概率初步(教师版).doc

初中数学备课组
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教学内容 概率初步
一.确定事件和随机事件
【知识结构】
1.必然事件:在一定条件下，必定出现的现象叫做必然事件。例如，在标准大气压下，水加热到100℃就要沸腾是必然事件。
2.不可能事件：在一定条件下，必定不出现的现象叫做不可能事件。例如，同性电互相吸引就是不可能事件。必然事件的反面是不可能事件。
必然事件和不可能事件统称为确定事件。
3.随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件。例如，“掷一枚硬币出现正面”，“某人射击一次中靶”，“检查某件产品合格”等都是随机事件。
一个事件中描述的现象“出现”，就说这个事件“发生”。一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性。
【要点点拨】
区分必然事件、不可能事件、随机事件的要点：
“必定”发生——每次一定发生，不可能不发生。
“必定”不发生——每次都完全没有机会发生。
“可能”发生——有时会发生，有时不会发生。
例1 抛掷两枚分别标有1,2,3,4的四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件是 掷得点数和为5等 ；写出这个实验中的一个必然事件是 掷得点数和不超过9等 。
例2 下列三个事件：①明天，上海会下雨；②将汽油滴入水中，汽油会浮在水面上；③任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上；④方程有两个不相等的实数根，其中必然事件是（ D ）
（A）②④ （B）①③④ （C）④ （D）②
例3 从一副没有大、小王的扑克牌中任意抽取牌，请判断以下事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
（1）任意抽取5张牌，其中有一张是大王。 （2）任意抽取5张牌，四种花色都有。
（3）任意抽取5张牌，都是。 （4）任意抽取13张牌，至少有4张是同一花色。
（5）任意抽取13张牌，其中有4张是黑桃。
解：必然事件：（4）； 不可能事件：（1）、（3）； 随机事件：（2）、（5）。
二.事件发生的可能性
【知识结构】
随机事件发生的可能性有大小差别，我们可以根据事件发生的条件或有关经验、资料等，对事件发生的可能性大小作出大致的判断，并进行定性的描述。
各种事件发生的可能性大小有不同，可以根据我们的经验来判断一些随机事件发生的可能性的大小并排出大小顺序。一般，我们常用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性大小。
【要点点拨】
区分“不太可能发生”与“不可能发生”的要点：
“不太可能发生”是指发生的机会很小，可以小到不足万分之一，但不是零，或者说“不太可能发生”的事件也许一万次里一次也没有发生过，但因为它是一个可能发生的事件，所以随时都有发生的可能。而“不可能发生”是指永远都不会发生。
例1 按照下列事件发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来。
事件一：书包里有各学科的练习本10本（外观、厚薄一样），随手一拿，正好拿到的是数学练习本；
事件二：花2元钱买了一张彩票，中了500万大奖；
事件三：抛了两次硬币，都是正面向上；
事件四：三角形有两个内角是钝角。
解：顺序为：事件三、事件一、事件二、事件四
三.事件的概率
【知识结构】
概率是概率论中最基本的概念。在大量重复地进行同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记做。它可以看作是频率在理论上的期望值。不同的随机事件发生的可能性大小是不相同的，概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。
等可能事件的概率一般可以通过大量重复试验求得其近似值。随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但在大量重复试验的情况下，它的发生却能呈现出一定的规律性。但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。对于某些随机试验来说，每次试验后可能产生若干不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的。
一般说来，如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件包含的结果有种，那么事件的概率。
用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。用符号来表示。概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。
不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率。这样随机事件的概率，就是大于0且小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数. 由于任何事件发生的次数总不能大于试验的次数，因此随机事件的概率满足
概率越大，表明事件发生的可能性越大；概率越小，表明事件发生的可能性越小。人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般地，次数大的试验，事件发生的频率才接近概率。
【要点点拨】
1.频率、概率的区别与联系
（1）频率和概率是两个不同的概念。频率是指在相同条件下的若干次试验中，事件出现的次数与总试验次数的比，它一般随着试验次数的变化而变化，而且即使总试验次数相同的不同试验其频率也可不同；而概率是随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率一定存在，它是反映该事件发生可能性大小的值，是一个确定的常数。频率与概率两个数值可能相差很大。
（2）在相同条件下，当试验重复次数充分大时，频率就稳定在概率附近，这时我们可用频率来估计概率。与确定事件的规律不同，随机事件发生的规律一般通过大数次的试验得出，而概率正揭示了随机事件发生的规律。
（3）要注意的是，概率是针对大量试验而言的，但大量试验反映的规律并非在每次试验中一定存在。
2.等可能试验的特点
（1）试验结果的个数有限； （2）各种结果等可能出现；
（3）每次试验的结果唯一。
3.研究一个事件发生的概率一般有三种途径
（1）凭主观经验来分析概率；
（2）通过数次反复试验估计概率；
（3）根据线段图、树状图、列表进行理性分析估计概率。
例1 王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
（1）请你计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率。
（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大。”李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次。”请判断王强和李刚说法的对错。
