高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系.doc

同角三角函数的基本关系
【知识梳理】
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α.
【常考题型】
题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值
【例1】　(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
(2)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
[解]　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－，tan α＝＝－.
(2)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
【类题通法】
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．
【对点训练】
已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
题型二、化切求值
【例2】　已知tan α＝3，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
[解]　(1)原式＝＝＝；
(2)原式＝＝＝－；
(3)原式＝＝
＝＝.
【类题通法】
化切求值的方法技巧
(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
【对点训练】
已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2 α.
解：(1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝，
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1.
题型三、化简三角函数式
【例3】　化简tan α，其中α是第二象限角．
[解]　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α
＝tan α＝·
＝·
＝－1.
【类题通法】
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【对点训练】
化简：(1)；
(2) ，θ是第二象限角．
解：(1)＝＝＝cos θ.
(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，
故＝＝＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
题型四、证明简单的三角恒等式
【例4】　求证：＝.
[证明]　法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
【类题通法】
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
【对点训练】
证明：＝
证明：∵左边＝
＝
＝＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
【练习反馈】
1．已知α∈，sin α＝，则cos α等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C．－ D.
解析：选B　∵α∈且sin α＝，
∴cos α＝－＝－＝－.
2．若α为第三象限角，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B　∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.
3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝.
答案：
4．若tan α＝2，则的值为________．
解析：原式＝＝＝＝.
答案：
5．化简： .
解：原式＝
＝
＝＝1.