抽屉原理--证明一些数论中的问题.pdf

8-2抽屉原理mm 举目褐抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同 时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：1.理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2.掌握用抽屉原理解题的基本过程；3.能够构造抽屉进行解题；4.利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。且1睚磷一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证 明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又 基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许 多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义(1)举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个,有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少 放两个苹果。(2)定义一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里 至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题苹果：抽屉=商余数余数：(1)余数=1,结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(2)余数=1(1 (h-1),结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里(二)、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限 思想“任我意”方法、特殊值方法.模块一、利用抽屉原理公式解题（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例11 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽 子.对吗？【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子.这只鸽子可以 任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子.所以这句话是正确的.利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6+5=1 1,1+1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子.【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以 上金鱼.【解析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8 个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼.【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说 明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【解析】将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4 个抽屉，由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果.即至少有两名学 生在做同一科的作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人.教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在 同一月过生日你知道张老师为什么这样说吗？【解析】：先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看 出，这道题显然与月份有关.我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这 道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中.根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹 果.因此至少有两个同学在同一个月过生日.【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解.【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相 一样.【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相 应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至 少有两个同学属相一样.【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？【解析】一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹 果”.这样，把367个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果.这就说 明，至少有2名同学的生日相同。【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂 色相同.【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择 这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色.也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六 个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个 以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果.因为730 366=1.364,抽屉原理所以，至少有1+1=2（个）学生的生日是同一天.【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【解析】将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个 苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.例3三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【解析】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的.所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋 友都是男孩或者都是女孩.例4“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试 说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友 遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇的熟人数目共有以下n种可能：0,1,2,，n-1.其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见 In 一个熟人，所以共有n个“抽屉”.下面分两种情况来讨论：如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只育窕上2n 个熟人，这样熟人数目只有n1种可能：0,1,2,2n.这样“苹果”数（n个小朋友）超过“抽屉”数（n1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有In种可能：L 2,3,n-1.这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数（n1种熟 人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数 目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至 少有两名同学，他们的朋友人数一样多.数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以 每个同学至少有1个朋友.因此这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1,2,3,19.把这20名同学看作20个“苹果”,又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”,根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形.我们将余数的这三种情形看成是 三个“抽屉”.一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里.将 四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）.这 两个数的差必能被3整除.【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【解析】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3,其余数不外乎是0,1,2,把这3个不同的余数当作3 个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3 的余数相同【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【解析】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b,它们除以自然数m的 余数相同，那么它们的差ab是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2 个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两 个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。