武汉理工大学数字信号处理试卷.doc

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姓 名

学 号

专业班级

学院

武汉理工大学考试试卷（A卷）
2010 ~2011 学年 2 学期 《数字信号处理》 　　课程 闭卷
时间120分钟， 64 学时， 2 学分，总分100分，占总评成绩 70 % 2010年6月2 日
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
合计
满分
10
5
12
6
5
12
12
10
8
8
12
100
得分

得分

一、 判断并说明理由（10分）
1、判断序列是否为周期序列，如果是，求其周期。（4分）

2、判断系统是否为线性、时不变，因果、稳定系统，说明理由。其中，与分别为系统的输入与输出。（6分）

得分

二、 有一理想抽样系统，抽样频率为，抽样后经理想低通滤波器还原，其中：

有两个输入信号，问输出信号是否有失真？（5分）

8
三、假设某离散时间系统由下面的差分方程描述
得分

试求 1、求系统函数，并讨论的收敛域及系统的因果和稳定性。（6分）
2、求稳定系统对应频率响应和单位脉冲相应。（6分）

得分

四、求序列的z变换，并画出零极点及收敛域图。（6分）

得分

五、求下列信号的N（偶数）点DFT，其中 （5分）

得分

六、一个5点的序列x(n)={1,0,2,1,3}
1、试画出x(n)*x(n)（3分）
2、试画出x(n)⑤x(n)（3分）
3、试画出x(n)⑩x(n)（3分）
4、试说明如何用线性卷积结果计算N点圆周卷积，若x(n)同x(n)的某个N点圆周卷积同线性卷积相同，试问N的最小值是多少？（3分）

七、已知以一秒为周期均匀采样得到x(n)={1,0,2,1}。
得分

1、求频域X(k)，并做出蝶形图。（6分）
2、试进行谱分析，即求出振幅谱、相位谱和功率谱。（6分）

得分
得分

八、设IIR数字滤波器系统函数为：
试画出系统的级联和并联的信号流图。 （10分）

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姓 名

学 号

专业班级

学院

得分
得分

九、设x(n)=n+3，0≤n≤9，h(n)={1,2,3,4},按N=4用重叠相加法计算线性卷积y(n)=x(n)﹡h(n)（8分）

得分
得分

十、模拟低通滤波器的系统函数为，抽样周期T=0.5。试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别设计数字滤波器，求系统函数 。（8分）

得分

十一、根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。采样频率为，通带截止频率，阻带截止频率，阻带衰减不小于50dB。（12分）
窗函数
窗谱性能指标
加窗后滤波器性能指标
旁瓣峰值(dB)
主瓣宽度
过渡带宽/
阻带最小衰减(dB)
矩形窗
-13
2
0.9
-21
三角形窗
-25
4
2.1
-25
汉宁窗
-31
4
3.1
-44
汉明窗
-41
4
3.3
-53
布莱克曼窗
-57
6
5.5
-74
凯泽窗
-57
5
5
-80
（ 汉宁窗
汉明窗）

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武汉理工大学考试试题答案（A卷）
2010 ~2011 学年 2 学期 《数字信号处理》　课程
一、1. 由于是有理数，所以是周期的，周期为14。（4分）
2. 令输入为，系统的输出为

故系统是线性系统。
假设输入为，则

又因为

很明显，所以系统不是时不变系统.
由系统的输入与输出关系可以看出，当时，与将来时刻的输入有关，由因果系统的定义可知，该系统为非因果系统。
假设输入有界，即

此时输出满足

因此系统为稳定系统。 （6分）
二、根据奈奎斯特定理可知，因为的频谱中最高频率为
，所以输出信号无失真。
对于，其频谱中最高频率为 ，则输出信号失真。 （5分）
三、(1) 对差分方程两端分别进行变换可得

系统函数

（4分）
有两个极点，，因此收敛域有三种情况：
，，
极点都在单位圆内，此时，收敛域对应的系统为因果稳定系统。 （2分）
（2）当系统稳定时，频率响应存在，且
（2分）
将展成部分分式，可得

