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微 积 分 (知识点概要)

第一章 函数、极限与连续
1．1函数定义与符号
1．2极限概念与运算法则
1．3求极限的方法
1．4函数的连续性

1．1函数的定义（P1）

1函数的定义
1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。

2函数记号
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。

3初等函数（P6）
称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数 logax （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。

4函数的简单性质
（1）有界性：（P5）
对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有x
f(x)≤M 称f(x)有上界
f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）
若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）
若函数f(x)在[a、b]上有定义 对∀x∊[a、b]
x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗
f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘
（4）周期性:(P5)
若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。

1．2极限概念与运算法则

1极限的直观定义（P11）
当一个变量f(x)在x→a的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在x→a的过程中极限存在。称常数b为它的极限，记为
f(x)=b 否则就称极限不存在。
在极限不存在的情形中，若f(x)在xa的过程中，其值无限增大，则要求写成：
f(x)= +
（相应地 有f(x)= -，f(x)=）
在定义中要注意的是：xa的变化过程是指x以任何方式向a靠拢，且在靠拢的过程中始终有 x≠a。

2极限的精确定义（略）
若对∀ε﹥0，点有在∂≻0，当0≺∣x-a∣≺∂时
有∣f(x)-b∣≺ε 成立。
则称在xa的过程中，f(x)以b为极限记为：f(x)=b

3极限的运算法则：（P16）
若f(x)和g(x) 均存在，则
[f(x)±g(x)]= f(x) ±g(x)
f(x).g(x) = f(x) .g(x)
= （g(x)≠0）
4极限的性质：（P15）
1．唯一性： 若极限f(x)存在，则极限是唯一的。
2．有界性： 若极限f(x)存在， 则一定存在a的去心领域即存在∂≻0，使f(x)在0≺∣x-a∣≺∂内是有界的。
3．保号性： 设f(x)=b ｂ＞０，f(x)变到后来必有f(x)＞０。 ｂ＜０，f(x)变到后来必f(x) ＜０。

1．3求极限的方法

1利用定义：
例：求极限
详：由于x0，x≠0，所以在变化过程中始终有定义，显然x0的过程中∣∣无限增大，且的符号不定故 =∞
又例：验证e不存在
详：因当x0+时x从0的右边向0靠拢，→+∞，于是
e→+∞，而当x0-时，→-∞，从而e→0所以e不存在。

2利用极限运算法则（P16）

3利用函数的连续性（P22、P23）
⑴由函数在点x0处连续的定义：若已知f(x)在x=a处连续，则必有f(x)= f(a)
⑵初等函数在具定义区间内是连续的，所以若f(x)是初等函数又判断出a是在f(x)的定义区间上，则：
f(x)= f(a) [即只要将x=a代入f(x)计算f(a)]

4变形：（P17 例4—例7）
在向变量变化过程中，把f(x)作某价变形以消除不定性，通常采用消公因子，分子、分母同乘或除一因子，分子（分母）有理化手段。

5利用两个重要极限公式：（P18-P20）
两个重要极限：
=1 （=1）
(1+)x=e [(1+)=e]
=e [=e]

6应用洛必达法则(P66)
设f(x) 、g(x)可导 [且f(x) =g(x)=0 （或∞）]
若=b （或∞） 则==b （或∞）

7等阶无穷小（大）的替换：
x0时 x∽sinx∽tanx∽ex-1∽ln(1+x).
1-cosx∽ (只能替换因子)

8夹逼定理（P16）
若在a的邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)
且g(x)= h(x)=b （或±∞）f(x)=b （或±∞）

9运用泰勒公式（略）

10化为定积分（略）

11利用单调有界数列必有极限（略）

1．4函数的连续性（P22、P23）

1 定义：y=f(x)在x0的邻域内有定义 且 f(x)=f(x0 )
则称f(x)在x0处是连续的，否则就称为是间断的。
注意：初等函数在其定义区间内是连续的。