（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子。求出现向上点数之和为3的倍数的概率。
解：（1）出现向上点数为3的频率为：，出现向上点数为5的频率为：。
（2）两个都错。
（3）出现向上点数之和为3的倍数的概率为：。
例2 妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏。每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出现相同手势，则算打平。
（1）你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少？
（2）妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大？
（3）妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少？
解：（1）； （2）； （3）。
例3 有四张背面相同的纸牌，，，，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）。小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张。
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用，，，表示）。
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率。
解：（1）树形图如图所示：
（2）。
三.概率计算举例
【知识结构】
1.对于有些事件，我们可以直接通过分析来计算其概率。如果一次试验中共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相等，其中事件包含的结果有种，那么。
2.对于一些稍复杂的事件，我们可以用画树状图或列表的方法。列举出所有等可能的结果，再分析随机事件发生的概率。
3.对于区域性事件，我们首先要确定各个区域面积在整个区域面积中所占的比例，然后再根据这个比例计算特殊区域在试验中发生的概率。如果试验的结果落在某个区域中每一点的机会都相等时，我们可用表示“试验结果落在中的一个小区域中”这个事件，那么事件发生的概率为（其中表示面积）。
【要点点拨】
我们在解决分布或交叉的事件的概率问题时只能利用直观的图表方法，常用的有 “树形图”和“表格法”，它们是枚举法的不同表现形式。
1.树形图是解决分步或交叉的事件的概率问题时反复运用的方法。要注意的是：树状图从上到下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的概率都是等可能的。
2.表格法一般只适用于两对象交叉试验结果的分析。用表格法可简明、直观地表现较复杂的等可能结果。
3.列表法和画树状图这三种方法，可以帮助我们分析问题，使我们能不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。
例1 “六一”儿童节前夕，我市某县“关系下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8（1）班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动。8（5）班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标上1,2,3,4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，（当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动）和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由。
解：通过列表法或者树状图法计算可知：
八（2）班被选中的概率为：； 八（3）班被选中的概率为：；
八（4）班被选中的概率为：； 八（5）班被选中的概率为：；
八（6）班被选中的概率为：； 八（7）班被选中的概率为：；
八（8）班被选中的概率为：。
由于每个班被选中的概率不等，所以这种方法不公平。
例2 某学校七年级数学兴趣小组组织一次教学活动。在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，再通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入。
（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明。
（2）小组两位组员小张和小李商量做一个游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负。游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得一分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平。
（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？
解：（1），树状图略。
（2）由树状图可知，，，
，所以游戏不公平；将第二道环进口处的
4改成任一奇数，游戏就比较公平。
（3）设小军次进入迷宫中心，则，解得。
例3 张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场劵，各自设计了一种方案：
张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场劵；否则，王华得到入场劵；
王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球。若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场劵；否则，张彬得到入场劵。
请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平。
解:张彬的设计方案:，
，因为，所以，张彬的设计方案不公平。
王华的设计方案：，
，因为，所以，王华的设计方案也不公平。
巩固练习
一、填空题
1.指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
（1）1是奇数，2是偶数。
（2）直线经过点。
（3）两条平行线会相交。
（4）任意画出三条线段能组成一个三角形。
（5）从全体正整数中取出一个数，这个数不是质数就是合数。
（6）让教练打靶，打中靶心。
（7）上海市夏季平均温度比冬季高。
（8）刘翔在将要进行的田径比赛中获得男子100米栏金牌。
（9）从装有一个红球、三个黄球的袋子里任取两球，至少有一个是黄球。
（10）在13个小朋友中，至少有两个小朋友是同一个月出生。
必然事件序号： （1）、（7）、（9）、（10） ；随机事件序号： （4）、（5）、（6）、（8） ；
不可能事件序号： （2）、（3） .
