No.32全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.32高中数学联赛模拟试卷
1、设实数满足方程．则的最大值是_______.
2、方程的正整数解的组数为 。
3、集合的真子集的个数是 。
4、设，若函数关于直线对称，且与有公共点，则的取值范围是 ．
5、已知是定义域在实数集的函数,且，则的值是 ．
6、方程的实根个数是 。
7、 .
8、等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
9、设a,b,c 为实数，使得方程有三个实根。证明，如果，则方程至少有一个根在区间中（俄罗斯）。

10、设，试求整数m，使得（芬兰）。

11、把圆分成个不相等的扇形，并且用红、蓝、黄三种颜色给扇形染色，但不许相邻的扇形有相同的颜色. 问共有多少种染色方法？

12、已知且求的值。

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题1
参考答案
1、1 2、2 3、7 4、 5、 6、0 7、 8、
9、证明：记。设它的3个根为，于是
，注意到P（1）=a+b+c+1，知在题中条件下，有
。这就表明的绝对值不可能都大于1，即其中至少有一个数的绝对值不大于1，不妨设,于是.证毕
10、解:注意,两边求倒数,得
所以
易得,由于数列递增,所以
∴,即.故所求的m=2
11、如图，依次记个扇形为,,,.
显然. 当时，先对染色，有3
种方法；染色后再对染色，有2种方法，
故. 当时，我们依次对,,,
染色. 对染色有3种方法，在染色后
对染色有2种方法，同样地对,,,
分别有2种方法，由乘法原理共有种
染色方法. 但这样做虽然能保证至之间
相邻的扇形之间不同色，与却有可能同色.即在种染色方法中包含了仅与同色的染色方法. 对于与同色的情形，拆去与的边界使与合并，便得到将圆分为个扇形的同色不相邻的染色方法，这样的情况有种. 故. 即，. 所以
.
所以，当时，有3种染色方法；当时，有种染色方法.
12、解法1 由①得，，
由②得
由③得
以上三式相加，得，代入②，得
与①联立，解得.
但，故得，从而可解得.
.
解法2 令.
②-①并因式分解，得，
，同理得.
①+②+③，并配方得
.
则有，即.
解得. 又由①知.
.可解得.

解法3 由余弦定理，得
,
,
.
使我们想到构造三角形:
作,使,在三角形内取点，使.
由余弦定理知，是原方程组的一组解.
将绕点旋转，得，易证共线，则
.
在中，有
.
解法4 借助于三角形面积关系得：
，
.
.
由已知三式相加，得
,
.
又，
.

第- 4 -页 高考数学常用解题方法篇（7）利用两个关系解题