因此

结合收敛域，求逆变换，有
（4分）
四、由z变换的定义，令，则

其收敛域为。令，则

其收敛域为。，那么

其收敛域包含，由于没有零极点抵消，所以收敛域就是。
整理得
（4分）
可见有一个零点，有2个极点，另一个极点是，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图2-4所示。
由于为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：有两个极点，，序列是双边序列，其收敛域为极点界定的圆环，由极点很容易确定收敛域为。
因为收敛域包括单位圆，所以傅里叶变换存在。

（2分）

图 的零极点图及收敛域

五、根据离散傅里叶变换的定义，
（5分）
六1、
（3分）
2、
（3分）
3、 （3分）
4、圆周卷积等于线性卷积以N为周期进行周期延拓，然后取主值序列的结果。如果圆周卷积等同于线性卷积，N≥5+5-1=9 （3分）
七、1、采用DFT-FFT算法，得X（k）={4,-1+j,2,-1-j}，其蝶形图为
（6分）
2、振幅谱：
相位谱：
功率谱：
八、1、级联型：

（5分）
2、并联型：
（5分）

九、因为N=4，所以把x(n)分为三段：
x1(n)={3,4,5,6}
x2(n)= {7,8,9,10}
x3(n)= {11,12,0,0} （3分）
计算x(n)中每一段同h(n)的线性卷积:
y1(n)=x1(n)*h(n)={3,10,22,40,43,38,24}
y2(n)=x2(n)*h(n)={7,22,46,80,79,66,40}
y1(n)=x1(n)*h(n)={11,34,57,80,48,0,0} （3分）
把临段的最后3项与开始的3项相加得到相应的各项，最后的y(n)为:
y(n)={3,10,22,40,50,60,70,80,90,100,97,80,48} （2分）
十、1、由脉冲响应不变法，将展开成部分分式

其中：
因此
有2个实极点，映射到z平面极点为，，则数字滤波器的系统函数为，将T=0.5代入到表达式中，得到下面的表达式：
（4分）
2、由双线性变换法 及可得：

（4分）
十一、(1) 求各对应的数字频率
通带截止频率为
阻带起始频率为
阻带衰减相当于 （2分）
(2) 设为理想线性相位滤波器

首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率(由于为两个肩峰值处的频率的中点，而由到之间的过渡带宽并非两个肩峰值间的频率差，因而以下求出的有一定的近似。)

其对应的数字频率为
由此可得

其中，为线性相位所必须的移位，我们已经知道应满足。 （4分）
(3) 由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带宽确定N。
由于，查表可选汉明窗，其阻带最小衰减满足要求。
所要求的过渡带宽（数字频域）
由于汉明窗过渡带宽满足，所以
N=3 （3分）
(4) 由汉明窗表达式确定FIR滤波器的。
汉明窗

所以
(5) 由求检验各项指标是否满足要求，如不满足要求改变N，或改变窗形状（或两者都改变）来重新计算。 （3分）

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）
课程名称 数字信号处理A
专业班级 电信科0701-02
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
题分
12
12
12
10
10
12
12
10
10

100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、(1)判断系统是否为线性、时不变、因果、稳定系统，说明理由，其中，与分别为系统的输入与输出。（8分）
（2）判定信号周期性；若是周期的，确定它的周期。（4分）
二、已知一因果LTI系统由常系数线性差分方程

描述，试回答下列问题
(1) 当输入为，求系统的输出，并判断系统是否为稳定系统；（8分）
(2) 求系统的单位阶跃响应（即当输入为，系统的输出）。（4分）
三、（1）求序列的Z变换，指出收敛域，画出零极点图，并指出序列的傅里叶变换是否存在。（6分）
（2）求的逆Z变换。（6分）
四、设
令,试求与的周期卷积并作图。（10分）
五、导出N=8时按时间抽取的基2-FFT的算法，并画出流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序）。（10分）

六、画出差分方程表示的离散时间系统的直接I型、直接II型、级联型和并联型的信号流程图。（级联型和并联型只用1阶节） （12分）
七、已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，取样周期，并比较两种方法设计数字滤波器的优缺点。（12分）

八、分别说明窗函数法和频率采样法设计FIR滤波器的原理和步骤， 并说明其优缺点。（10分）

九、对三个正弦信号，，进行理想采样，采样频率为。求三个采样输出序列，比较这三个结果。画出，，的波形及采样点位置，并解释频谱混淆现象。（10分）

24

武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸

课程名称 数字信号处理 （ A 卷）
一、解：(1) 首先判断系统是否是线性系统，假设在和单独输入时的输出分别为和，即：

那么当输入为时，系统的输出为

所以系统是线性系统。 （2分）
下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为，系统的输出

当系统的输入为时，系统的输出

由此可得系统是时不变系统，所以该系统为线性时不变系统。 （2分）
接下来判断系统是否为因果系统，与和有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。 （2分）
最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即