2.从一盒放有30个黑子、10个白子的围棋盒子里任意摸出一个子，摸出的子是白子的可能性比摸出的子是黑子的可能性要__小__（填“大”或“小”）。
3.如图，在甲、乙两种情况下，老虎有可能在“1”处或“2”处，若兔子任意走一条从到的路，那么兔子安全到达的可能性较大的是___乙___。
4.一个盒子中有6个球2种颜色，每种颜色有3个，那么摸出的2个球颜色一样的可能性_____颜色不一样的可能性（填“>”或“<”）。
5.某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.15，响第三声或第四声被接的概率都是0.2，则电话在响第五声之前被接的概率为___0.65___.
6.袋子里装有红、黄、蓝三种小球，其形状、大小、质量、质地等完全相同，每种颜色的小球各5个，且分别标有数字1,2,3,4,5.现从中摸出一球：
（1）摸出的球是蓝色球的概率是________.
（2）摸出的球是红色1号球的概率是________.
（3）摸出的球是5号球的概率是________.
7.从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是______.
8.用1、2、3三个数字组成没有重复数字的三位数，其中排出偶数的概率是 。
9.两个装有乒乓球的盒子，其中一个装有2个白球1个黄球，另一个装有1个白球2个黄球。现从这两个盒中随机各取出一个球，则取出的两个球一个是白球一个是黄球的概率为 。
二、选择题
1.下列事件是随机事件的是（ A ）
A.购买一张彩票，中奖 B.在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾
C.奥运会上百米赛跑的成绩为5秒 D.掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是8
2.下列说法正确的是（ C ）
A.在数轴上找一个数，它的平方数小于该数是不可能事件
B.解分式方程的根中有增根是随机事件
C.在直线上任找一个点，其纵坐标比横坐标大是必然事件
D.任意画一个凸四边形，其外角和是是随机事件
3.布袋里装有6个红球和3个黄球，从中任意取出3个球，设事件A“取到的3个球都是红球”和事件B “取到的3个球都是黄球”的可能性分别为，则（ B ）
A. B. C. D.以上都有可能
4.如图，转动指针，指针停止时最有可能指向的颜色是（ A ）
A.红色
B.黄色
C.白色
D.蓝色
5.如果一件事情，不发生的可能性达，那么它（ D ）
A.一定发生 B.不可能发生 C.很有可能发生 D.不太可能发生
6.××局预报称：明天本市的降水概率为，这句话指的是（ D ）
A.明天本市的时间下雨，的时间不下雨
B.明天本市的地区下雨，的地区不下雨
C.明天本市一定下雨
D.明天本市下雨的可能性是
7.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是（ C ）
A. B. C. D.
8.现有2019年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京京的概率是（ C ）
A. B. C. D.
9.某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖，问购一张彩票中一等奖
的概率是（ D ）
A. B. C. D.
10.如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，
那么两个指针同时落在偶数上的概率（ B ）
A. B.
C. D.
三、解答题
1.在一个不透明的口袋中有除了颜色外，大小、形状都一样的5个红球、3个黄球和2个绿球，把它们在口袋中搅匀，请判断以下事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件。
（1）从口袋中任意取出1个球，是一个绿球。
（2）从口袋中一次任意取出5个球，全是黄球。
（3）从口袋中一次任意取出5个球，只有黄球和绿球，没有红球。
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、黄、绿三种颜色的球都齐了。
（5）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红、黄、绿三种颜色的球都齐了。
解：必然事件：（5）； 不可能事件：（2）； 随机事件：（1）、（3）、（4）。
2.判断下列事件，哪些“一定发生”， 哪些“可能发生”， 哪些“不可能发生”：
（1）两个无理数的积是有理数。 （2）两个有理数的积是无理数。
（3）两个奇数的和是奇数。 （4）两个偶数的和是偶数。
解：（1）可能发生； （2）不可能发生； （3）不可能发生； （4）一定发生。
3.在一副扑克牌中任意抽出一张，用分别表示抽到的黑桃、、大王、红色牌5、草花偶数、红色牌的可能性，用“>”把它们联结起来。
解：
4.口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1厘米、2厘米、3厘米、4厘米和5厘米，口袋外有2张卡片
分别写有4厘米和5厘米。现随机从袋中取出一张卡片，与袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分
别作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率。
（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率。
解：（1）； （2）。
5.有三张卡片上分别写有一个等式：、、，把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张。第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或树形图法求能组成分式的概率是多少？
解：。（图略）
6.甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1、2、3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加。若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜。
（1）请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来。
（2）这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平。
解：（1）图略。
（2）；
因为，所以不公平。
若将游戏规则改为，若两数之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜就比较公平了。
7.如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个面积相等的扇形。小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏。规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”。按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图、列表）说明其公平性。
解：（1）；。
因为，所以游戏不公平。
（2）将游戏规则改为若和为奇数，小夏获胜；
若和为偶数，则小秋获胜则比较公平。
家庭作业
一.填空题
1.在上海，春季和夏季中，夏季刮台风的可能性较___大__（填“大”或“小”）。
2.买一注福利彩票，没中奖的可能性______中“一等奖”的可能性（填“>”或“<”）。
3.一个盒子中有6个球3种颜色，每种颜色有2个，那么摸出的2个球颜色一样的可能性_____颜色不一样的可能性（填“>”或“<”）。
4.在“红桃5，红桃7，红桃9”这三张扑克牌中任意抽取一张，抽到“红桃7”的概率是_____.
