF|＝2(1)×4×1＝2.
4．B [解析] 设点Q的坐标为0，由|PQ|≥|a|，得y0(2)＋02≥a2，整理，得y0(2)(y0(2)＋16－8a)≥0，∵y0(2)≥0，∴y0(2)＋16－8a≥0，即a≤2＋0恒成立．而2＋0的最小值为2，所以a≤2.
5．D [解析] A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由于焦点F2(p)，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF.由此得x0(y0)×2(p)＝－1，把y0(2)＝2px0代入得x0＝2(5p)，故直线AB的方程是x＝2(5)p.
6．C [解析] 由抛物线定义，22(p)＝2(p)＋2(p)，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
7．A [解析] 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F，0(1).依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝2＋22(1)＝2(17).
8．B [解析] ∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，∴K(－2,0)，
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)，∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由BK2＝AK2－AB2得y0(2)＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，∴A(2，±4)，∴△AFK的面积为2(1)|KF|·|y0|＝2(1)×4×4＝8.
9．y2＝4x [解析] 设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2＝4，故y2＝4x.
10．2 [解析] 过B作BE垂直于准线l于E，∵→(AM)＝→(MB)，∴M为AB中点，∴|BM|＝2(1)|AB|.又斜率为，∠BAE＝30°，∴|BE|＝2(1)|AB|，∴|BM|＝|BE|，
∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.
11.3(8) [解析] 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3(xB＋1)．①
由几何关系，xA－1＝3(1－xB)．②
联立①②，得xA＝3，xB＝3(1)，∴所求距离d＝2(xA＋xB)＋1＝3(8).

12．[解答] (1)依题意知，
点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵|PQ|是点Q到直线l的距离．
点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为：y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝|MA|＝0(2)，
则|TS|＝2＝2－2x0＋1(2)，
因为点M在曲线C上，所以x0＝0，
所以|TS|＝2＋1(2)＝2，是定值．
13．[解答] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)．
化简得y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由y2＝4x，(x＝ty＋m，)得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0，
于是y1y2＝－4m.(y1＋y2＝4t，)①
又→(FA)＝(x1－1，y1)，→(FB)＝(x2－1，y2)，
→(FA)·→(FB)<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②
又x＝4(y2)，于是不等式②等价于1·2＋y1y2－2＋1<0，
⇔16((y1y2)2)＋y1y2－4(1)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有→(FA)·→(FB)<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
【作业】
一、 选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝20(1)x D．x2＝20(1)y
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( )
A.4(1) B.4(1) C.，0(1) D.，0(1)

3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A.8(1) B．－8(1) C．8 D．－8
4．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A.2(1) B．1 C．2 D．4
5．(2010年高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
6．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x<0)
7．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|
D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2
9．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A. B．2 C.2(15) D．15
10．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，则∠AMB是( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角
12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
二． 填空题（共4题，每题4分）
13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.

14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．
15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________.
16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．（本题满分12分）若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．

18（本题满分12分）．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．

19．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，其准线l与圆(x－2)2＋y2＝25相切，求抛物线的方程．

20．（本题满分12分）过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q平分，求AB所在直线方程．

21．（本题满分12分）已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

22.（2009江苏卷）（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

参考答案
一.选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
C
B
C
C
C
A
C
B
B
1．解析：选B.由2(p)＝5得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故x2＝20y.
2．解析：选B.x2＝－y，∴2p＝1，p＝2(1)，∴焦点坐标为4(1).

3．解析：选B.由y＝ax2，得x2＝a(1)y，4a(1)＝－2，a＝－8(1).
4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－2(p).
由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16.
∵准线与圆相切，∴3＋2(p)＝4，∴p＝2.
5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.

6．解析：选C.∵点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.
7．解析：选C.通径2p＝8且焦点在x轴上，故选C.
8．解析：选C.由抛物线定义知|FP1|＝x1＋2(p)，
|FP2|＝x2＋2(p)，|FP3|＝x3＋2(p)，
∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选C.
9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)
由y2＝12x(y＝2x＋1)得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝4(1)，
∴|AB|＝
＝＝.
10． 解析：选C.|PF|＝xP＋2(p)，∴2(|PF|)＝2(xP)＋4(p)，即为PF的中点到y轴的距离．故该圆与y轴相切．
11． 解析：选B.由题意可得|AB|＝2p.
又焦点到准线距离|FM|＝p，F为AB中点，
∴|FM|＝2(1)|AB|，
∴△AMB为直角三角形且∠AMB＝90°.
12．解析：选B.∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，0(p)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－2(p)，即x＝y＋2(p)，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴2(y1＋y2)＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
二． 填空题（共4题，每题4分）
13解析：由y＝ax2(x－y－1＝0)，得ax2－x＋1＝0，
由Δ＝1－4a＝0，得a＝4(1). 答案：4(1)

14．
解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，∴x0＝4，
∴y0(2)＝16，∴y0＝±4.
答案：(4，±4)
15．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
又2x＋y－4＝0(y2＝4x)⇒x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
答案：7
16．
解析：焦点在x轴正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)代入点(2(3)，2(1))得p＝12(3)，
焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，
∴p＝－12(3).
综上，所求方程为y2＝±6(3)x.
答案：y2＝±6(3)x
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．（本题满分12分）若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
解：由抛物线定义知焦点为F(－2(p)，0)，准线为x＝2(p)，
由题意设M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，
即2(p)－(－9)＝10，
∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．

18（本题满分12分）．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求抛物线的标准方程为：
y2＝ax(a≠0)，A(m，－3)．
则由抛物线的定义得5＝|AF|＝|m＋4(a)|，
又(－3)2＝am.
所以，a＝±2或a＝±18.
故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

19．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，其准线l与圆(x－2)2＋y2＝25相切，求抛物线的方程．
解：∵焦点在x轴上，
∴准线l与x轴垂直．
∵准线l与圆(x－2)2＋y2＝25相切，
设准线方程为x＝m，
∴|m－2|＝5，解得m＝7或－3.
即准线方程为x＝7或x＝－3，
∴所求抛物线方程为y2＝－28x或y2＝12x.
20．（本题满分12分）过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点