2 间断点分类（P23）

3 闭区间上连续函数的性质：
① f(x)在[a、b]上必有界。② f(x)在[a、b]上必有最大（小）值。③ f(a).f(b) <f(δ)=0f(δ)=0

第二章 导数与微分
2．1 函数的可导性与导数（P43）
2．2 函数的可微性与微分

2．1函数的可导性与导数（P43）

1导数的定义
设函数y=f(X)在x0的邻域内有定义
若=b存在称f(x)在点x0处可导。
称其极限值b 为f(x)在点x0处的导数。
记为：
3详：
（1）导数的物理意义：若y表示质点作直线运动时的位置，
x表示时刻，则为质点在x时刻的瞬时速度。
（2）导数的几何意义：若y=f(x)为平面直角坐标系中的曲线方程
则即为曲线上相应于x点处切线的斜率。
（3）导数的经济意义：若y=f(x)表示总产量达到x时所付出的总费用，则即为总产量在x水平上的边际成本。
（4）导数的数量意义：即为因变量y相对于向变量的x变化率。

2导数的记号
（1）在点x处的导数记为，或简记为：或
（2）在x=3处的导数记为或或简记为(3) 或.
（3）导数又称微商
， ，（每个记号都有意义的前提下）

3导数的计算
（1）利用定义：（一般只用于求分段函数在分界点的导数时，才需要用定义计算）[P43 例3——例8]
（2）利用导数公式和求导法则；
（3）隐函数求导；复合函数求导；反函数求导。（P49—51）
（4）对数求导法；（P52）
（5）高阶导数求导法（逐次计算，其他方法）（P54）

2．2函数的可微性与微分（P55）
1定义：若f(x)在x0 邻域内有定义，若对∀△x有关系式
f(x0+△x)-f(x0)=a△x+0(△x)
其中a为常数，则称f(x)在 x0处可微，并称函数值之差中的线性主部 a△x为f(x) 在x0处的微分，记为
d f(x0)=a△x

2可微的充要条件
f(x)在x处可微 f(x)在x处可导且a=
f(x)在x处的微分即为df(x)=△x=dx (x为自变量△x= dx)
3微分的计算（P56）
（1）转化为导数的计算
（2）利用微分不变性即无论u 是中间变量还是自变量
均有df(u)=
（3）近似计算
如：计算e
例：e=e+( e-e)
e-e=△x=1.(0.1)=0.1
e1+0.1=1.1
（4）函数在处的三个局部性质之间的关系

连续可导

可微

第三章 导数的应用
3.1利用导数研究函数的性态
3.2中值定理（略）
3.3函数图形绘制
3 .4导数在经济上的应用

3.1利用导数研究函数的性态（P70-P77）

（1）若在（a、b）内f′（x）=0则在（a、b）内f（x）=c（常数）

（2）若在（a、b）内f′（x）﹥0则在（a、b）内f（x）严格单调增加（↑）

（3）若在（a、b）内f′（x）﹤0则在（a、b）内f（x）严格单调减小（↓）

（4）若在（a、b）内f〞（x）﹥0则在（a、b）内f（x）向下凸（）

（5）若在（a、b）内f〞（x）﹤0则在（a、b）内f（x）向上凸（）

（6）若f〞（xo）=0或f〞（xo）不存在，f〞（x）在xo的两侧变号
则[xo f（xo）]为曲线y= f（x）的拐点，拐点的定义为曲线上凹凸的分界点。

（7）若f′（xo）=0（称xo为驻点）或f′（xo）不存在，且f′（x）在xo左右变号，则xo为f（x）的极点，若从左到右f′（x）由（-）变（+）则xo为极小点。
若从左至右，f′（x）由（+）变（-），则xo为极大点。
若f′（xo）=0，f〞（xo）≠0则xo为f（x）的极点，若f〞（xo）﹥0则xo为极小点，若f〞（xo）﹤0则xo为极大点。

