高中数学选修23综合期末试题.doc

选修2—3期末考试试题 (二)

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(　　)

2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(　　)
A．25 B．10 C．9 D．5
3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法有(　　)
A．24种 B．60种C．90种 D．120种
4．(1＋2x2)8的展开式中常数项为(　　)
A．42 B．－42 C．24 D．－24
5．在秋季运动会的开幕式上，鲜花队方阵从左到右共有9列纵队，要求同一列纵队的鲜花颜色要相同，相邻纵队的鲜花颜色不能相同，而且左右各纵队的鲜花颜色要求关于正中间一列呈对称分布．现有4种不同颜色的鲜花可供选择，则鲜花队方阵所有可能的编排方案共有(　　)
A．4×34种 B．49种 C．4×38种 D．45种
6.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

作文成绩
优秀
作文成绩
一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到χ2的值约为9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(　　)
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
7．一个口袋中装有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，第一次摸出1个白球后放回，则再摸出1个白球的概率是(　　)
A. B. C. D.
8．将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有(　　)种
A．A B．AA C．AA D．AA
9．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是(　　)

　①N1(μ1，σ)　②N2(μ2，σ) ③N3(μ3，σ)
　A．μ1最大，σ1最大　　　　 B．μ3最大，σ3最大
C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大
10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是(　　)
A．0.216 B．0.36C．0.432 D．0.648
11．已知随机变量ξ～B，则使P(ξ＝k)取得最大值的k值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
12．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男人，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：
　　　年龄
吸烟量　　　
不超过
40岁
超过
40岁
总计
吸烟量不多
于20支/天
50
15
65
吸烟量多
于20支/天
10
25
35
总计
60
40
100
则有________的把握认为吸烟量与年龄有关．(　　)
A．90% B．99%C．95% D．没有理由
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲参加，但不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有________种．
14．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．

15．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
16.许多因素都会影响贫富状况，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时收集了某个国家50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程为 ＝0.8x＋4.6，斜率的估计等于0.8说明________________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知2n展开式的二项式系数之和比(x＋y)n展开式的所有项系数之和大240.
(1)求n的值；
(2)判断2n展开式中是否存在常数项？并说明理由．
18.(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．
(1)全部投入4个不同的盒子里；
(2)放进4个不同的盒子里，每盒一个；
(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；
(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒．各有多少种不同的放法？
19.(12分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20．(12分)在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了56人，其中女性28人，男性28人，女性中有16人主要的休闲方式是看电视，另外12人主要的休闲方式是运动，男性中有8人主要的休闲方式是看电视，另外20人的主要休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
参考数据：
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.(12分)袋子A和B中都装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p(0<p<1)．
(1)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
(2)若A，B两个袋子中的球的个数之比为1∶2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
22.(12分)2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1 000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图(单位：分)．规定测评成绩在976分以上(包括976分)为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作．这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路Ⅰ或Ⅱ顺利到达的概率都为；走公路Ⅲ顺利到达的概率为，甲、乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．

(1)如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
(2)求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
(3)若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

答案
1．A　题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．
2．C　由题意，由于是有放回地取，故可有如下情况：
若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5个不同的和；
若两次取球为不同号码，则只有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．
3．B　只需从5个位置中选出3个位置安排好C，D，E即可，不同的排法有A＝60种．
4．B　展开式的常数项为C＋2C(－1)5＝－42.
5．A　由题意知，只需安排1,2,3,4,5列纵队即可，对称的一侧按5,4,3,2,1的顺序安排，不同的编排方案共有4×3×3×3×3＝4×34(种)．
6．D　根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
7．C　由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为.
8．C　8展开式的通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝·x，r＝0,1,2，…，8.当为整数时，r＝0,4,8.所以展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有理项插入形成的7个空当中，有A种方法．所以共有AA种排法．
9．D　在正态分布N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1最大．

10.D　甲获胜有两种情况，
一是甲以20获胜，此时p1＝0.62＝0.36，
二是甲以21获胜，此时p2＝C·0.6×0.4×0.6＝0.288，
故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.
11．A　P(ξ＝k)＝Ck9－k＝，验证知C·49－2＝9×48，C·49－3＝21×47，C·49－4＝63×211，C·49－5＝63×29，故当k＝2时，P(ξ＝k)取得最大值．
12．B　χ2＝
≈22.16>6.635.
故有99%的把握认为吸烟量与年龄有关．
13．96
解析：因为特殊元素优先安排，先排甲有3种，那么其余的从剩下的4人中选3名，进行全排列得到A，另一种情况就是没有甲参加，则有A，根据分类加法计数原理，得不同的选择方案共有：3×A＋A＝96种．
14.
解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.
15．0.3
解析：次品件数服从参数为N＝100，M＝10，n＝3的超几何分布，由超几何分布的数学期望公式得E(ξ)＝3×＝0.3.
16．如果受过9年或更少教育的人数每增加1个百分比，那么低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的比例将增加0.8个百分比　大于0
解析：回归方程 ＝0.8x＋4.6是反映这50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)这两个变量的，而0.8是回归直线的斜率，又0.8>0，即b>0，又根据b与r同号的关系知r>0.
17．解：(1)2n展开式的二项式系数之和等于22n.
(x＋y)n展开式的所有项系数之和为2n.
所以22n－2n＝240，所以n＝4.
(2)2n＝8，展开式的通项为
Tr＋1＝C·()8－r·r＝C·x.
令24－5r＝0，r＝，不是自然数，
所以2n展开式中无常数项．

18.解：(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．
(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A种放法．
(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有CC种放法．
(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有CA种不同的放法．
19．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解：(1)依题意得2×2列联表

看电视
运动
合计
男性
8
20
28
女性
16
12
28
合计
24
32
56
(2)由2×2列联表中的数据，知
χ2＝≈4.667，
从而χ2>3.841，故有95%的把握认为性别与休闲方式有关．

21.解：(1)①恰好摸5次停止，即第5次摸到的一定为红球，且前4次中有2次摸到红球，其概率为
P＝C22×＝；
②随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
则P(ξ＝0)＝C5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C23＝；
P(ξ＝3)＝1－＝.
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

E(ξ)＝×1＋＋＝.
(2)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球，由＝，可得p＝.
22．解：(1)根据茎叶图，有“尖端专家”10人，“高级专家”20人，每个人被抽中的概率是＝，
所以用分层抽样的方法，选出的“尖端专家”有10×＝2(人)，“高级专家”有20×＝4(人)．
用事件A表示“至少有一名‘尖端专家’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘尖端专家’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.
因此，至少有一人是“尖端专家”的概率是.
(2)记A＝“汽车甲走公路Ⅰ顺利到达”，B＝“汽车乙走公路Ⅱ顺利到达”，C＝“汽车丙走公路Ⅲ顺利到达”，
则至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率为
P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝××＋××＋××＋××＝.
(3)由茎叶图知，心理专家中的“尖端专家”为7人，核专家中的“尖端专家”为3人，依题意，ξ的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.