【解析】把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据 抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是 5的倍数。【巩固】（第八届小数报数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10 类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，个位数字是9的 为第9类，个位数字是0的为第10类.（1）任意取出6个互不同类的自然数，其 中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其 中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例.【解析】（1）不一定有.例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10 的倍数.（2）一定有.将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4 类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉.任 意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数.因为7个数互 不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数.当两个互不同类的数放到前4个抽屉的 任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数.【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位 与十位数字相同的两位数.解析】两位数除以11的余数有11种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余数情况把 所有两位数分成11种.12个不同的两位数放入11个抽屉，必定有至少2个数在同一个抽 屉里，这2个数除以11的余数相同，两者的差一定能整除H.两个不同的两位数，差能被 11整除，这个差也一定是两位数（如11,22），并且个位与十位相同.所以，任给12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数.【例7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数.【解析】设这11个数为la,2a,3a,11a,由5个数的结论可知，在la,2a,3a,4a,5a中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设12313aaak；在4a,5a,6a,7a,8a中必 有3个数，其和为3的倍数，不妨设45623aaak；在7a,8a,9a,10a,Ila中必有3个数,其和为3的倍数，不妨设78933aaak.又在Ik,2k,3k中必有两个数的奇偶性相同，不妨 设Ik,2k的奇偶性相同，那么1233kk是6的倍数，即la,2a,3a,4a,5a,6a的和是6 的倍数.【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？【解析】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2.因此这三个数之和能被3整除.综上所述，在任意 的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数例8任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独 一个数也当做和）.【解析】把这2008个数先排成一行：la,2a,3a,2008a,第1个数为la；前2个 数的和为12aa；前3个数的和为123aaa；前2008个数的和为122008aaa.如果这2008 个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1,2,2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以 2008的余数相同,那么它们的差（仍然是la,2a,3a,2008a中若干个数的和）是2008 的倍数.所以结论成立.【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题.证明：小明一定在连续的 若干天内恰好做了 7道题目.【解析】设小明第1天做了 la道题，前2天共做了 2a道题，前3天共做了 3a道题，前14天共做了 14a道题.显然1420a,而la13a都小于20.考虑la,2a,3a,14a 及17a,27a,37a,，147a这28个数，它们都不超过27.根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等.由于la,2a,3a,14a互不相等，17a,27a,37a,14 7a也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：7jiaa,所以7jiaa.这表明从第li天到第j天，小明恰好做了 7道题.【例9】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.【解析】19964499,下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数.取 500个数:1,11,111,1111（500个1）.用499去除这500个数,得到500个 余数la,2a,3a,，500a.由于余数只能取0,1,2,，498这499个值，所以根据抽 屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1,后若 干位是0：111000.又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499 的倍数，将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数.【巩固】任意给定一个正整数，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7 组成的数.【解析】考虑如下In个数：7,77,777,，777n位，1777n位，这In个数除以n的余 数只能为0,1,2,，In中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n 的余数相同，不妨设为777p位和777q位（pq）,那么（）777777777000pqpqq位位位位是n的 倍数，所以n乘以适当的整数，可以得到形式为（）777000pqq位位的数，即由0和7组成的 数.【例10求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数&b,c,d,e,f,使得 是 105 的倍数.【解析】105357.对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩 下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2 个数，使它们的差是3的倍数.【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式,使其得数为105的倍数.【解析】根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜0（）Oabcdef使其结果为105的倍数，那么我们的思路是使第一个括号里是7的倍数，第二个括号里是5的倍数，第三个括号里是 3的倍数，那么对于如果六个数字里有7的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果 没有7的倍数，那么我们做如下抽屉：除以7的余数是1或者是6 除以7的余数是2或 者是5 除以7的余数是3或者是4那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么 着两个数如果余数相同，做减法就可以得到7的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到7 的倍数.这样剩下的4个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出5和3的倍数.于是本 题可以证明.【巩固】（2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在100张卡片上不重复地编上广100,至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？【解析】21223,因为3的倍数有100333个，所以不是3的倍数的数一共有1003367（个），抽取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3 的倍数，又因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍数。于是最少要抽取68个数（即：68张卡片）才可以保证结 果。【例11】把1、2、3、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相 邻的三个数之和不小于17.【解析】（法1）把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为la、2a、3a、10a.相 邻的三个数为一组，有 123aaa、234aaa 345aaa、9101aaa 1012aaa 共 10 组.这十组三个数之和的总和为：12323410121210+3355165aaaaaaaaaaaa,16516105,根据抽 屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于17.（法2）在10个数中一定有一个数是1,不妨设101a,除去10a之外，把la、2a、3a、9a这9个数按顺序分为三组123aaa 456aaa 789aaa.因为这三组数之和的总和为：123456789+231054aaaaaaaaa,根据抽屉原理，这三 组数中至少有一组数之和不小于17.【巩固】圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2,1999（每一点只标一个数，不同 的点标上不同的数）.证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三 个数之和不小于2999【解析】把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为la、2a、3a、2000a.相邻的 三个数为一组，有 123aaa、234aaa 345aaa、199920001aaa 200012aaa 共 2000 组.这 2000 组 三 个 数 之 和 的 总 和 为：123234200012122000+33（1231999）5997000aaaaaaaaaaaa5997000299820001000,根据抽屉 原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于2999.