此时输出满足

因此系统为稳定系统。（2分）
(2) ，则为有理数，5和2没有公因子，所以周期；（4分）
二、解：(1) 因为该LTI系统是因果的，且，所以，以此条件作为初始条件，先求出，

再由值及输入推导，并依次推导得…。因而有：

……

故系统的输出为

即
（6分）
由系统的时不变性可知，当输入为，系统的单位脉冲响应为

因为，所以系统是稳定的。（2分）
(2) 单位阶跃响应为输入与的卷积，即
（4分）
三、由z变换的定义，
　　（3分）
若该序列收敛，则要求，即收敛域为：。在原点有一个两阶零点，极点为，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图所示。
由于为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：序列是左边序列（时），只有一个极点，模为，则收敛域是，因为，则收敛域包含。
因为收敛域不包括单位圆，所以傅里叶变换不存在。　　　　　　　　　　（３分）

图的零极点图及收敛域　　　　　　　　
（2）解法一：留数法
从收敛域可以看出，是因果序列，即当时，。

当时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及在围线内的极点和如题2解图(2)所示，因为

题2解图(1) 题2解图(2)

所以

综上，

解法二：部分分式展开法

由于收敛域为，所以
(6分)
四、可以用列表法求解，在一个周期内

和如表所示，

1
2
3
4
5
0

0
0
1
1
1
1
0
14
1
0
0
1
1
1
1
12
2
1
0
0
1
1
1
10
3
1
1
0
0
1
1
8
4
1
1
1
0
0
1
6
5
1
1
1
1
0
0
10
只要将表中对应于某个的一行中的值和第一行中与之对应的值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此的值。如图所示。
…
…

五、

，=
（4分）
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2 ， N / 4
（2分）
（4分）
六、(1) 直接I型根据系数，确定结构。
（3分）
直接I型结构图
(2) 直接II型对直接I型改进，合并延迟单位。
（3分）
直接II型结构图
(3) 级联型：将系统函数写成
（3分）
一阶节级联型结构
(4) 并联型：系统函数写成部分分式形式
（3分）
一阶节并联型结构
七、脉冲响应不变法，双线性不变法，。
(1) 脉冲响应不变法

（4分）
(2) 双线性变换
（4分）
（3）冲激响应不变法的主要优点：时域逼近良好；模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系，即ω=ΩT，一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器；缺点：有频率响应混叠效应，只适应于限带的模拟滤波器。
双线性变换法的主要优点：避免了频率响应的混叠效应；缺点：模拟频率Ω和数字频率ω之间呈非线性关系，即 （C为常数）。（4分）
八、窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的，这样得到的频率响应逼近于理的频率响应。
窗函数法的设计步骤：
(1) 给定希望逼近的频率响应函数；
(2) 求单位脉冲响应；()
(3) 由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度N。
(4) 计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应；

(5) 由求FIR滤波器的频率响应，检验是否满足设计要求。（3分）
窗函数设计的优缺点
优点：窗口设计法简单、方便、实用。
缺点：通带和阻带的截止频率不易控制；若不能用简单的函数表示，则很难求出。（2分）
频率采样法是从频域出发，把给定的理想频响加以等间隔抽样，然后以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值，具体设计流程有2种：
(1)
(2) （3分）
频率抽样法的优缺点
优点：① 可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。
② 特别适用于设计窄带选频滤波器。只有少数几个非零值的，因而设计计算量小。
缺点：采样频率只能等于的整数倍，因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数，但这又使计算量加大。
（2分）
九、采样频率，那么采样周期，对连续信号理想采样可表示为

这样就有

因此采样后输出序列分别为、和。
，，的波形及采样点位置如题1解图所示。

题1解图
由表达式及题1解图中可以看出

那么以采样频率对和采样后，已不能由和恢复。由题意可知，和的最高频率分别为

根据采样定理，采样的结果必然导致频谱混叠，、已不包含、的全部信息，因此无法恢复、。