5.某校八年级想举办“十四岁生日”活动方案设计比赛，全学校200名学生计划每位同学交设计方案一份，拟评选出10份一等奖，那么该年级某位同学获一等奖的概率是_____.
6.袋中装有3个红球，1个白球它们除了颜色相同以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是_______.
7.如图所示，转动转盘：
（1）指针落在红色区域的概率是 。
（2）指针落在绿色区域的概率是 。
（3）指针落在黄色区域的概率是 。
8.从-2，-1，1，2这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数，，所得一次函数
的图像不经过第四象限的概率是 。
9.三名同学同一天生日，她们做了一个游戏：买来3张相同的贺卡，各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张。则她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是 。
二．选择题
1.下列事件中，是必然事件的是（ C ）
A.太阳每天都会从西边升起 B.打开电视，正在播放新闻
C.在学校操场上抛出的篮球会下落 D.掷一枚硬币落地后正面朝上
2.“桌子上的一个碗掉在水泥地面上，碗摔碎”，这一事件发生的可能性用语言表述为（ C ）
A.不可能发生 B.必然发生 C.很可能发生 D.不太可能发生
3.从一副扑克牌中任意出一张牌，抽得下列牌中可能性最大的是（ D ）
A.小王 B.大王 C.10 D.黑桃
4.下列说法正确的个数是（ B ）
①如果一件事情发生的可能性很小，那么它就不可能发生
②如果一件事情发生的可能性很大，那么它就必然发生
③ 可能性很小的事也是有可能发生的
A.0 B.1 C.2 D.3
5.下列说法错误的是（ A ）
A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B.不可能事件发生机会为0
C.买一张彩票会中奖是可能事件
D.一件事发生机会为，这件事就有可能发生
6.投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解
①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；
②只要连掷6次，一定会“出现一点”；
③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；
④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
其中正确的见解有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.把标有号码1,2,3,…，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码小于7的奇数的概率是（ A ）
A. B. C. D.
8.某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题共选手随机抽取作答。
在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（ C ）
A. B. C. D.
9.将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为，，，
则，，正好是直角三角形三边长的概率是（ C ）
A. B. C. D.
10.在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（ A ）
A.
B.
C.
D.1 图1 图2
三、解答题
1.某品牌空调中100000台中有2台不合格，试根据这一事实写一随机事件。
解：买了这一品牌的一台空调，正好是不合格的。
2.掷一个普通的正方形骰子，用依次表示下列事件的可能性，用“>”把它们联结起来：
①点数为合数； ②点数为素数； ③点数为非合数； ④点数既非素数又非合数。
解：
3.将正面分别标有数字2、3、4背面花色相同的三张卡片洗匀后。背面朝上放在桌面上。
（1）随机地抽取一张，求抽得偶数的概率。
（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回）再抽取一张作为十位上的数字，请你画出树形图，并根据树形图求恰好取到“24”的概率是多少？
解：（1）；
（2）树形图略，恰好取到“24”的概率是：。
4.在围棋盒中有颗黑色棋子和颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是。
（1）试写出与的函数关系式。
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，求和的值。
解：（1）由，得。
（2）由，解得。
5.某校有、两个阅览室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个阅览室自习。
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个阅览室自习的概率。
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在阅览室自习的概率。
解：（1）；
（2）。
若将游戏规则改为，若两数之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜就比较公平了。
6.如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，， 都可使小灯泡发光。
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是多少？
（2）任意闭合两个开关，请用画树状图或列表法的方法求出小灯泡发光的概率。
解：（1）；
（2）图略
概率为：。