【例12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识.【解析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色,两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可.从这6个点中 随意选取一点A,从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有 3条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C、D,那么这三点中只要有两点比如说B、C 之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不 是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3点组成蓝色三角形，也符合条件.所以结论成立.【巩固】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上.证明：用这些点做顶点所组成的 一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.【解析】我们先把题目解释一下.一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和 最小边.在等腰三角形（或等边三角形中），会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小 边）.我们用染色的办法来解决这个问题.分两步染色：第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂 色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色.这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色 涂好.根据上题题的结论可知，这些三角形中至少有一个同色三角形.由于这个同色三角形 有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形.由于这个同 色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说明这条最小边必定是某个三角形的 最大边.结论得证.【巩固】假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起 来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同 色？【解析】从这6个点中随意选取一点A,从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条 的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C、D,那么这三点中 只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3点组成蓝色三角形，也符合 条件.所以结论成立.（可以拓展玩转数学）【巩固】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线 段能构成若干个三角形.证明：一定有一个三角形三边的颜色相同.【解析】从这17个点钟任取一个点A,把A点与其它16个点相连可以得到16条线段，根 据抽屉原理，其中同色的线段至少有6条，不妨设为红色.考虑这6条线段的除A点外的6 个端点：如果6个点两两之间有1条红色线段，那么就有1个红色三角形符合条件；如果6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的2题可知，这6个点中 必有3个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件.综上所述，一定 存在一个三角形满足题目要求.【例13】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操.老师是否总能从队形中 划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是 女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例.【解析】因为只有男生或女生两种情况,所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别.为 了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4 个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨 假定前3个是女生.又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生 时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩 形.所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生 同性别.问题得证.例14 8个学生解8道题目.（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出.（2）如果每道题只有4个学生解出，那 么U）的结论一般不成立.试构造一个例子说明这点.【解析】（1）先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出58=40次，分到8 个学生身上，至少有一个学生解出了 5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称 这个学生为A,我们讨论以下4种可能：第一种可能：若A只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出 35=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了 3次或3次以上的题目（15=27+1,由 抽屉原则便知）由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B.那 么，每道题至少被A、B两名同学中某人解出.第二种可能：若A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2X5=10 次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目（10=17+3,由抽屉原则 便知）.与1第一种可能I同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C.那么，每道题目至少被A、C学生中一人解出.第三种可能：若A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为D.那么，每道题目 至少被A、D两名学生中一人解出.第四种可能：若A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E,那么，每道题目至少被A、E 两名学生中一人解出，所以问题得证.类似问题中的想法，题目共被解出84=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人 解出4道题.随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出44=16 次，由于16=2X7+2,可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使 每道题目至少被其中一人解出.具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打J 代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出.【巩固】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案.一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同.问参加考试的学 生最多有多少人？【解析】设总人数为A,再由分析可设第一题筛选取出的人数为1A,第二题筛选的人 数为2A,第三题筛选取的人数为3A,第四题筛选的人数为4A.如果不能满足题目要求，则：4A至少是3,即3个人只有两种答案.由于4A是3A人做第四题后筛选取出的人 数，则由抽屉原则知，（两种答案）中至少放有333AA个苹果（即4A）.333AA=4A=3,则 A3至少为4,即4人只有两种答案.由于3A是2A人做第三题后筛选的人数，则由抽 屉原则知，将2A个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两种答案）中 至少放有223AA个苹果（即3A）.223AA=3A=4,则2A至少为5,即5人只有两种答案.同 理，有113AA=2A=5则1A至少为7,即做完第一道题必然有7个人只有两种答案；则有 OO3AA=1A=7.则0A至少为10,即当有10人参加考试时无法满足题目的要求.考虑9 名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）.故参 加考试的学生最多有9人.（2）求抽屉【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的 小兔？【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼 子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进101=9个笼里，才能保证至少有 一个笼里有两只或两只以上的小兔【例16把125本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是 只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则12543401,因此这个班最多有：40141（人）（处理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书）.【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学 校如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则11231091236,因此最多有：1231124个学校，处理余数很关键，如果有125个学校则不能保证至少有10名同学来自同 一个学校）【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学 生少于12个，求这个数.100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少 也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则9X11V100,所以只要分苹果的 学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.