3.3函数图形的绘制（参见P84）

3.4导数在经济上的应用

（1）最大（小）值在经济上的应用。（P76）

（2）边际分析与弹性分析。（P78—P80）
一般的方法是：①经济上的问题转化为函数的问题（既建立函数模型）②求f′（x）或yx进行分析。（参见P76-P80）

第四章 不定积分
4.1不定积分的概念、性质、几何意义
4.2基本积分公式
4.3计算不定积分的基本方法

4.1不定积分概念、性质（P98）几何意义（P98—P99）

若f（x）有原函数g（x）显然g（x）+1，g（x）+2，g（x）+c（c为任意常数）均为f（x）的原函数，
求f（x）的所有原函数的 运算称为求f（x）的不定积分
记为 f（x）dx
由不定积分的概念可以明确两条：
①不定积分的最后答案中一定带有任意常数项；
②检查不定积分是否正确，应用求导进行验证。

4.2基本积分公式（P99—P100）

4.3计算不定积分的基本方法：（P102，P106，P110）
①凑微分法：
例如：由sinxdx=-cosx+csinudu=-cosu+c
②换元法： f（x）dx令x=g（t）
则 f（x）dx=f（g（t））dg（t）
③分部积分法（P110）
udv=uv-vdu

第五章 定积分
5.1定积分的概念、几何意义；（P128，P129）
5.2定积分的性质；（P130）
5.3微积分基本定理；（P132）
5.4计算定积分的基本方法（P136—P140）
5.5广义积分（P140）

5.1定积分的概念，几何意义（及经济意义）（P129—P130）
定积分是介绍一种计算具有可加性整体量的方法。
f（x）dx定义为区间[a、b]上的f（x）的定积分

5.2定积分的性质（P130）（性质1—性质7）

5.3微积分基本定理

若F（x）为f（x）的一个原函数，则
f（x）dx=F（b）-F（a）（→牛顿—莱布尼茨公式）
由此定积分的计算就转化原函数的计算。

5.4计算定积分的基本方法：

由牛顿—莱布尼茨公式，定积分的计算可转化为被积函数的原函数的计算，因此，不定积分的所有计算技巧都可用于定积分的计算，但固定积分是一个具体数值的计算，所以又有其自己的特点。

1定积分计算时的几点注意
ⅰ）在定积分计算中作换元时，上、下限要随之一起变换。
例如 dt

ⅱ）若被积函数中有完全平方的开方运算时，则在去根号时需适当地加上负号。例如
==+

ⅲ）关于绝对值的积分，一定先把绝对值符号去掉。
例如：=+

ⅳ）对称性的利用，例如：
=

ⅴ）若f（x）为以T为周期的连续的周期函数，则
=

2定积分的计算
1．变上限定积分的求导公式：（P132 ， 定理5.1）

2.牛顿-莱布尼茨公式（P135）

（条件：①f(x)在[a,b]上连续②F(x)是f(x)的一个原函数）

3．在按积分法
①牛顿公式-在按积分法。（P137、例1-5）
②凑微法。（同上）
③分部积分法（P139）
④广义积分计算方法﹟（P140）

4．定积分应用的计算方法。
①几何的面积计算。（P142）
②经济上应用的计算。（P146）

①几何的面积计算
1．由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形的面积为
(P142图5.11,-5.13)

2．设函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续且满足:
0≤g(x)≤f(x) x∈[a,b]
由这两条曲线及x=a、x=b所围成的图形的面积为:
(P143 图5.14 , 5.15)

3．由曲线x=(y)(≥0)及在线y=c、y=d (c<d) y轴所围成的曲边梯形的面积为:
(P143 图5.16)

4．若在区间[c,d]上中(y) ≤(y)，则由这两条曲线及在线y=c,y=d所围成的图形（如图5-17）的面积为:
(P143 图5.17)

②定积分在经济上应用的计算。（P146）

1．由边际函数求总函数（P146）
由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）的导数就是边际函数（边际成本、边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，即可用不定积分求总函数，也可以用定积分求总函数。
例如：已知边际成本C′(Q)，固定成本C0，边际收益R′(Q)
则： 总成本函数
总收益函数
总利润函数
2．由边际函数求总函数的极值（P146）
设边际收益为R′(Q)，边际成本C′(Q)，固定成本为C0，
已知R′(Q)= C′(Q),即Q=Q0时利润最大，则最大利润为

