八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高).doc

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西安乐童教育中心八年级数学
因式分解常见方法讲解和经典题型
常见方法
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
　（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
　(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知是的三边，且，
则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
= 每组之间还有公因式！
=

例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式= 原式=
= =
= =

练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=

例4、分解因式：
解：原式=
=
=

练习：分解因式3、 4、

综合练习：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11）（12）

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，

例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=

例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1） （2）

（3） （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=

练习8、分解因式(1)(2)(3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）

综合练习10、（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）（8）
（9）（10）

思考：分解因式：

五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）

例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）
（2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= = = = = =
= =

（2）
解：原式=
=
=
=

练习15、分解因式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

七、待定系数法。

例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。

（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴ 解得，
∴=21

练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

经典题型
例01 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
分析 本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.
（C）中第一组可提取公因式2，剩下因式；第二组可提取，剩下因式，这样组间可提公因式，故（C）正确.
典型例题二
例02 用分组分解法分解因式：
（1）；（2）.
分析 本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.
解 ⑴
（合理分组）
（组内提公因式）
（组间提公因式）
⑵
（注意符号）
（组内运用公式）
（组间运用公式）

说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的.
另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.
②分组时要添加带“－”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步.
典型例题三
例03 分解因式：
分析 本题按字母的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为，，，.系数比相等的有或，因而可分组为、或、.
解法一
（学会分组的技巧）

解法二

说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！
典型例题四
例04 分解因式：
分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.
解法一

解法二

说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.
典型例题五
例05 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解.
解法 （1）

（2）

（3）

说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.
如⑴中，“交叉项”为，相应的平方项为、；⑵中，“交叉项”为，相应的平方项为、.
典型例题六
例06 分解因式：
（1）；（2）.
分析 本题两例属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.
解 （1），，

（2），，

.
说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.
典型例题七
例07 分解因式：
（1）；
（2）.
分析 对（1），利用整体思想，将看作一个字母，则运用型分解；对（2），将其看作关于的二次三项式，则一次项系数为，常数项为，仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.
解 （1）

（2），，

.
典型例题八
例08 分解因式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
分析 本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.
解 ⑴法一：

（可继续分解，方法很简单：，对于方法类似，可以自己探索）

法二：

法三：

⑵
（看作型式子分解）

⑶

⑷

说明 ⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.
⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式，.
⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.
⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.
但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中.
典型例题九
例09 分解因式：
（1）；（2）
分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.
解 ⑴

（乘法运算，去括号）
（重新分组）

⑵
（乘法运算去括号）
（重新分组）

说明 “先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.
典型例题十
例10 分解因式
分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” .即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.
解

说明 当时，多项式值为0，因而是的一个因式，因此，可从“凑因子” 的角度考虑，把6拆成，使分组可行，分解成功.
运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.
法二：

法三：

（凑立方项）

法四：
（与凑立方项）

（套用公式）

法五：
（拆项）

法六：
（凑平方差公式变项）

法七：令则（为多项式一个因式，做变换）

（做乘法展开）

（还原回）
说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.
本题还可以如下变形：
＝＝……
典型例题十一
例11 若是完全平方式，求的值.
分析 原式为完全平方式，由，即知为，展开即得值.
解 是完全平方式
应为
又，
故.
说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用来求解.
典型例题十一
例11 把下列各式分解因式：
（1）； （2）
（3）
解：（1）由于16可以看作，于是有

；
（2）由幂的乘方公式，可以看作，可以看作，于是有

；
（3）由积的乘方公式，可以看作，于是有

说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.
（2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.
典型例题十二
例12 求证：对于任意自然数，一定是10的倍数.
分析 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.
证明

是10的倍数，
一定是10的倍数.
典型例题十三
例13 因式分解（1）； （2）
解：（1）

或

；
（2）

或

说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性；
（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；
（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；
（4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解
典型例题十四
例14 把下列各式分解因式：
（1）； （2）；
（3）
解：（1）

（2）

（3）

或

或

说明：（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，
，就会分解不下去了；
（2）有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；
（3）对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。
典型例题十五
例15 把下列各式分解因式
（1）；（2）.
分析（1）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数1=，故这是一个型式子.
（2）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数 ，故这也是一个型式子.
解：（1）因为=，并且1=，所以
=.
(2) 因为=，，所以
=.
说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律：
（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.
(2) 常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.
典型例题十六
例16 将分解因式
分析：此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点，而用型式子分解因式其二次项系数不是1，而是，故在上述都不能的情况下，想方法将看成，则这个二次三项式就可以化成，即可符合型式子，故可分解因式.
解：设，则
原式=
所以，.
说明：今后应细心审题观察题目的特征，若能利用整体换元的思想将多项式化为型的式子即可因式分解.

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