答案为9.【例17】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月，才 能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑 这8个学生.经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面 只考虑这4个学生.经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的,如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的 学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为162二8人，第二个月保持同 组的人数为84-2=4人，第三个月保持同组人数为44-2=2人，这说明照此分法，不会有2 个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月.（3）求苹果【例18】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个 小朋友能得到不少于两本书？【解析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品.把书放在50个抽屉中，要想保证 至少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于50,而大于50的最小整数 是50151,所以至少要拿51本书.【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个 小朋友能得到不少于两本书？【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于 两本书.【巩固】有1。只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.请问：至少 需要有几只鸽子？【解析】有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只.要保证至少有1只鸽笼中住 有2只或2只以上的鸽子.那么至少需要11只鸽子，这多出的1只鸽子会住在这10个任意 一个笼子里.这样就有1个笼子里住着2只鸽子.所以至少需要11只鸽子.【巩固】三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证 有的同学可以同时借两本书？【解析】把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量.因此，“图书角”至少要准备44本课外书.【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包 括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相 同？【解析】陷阱：以前的题基本全是2个人的，而这里出现4个人，那么，就“从倍数关系选”。认真思考，此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？在140厘米至150厘米之间（包括140 厘米到150厘米）共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作11个抽屉，每个抽屉中放 3个整厘米数，就要11X3=33个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34个学生，才能找到4个人的 身高相同.例20 一次数学竞赛出了 10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分,答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参 加竞赛？【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3X10=40分，但注意到 39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3X（41-3）+1=115 人.【巩固】（第十届小数报数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准 是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答,得0分.至少人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同.【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在050分之间，1分,2分，4分，7分，47分，49分不可能出现.共有51645（种）不同得分.根据抽屉原理，至少有45X2+1=91（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同.（二）、构造抽屉利用公式进行解题【例21在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游 戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取 出的两个球的颜色完全一样.你能说明这是为什么吗？【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：红、红；黄、黄；蓝、蓝;红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹 果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个 人挑选的颜色完全一样.【巩固】在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋中任意取出 2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样.【解析】小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下3种可能：红红、黄黄、红黄,把这3种情况看作3个“抽屉力把4位小朋友看作4只“苹果”，根据抽屉原理，必有两个 小朋友取出的两个球的颜色完全一样.【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意 拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同 的？【解析】首先应弄清不同的水果搭配有多少种.两个水果是相同的有4种，两个水果不同有 6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子.所以不同的水果 搭配共有4610（种）.将这10种搭配作为10个“抽屉”.由抽屉原理知至少需11个小朋友 才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的【巩固】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了 2本.请问，你能保证，他们之中至少有 两人借阅的图书属于同一种吗？【解析】每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英.第4个小朋友无论借什么书,都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有 2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类.总结：此题如用简单乘法原理的话，有难度，因为涉及到简单加法原理，所以推荐使用列表法。与 之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他要求，所以可以拿2本同样的书.【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名 学生最多可借两本不同类的书，最少借一本.试说明：必有两个学生所借的书的 类型相同【解析】设不同的类型书为A、B、C、D四种，若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种.共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”.如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的 类型相同.【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是 同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗;马、羊；马、狗；羊、狗.把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉.根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同.【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个 人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样 的？【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，贝U：66973,718,即至少有8 名同学所拿球的种类是一样的.【巩固】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】根据题意列下表：有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以 跟前面三个同学其中的一个选法相同.所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是 相同的.总结：本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解.学生们可能会这么认为：铺垫：2件3种 6件，6件2个3人，要保证有相同的所以至少要有314人；对于例题中的题目同样2件4 种8件，8件2个4人，要保证有相同的所以至少要有415人.因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种.可以简单跟学生讲一下简单乘法原理 的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复.【巩固】篮子里有苹果