高中数学图像及公式.doc

初等函数的图形
幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα, cscα cosα , secα tanα, cotα
三角函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R

｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝

｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域
［-1，1］
x=2kπ+ 时ymax=1
x=2kπ- 时ymin=-1
k∈Z
［-1,1］
x=2kπ时ymax=1
x=2kπ+π时ymin=-1
k∈Z
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在［2kπ-,2kπ+ ］上都是增函数； 在2kπ+ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)
在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数 (k∈Z)

在(kπ-，kπ+)内都是增函数 (k∈Z)

在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
y=sinx (x∈[-,]) 的反函数，叫做 反正弦函数， 记作x=arsiny
y=cosx (x∈[0,π])的 反函数，叫做 反余弦函数，记作=arccosy
y=tanx (x∈(- , )的反函数，叫做 反正切函数，记作x=arctany
y=cotx (x∈(0,π)) 的反函数，叫做反余切函数， 记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［-,］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
arctanx表示属于(-,)，且正切值等于x的角
arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角
性质
定义域
［-1，1］
［-1，1］
(-∞，+∞)
(-∞，+∞)
值域
［-，］
［0，π］
(-，)
(0，π)
单调性
在〔-1，1〕上是增函数
在［-1，1］上是减函数
在(-∞，+∞)上是增数
在(-∞，+∞)上是减函数
奇偶性
arcsin(-x)=
-arcsinx
奇函数
arccos(-x)=
π-arccosx 非奇非偶
arctan(-x)=
-arctanx
奇函数
arccot(-x)= π-arccotx 非奇非偶
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x
(x∈［-1，1］)
arcsin(sinx)=x
(x∈［-,］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
tan(arctanx)=x
(x∈R)
arctan(tanx)=x
(x∈(-,))
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余
恒等式
arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)
arctanx+arccotx=(x∈R)

三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =
tan(A-B) =
cot(A+B) =
cot(A-B) =
倍角公式
tan2A =
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A
半角公式
sin=
cos=
tan=
cot=
tan==

三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3
cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)
附推导过程：
sin3a =sin(2a+a)
　　=sin2a·cosa+cos2a·sina
　　=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
　　=3sina-4sin3a
cos3a=cos(2a+a)
　　=cos2a·cosa-sin2a·sina
　　=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
　　=4cos3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin3a
　　=4sina(3/4-sin2a)
　　=4sina[(√3/2)2-sin2a]
　　=4sina(sin260°-sin2a)
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
　　=4sina·2sin[(60°+a)/2]cos[(60°-a)/2] ·2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
　　=4sina·sin(60°+a) ·sin(60°-a)
cos3a=4cos3a-3cosa
　　=4cosa(cos2a-3/4)
　　=4cosa[cos2a-(√3/2)2]
　　=4cosa(cos2a-cos230°)
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
　　=4cosa·2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2] ·{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
　　=-4cosa·sin(a+30°)sin(a-30°)
　　=-4cosa·sin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
　　=-4cosa·cos(60°-a)[-cos(60°+a)]
　　=4cosa·cos(60°-a) ·cos(60°+a)
　　上述两式相比可得
tan3a=tana·tan(60°-a) ·tan(60°+a)

和差化积
sina+sinb=2sincos
sina-sinb=2cossin
cosa+cosb = 2coscos
cosa-cosb = -2sinsin
tana+tanb=
积化和差
sina·sinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)]
cosa·cosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]
sina·cosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]
cosa·sinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
sin(-a) = cosa
cos(-a) = sina
sin(+a) = cosa
cos(+a) = -sina
sin(π-a) = sina
cos(π-a) = -cosa
sin(π+a) = -sina
cos(π+a) = -cosa
tga=tana =
万能公式
sina=
cosa=
tana=
其它公式
a•sina+b•cosa=•sin(a+c) [其中tanc=]
a•sina-b•cosa = •cos(a-c) [其中tanc=]
1+sina=(sin+cos)2 sin2a+cos2a=1 1+tan2a=sec2a 1+cot2a=csc2a
1-sina = (sin-cos)2 tana•cota=1 seca•cosa=1 csca•sina=1
其他非重点三角函数
csca =
seca =
双曲函数
sinh(a)= cosh(a)=
tg h(a)=
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六
sin（-α）= cosα
cos（-α）= sinα
tan（-α）= cotα
cot（-α）= tanα

±α及±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（+α）= cosα
cos（+α）= -sinα
tan（+α）= -cotα
sin（-α）= -cosα
cos（-α）= -sinα
tan（-α）= cotα
cot（-α）= tanα (以上k∈Z)
cot（+α）= -tanα
sin（+α）= -cosα
cos（+α）= sinα
tan（+α）= -cotα
cot（+α）= -tanα
A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =•sin
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解

根与系数的关系（韦达定理）
X1+X2=-b/a
X1•X2=c/a
判别式 b2-4ac=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2ac•cosB 注：角B是边a和边c的夹角
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=
13+23+33+43+53+63+…n3=
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=
正切定理
[(a+b)/(a-b)]={[tan(a+b)/2]/[tan(a-b)/2]}
附过程 (a-b)/(a+b)
=(a/b-1)/(a/b+1)
=(sinA/sinB-1)/( sinA/sinB+1)
=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)
=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] / {2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}
=tg[(A-B)/2]/tg[(A+B)/2]
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c•h c为底面周长，h为侧棱长.
斜棱柱侧面积
S=c'•h c'为直截面的周长，h为侧棱长.
正棱锥侧面积
S=c•h' c为底面周长，h'为侧面的高线长.
正棱台侧面积
S=(c+c')h' c、c'为上下底面的周长，h'为侧面的高线长.

圆台侧面积
S=(c+c')l= π(R+r)l
c、c'为上下底面的周长，l为母线长.
球的表面积
S=4πr2
圆柱侧面积
S=c•h=2π•h
圆锥侧面积
S=•c•l=π•r•l
弧长公式
l=a•r a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式
s=•l•r
锥体体积公式
V=•S•H
圆锥体体积公式
V=•π•r2h

斜棱柱体积
V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式
V=s•h
圆柱体
V=πr2h

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三角函数        积化和差、和差化积公式
用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共4组积化和差，倒过来既是和差化积 （附口诀）
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负.

三角形中的一些结论：(不要求记忆)    
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)    
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1    
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC    
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
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