No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31高中数学联赛模拟试卷
1、已知的大小关系是 .
2、设，且恒成立，则的最大值为
3、对于的一切实数，使不等式都成立的实数的取值范围是
4、已知，设，，，那么的大小关系是
5、不等式的解集是 .
6、函数的最小值为
7、若，且，则的最小值是 .
8、若，则的最大值是　　　　．
9、设，求的最小值．

10、求，则s的整数部分

11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯）

12、设，求证：．
（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案
1、解法1 ，.
.
解法2 ，.
解法3
=.
解法4 原问题等价于比较与的大小.由得，.
.
A
B
C
x
y
O b-a b b+a
图1
解法5 如图1，在函数的图象上取三个不同的点A（，）、B（，）、C（，）.
由图象，显然有，即，
即，亦即.
解法6 令，单调递减，而，，即，.
2、解法1 原式．．而
+，且当，即时取等号．．．故选．
解法2 ，，已知不等式化为
．由，即，故由已知得，选．
解法3 由，知，有．又，
即，由题意，．故选．
解法4 ，．已知不等式可变形为
．记，
则．由题意，．故选．
解法5 于是
．比较得．故选．
3、解法1 题设等价于或或，即或或,所以或或，即.
解法2 已知不等式即，令，则
当，即时，是的一次函数，因为，即时不等式恒成立，所以在上的图象恒在轴的下方，故有，即，解得 .
又当时，，适合题意，当时，不合题意.
故的取值范围是.

4、解法1 设，.，而是减函数，
，即.，，
.，即.故.
解法2 由题意，令，则，， ，，，，是减函数，又，，即..
解法3、，，是单调减函数，，.
，.又
，即
，.

5、解 设y= ，由，得定义域为[，3].
即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[，3].
题目改为“的解集是 ，结果一样。
6、解法1 .因为两个互为倒数的数，在它们等于时，其和可以取到绝对值的最小值.即当，即或时，的绝对值最小.又，故时，的绝对值最小.又，.选.
解法2 因为，联想到，于是令，，则.
，当且仅当，即时，.故选.
解法3 设，.
，.
，即.故选.
解法4 .由此联想到万能公式:
，故令，则，
.又，,,即..故选.
解法5 ，，当且仅当，即时取等号..故选.
解法6 ，，当时取等号.故选.
解法7 由去分母并整理，得.，，即，或.，
，.当时，由，解得，.故选.

7、证明，于是，
，当且仅当时取等号，的最小值是.
推广2 若，且，则
的最小值是.
证明 ，，
.
同理.故
，当且仅当
时取等号. 的最小值是.
推广3 若，且，则的最小值是
.
证明 由均值不等式得，
,
从而
，
当且仅当时取等号.故的最小值是.
8、解法1 引入参数t,，
又，
．考虑到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得．因此，，当且仅当，即时取等号.．
解法2 已知条件式即.令
即代入待求式,并化简,
得.故当且仅当时，有最大值160．
解法3 令.从而有即代入已知等式,得,
即．
解法4 ,而
即．
解法5 设代入条件得
令,则
．
解法6 设则
即①.由题设x,y不同时为0,故不妨设,则将①式两边同除以,得当时,
由解得;当时,．
综上, .故．
解法7 .
故当时, ．
9B
A
．解 可从绝对值的几何意义上去想，以为例，如图：

1 2 3 4
所给的式子的几何意义是数轴上坐标为的点N与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N在线段AB之外时，和大于N在线段AB上时的和；当N在线段AB上时，N接近AB的中点，和就逐渐变小，N重合于AB的中点时，和达到最小．因为，所以当取2或3时，最小．
对于和式S=，设数轴上的点A、B分别表示1949、2001，则线段AB的中点的坐标是
．
拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的
定理1 对于函数，
若是奇数，则当时，取得最小值；
若是偶数，则当时，取得最小值
10、解 若是等差数列, >0,则
(是公差).由此，得

.
又知=
.，，
评析 显然是数列的前项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到，于是将变为，再放大为，或缩小为，便使问题获解.
这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。但用“放缩法”解题，必须把握好放缩的“度”.就以此题为例，若将
，就得，这样就没法确定到底是1998还是1999了.若做到这里，我们便应考虑到题中的1不作变形，问题就会得到解决.
此题来源于高中代数下册（必修）P132第33题：用数学归纳法证明，.1992年全国高考“三南”试题：证明不等式：
.这两个结论合起来就有
.此结论就是.
11、解:将所有红数的和记为,所有蓝数的和记为，对任意两个a，b，c都有a＋c＝b或2b（视b为红数还是蓝数而定）。将所有这些等式全部求和，从等式的左边看：每个数都被加了两次，所以总和为2（＋）；从等式的右边看：每个红数都被加了一次，每个蓝数都被加了两次，所以总和为＋2，因此＋2＝2（＋），故＝0。
12、证明 设则．
， ①，
,即
，．