3．连续复利资金流量的现值（P147）
若现有本金p0元，以年利率r的连续复利计息，则t年后的本利和A(t)为A(t)=p0ert反之，某项投资资金t年后的本利和A已知，则按连续复利计算，现金应有资金p0=Ae-rt-p0称为资本现值。
在时间[1,T]内,若资金流量A是时间t的函数,以年利率r连续复利计算,则T年末资金流量总和的现值为

特别地,当资金流量为常数A时

5.5广义积分

广义积分就是把积分的概念推广至无穷区间和无界函数。
（1）无穷区间的广义积分定义
=
=
（2）无界函数广义积分定义（略）

第六章 多元函数微分学
6.1二元函数的极限与连续（P153—
6.2偏导数与全微分（P159—
6.3复合函数与隐函数的微分法（P164—P166）
6.4二元函数的极值（P166）

6.1二元函数的极限与连续

（1）极限（二元函数）定义P158
=A 或 =A

（2）二元函数的连续
=

6.2偏导数与全微分

6.3复合函数与隐函数的微分法

（1）复合函数微分法
设函数u=u（x，y），v=v（x，y），在点（x，y）处的偏导数存在。
函数z=f（u，v）在对应于点（x，y）的（u，v）处有连续的偏导数
则复合函数z=f[u（x，y）、v（x，y）]
对x，y的偏导数都存在，并且有
=.+.

=.+.
例：求z=esin（x+2y）的偏导数
解：令u=xy v=x+2y 则z=esinv
=.+.=esinv.2xy+ ecosv.1
=e[2xysin(x+2y)+cos(x+2y)]

=.+.= esinv.x2+ ecosv.2
= e[ x2sin(x+2y)+2cos(x+2y)]

（2）隐函数的微分法
设函数F（x，y，z）在点P（x，y，z）的某一邻域内有连续的偏导数，且F（x，y，z）=0，F′（x，y，z）≠0
则方程F（x，y，z）=0在点（x，y，z）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导的函数z=f（x，y）
它满足条件z=f（x，y）并且有
=-，=-，特别地

例：设=1，求及
解：令F（x，y，z）=-1=0
则有F′=，Fy′=，Fz′=
当Fz′≠0，即Z≠0时，有
=-=-=-
=-=-=-

6．4二元函数的极值

（1）无条件极值
①设函数z=f(x.y) 在p0(x0 .yo)的某一邻域N(p0 .)内有定义
如果有f(x.y)﹤f(x0 .yo)，对(x.y)N[N(p0 .)- (p0 )]
成立则称f(x0 .yo)是函数f(x.y)的极大值。
反之若有f(x.y)﹥f(x0 .yo)对(x.y)N[N(p0 .)- (p0 )]
成立则称f(x0 .yo)是函数f(x.y)的极小值。
②满足条件′(x0 .yo)=′(x0 .yo)=0的点p0 (x0 .yo)称为
函数f(x.y)的驻点。
③函数z=f(x.y) 在点(x0 .yo)的某个领域内有连续二阶偏导数
又′(x0 .yo)=0 ， ′(x0 .yo)=0
记A=″(x0 .yo) ， B=″(x0 .yo) ， C=″(x0 .yo)
△=B2-AC
(a) △﹥0时
点(x0 .yo)不是极值点。
(b) △﹤0时点(x0 .yo)为极值点且当A﹤0，(x0 .yo)为极大值点
A﹥0时(x0 .yo)为极小值点。
(c) △=0时，待定（即需用其他方法判断）
例：求函数f(x,y)=y3-4y2+2xy-x2+2x-2y-1的极值
解：解方程组

A=″=-2 ， B= ″ =2 ， C=″=6y-8
对于(1,0)点 A=-2 ， B=2 ， C=-8
△=B2-AC=4-16=-12﹤0
故函数在(1，0)的及 f(1，0)=0为极值点
又 A=-2﹤0 f(1，0)=0为极大值
对于(3,2) A=-2 B=2 C=4
△ =B2-AC=4+8=12﹥0 无极值
(2)条件极值（略）

福建商专夜大 2008。5。5。
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