湖南省新高考教研&长郡二十校联盟2025届高三第一次预热演练-数学（含答案）.docx

姓
名____________________
准考证号____________________
2025 届新高考教学教研联盟高三第一次预热考试
数学试卷
长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；
澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中； 联合命题
娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；宁乡市一中；浏阳市一中。
由
命题学校：
审题学校：
注意事项：
1
. 答卷前，考生务必将自 己的姓名 、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
. 回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号 。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 。
2
3
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ì
1
ü
þ
{
e},
．已知集合
A = xÎ R
| 2x
<
B = íxÎ R > ý ，则 A∩ B =
1
1
2
î
x
A．{xÎR∣0 < x < log2 e}
B．{xÎR∣0 < x <1}
C．{xÎR∣1< x < log2 e}
D．{xÎR∣x < log2 e}
+¥
+¥
å
å
．已知数列{an}为无穷等比数列，若 ai = -3 ，则
ai 的取值范围为
i=1
i=1
A．{3}
B．[3,+¥)
C．(0, 3]
D．(0,+¥ )
r
r
r
π
π
4
3
4
．空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为 a,b ，则“ a, b = ”是“m与n所成角为”
的
4
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马 P - ABCD 中，若 PA ^平面
4
，且 PA = AB =1，异面直线 PD 与
所成角的余弦值为 ，则
=
ABCD
AC
AD
5
6
3
A．
B．
C．2
π的半圆，则该圆锥的高为
D．3
5
2
5
．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为
数学试题 第1页 （共5页）
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

6
5
3
1
2
A．
B．
C．
D．
2
2
2
x2
y2
2π
3
6
．已知椭圆C :
+
=1 ，左焦点为 F ，在椭圆C 上取三个不同点 P 、Q 、 R ，且ÐPFQ = ÐQFR = ÐRFP =
，则
3
6
27
1
2
3
+
+
的最小值为
FP FQ FR
4
3
4
3
4
3
2 3
9
4
3
3
A． -
B．
-
C．
-
D．
-
3
6
3
9
3
．若 ( )
g x = max 2x -3 ,3- 2x ， h(x)= max{2x + 3 ,3- 2x2}， f (x)= min{g (x),h(x)}，其中 max{x, y, z}表示 x ， y
{
2}
7
z 中的最大者， min{x, y, z}表示 x ， y ， z 中的最小者，下列说法不正确的是
A．函数 f (x)为偶函数
B．当 xÎ[1, 3]时，有 f (x)£ x&
，
é
2 ù é 2
ù
C．不等式 f éë f (x)ùû £1的解集为 ê-1,-
ú U ê
2 û ë 2
,1ú
ë
û
D．当 xÎ[-3,-2]È[2, 3]时，有 f éë f (x)ùû £ f (x)
1
1
2
．⭐️正整数 a,b,cÎ{1, 2,L,100}，且
， a > b > c，满足这样条件的(a,b,c)的组数为
+
=
8
a
c
b
A．60
B．90
C．75
D．86
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
6
分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9
．下列正方体中， A、B、C、M、N为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足 MN / / 平面 ABC 的有
A．
B．
C．
D．
1
0．双曲线C : x2 - y
2
= 4 的左右焦点分别为 F、F ，左右顶点分别为 A、B ，若 P 是右支上一点（与 B 点不重合），如图
1
2
，
过点 P 的直线l 与双曲线C 的左支交于点Q ，与其两条渐近线分别交于 S T 两点，则下列结论中正确的是
、
A． P 到两条渐近线的距离之和为2
B．当直线l 运动时，始终有 QS = TP
C．在VPAB 中， tanÐPAB + tanÐPBA+ 2tanÐAPB = 0
D．VPF F 内切圆半径取值范围为 0,1
1
2
数学试题 第2页 （共5页）
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

1
1．信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择
的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三
个性质：
①
②
③
单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；
非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；
累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.
克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式
n
å
H(X) = -C P log P =1，令C =1，设随机变量 所有取值为 ， ， ，⋯， ，且 P X
(
P
0 i 1,2,3,L,n ，
= i)= i > ( =
)
X
1
2
3
n
i
2
i
i=1
n
å
Pi =1，则下列说法正确的有
i=1
A． n =1时， H (X )= 0
æ
1 ö
B．n = 2时，若 P Î ç0, ÷ ，则 H (X )的值随着 P 的增大而增大
1
1
è
2
ø
1
2n-2
1
2n-1
C．若 P = P =
， P
=
2
P k 2,k N ，则 H (X )= 2-
(
³
Î
)
1
2
k+1
k
D．若 n = 2m ，随机变量Y的所有可能取值为1，2，L， m，且P(Y = j)= P(X = j)+ P(X = 2m +1- j)，( j =1，2，L，m)，则H (X )£ H (Y )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2．已知 ABC 三个内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c，若
1
sin A
，sin B ，sinC 成等比数列，sin(B - A)，
sin A
，
sinC 成等差数列，则C =
.
2
1
3．已知 a,b > 0 ，
+
= 1，则 a + b + a2 + b2 的最小值为
．
1
a
b
1
4．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一
天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和
1
2
下班时下雨的概率均为 ，不下雨的概率均为 ，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，
3
3
他至少有一天淋雨的概率为
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5.（本小题满分 13 分）
行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作
1
a11
a12
为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如
的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：
a21 a22
2
sin x
sin2
x
a11
a12
= a a - a a ，设函数 f (x) =
(xÎR)．
11 22
12 21
cos(x +
π
6
a21 a22
2
)
(1)求 f (x) 的对称轴方程及在[0,p]上的单调递增区间；
uuur 2 uuur 1 uuur
3
3
(2)在锐角△ ABC 中，已知 f (A) = - ， AD = AB + AC ，cosB =
，求 tanÐBAD.
2
3
3
数学试题 第3页 （共5页）
3
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

1
6.（本小题满分 15 分）
一般地，任何一个复数 a +bi （a，bÎR ）可以写成r (cosq + i sinq )，其中r是复数的模，q 是以x轴非负半轴为始边，射
线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在0 £q < 2π 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如 arg1= 0，
π
π
3
arg i = ，arg 1+ 3i = .发现 z × z = r cosq +sinq ×r cosq +sinq = rr éëcos q +q +i sin q +q ùû ，就是说两个
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
2
1
1
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.
考虑如下操作：从写有实数0，1， 3 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.
设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为 zn .
(1)写出一次操作后所有可能的复数；
(2)当n = 2 ，记 zn 的取值为X，求X的分布列；
(3)求
z
2
n
为实数的概率Qn .
1
7.（本小题满分 15 分）
如图，在三棱锥
-
中
AC ^ BC
，平面
^ 平面 ABC ，
=
=
= 2 ，
= 4， E ， F 分别是
，
的中
PB
P
ABC
PAC
PA PC AC
BC
PC
点，记平面
与平面 ABC 的交线为直线l .
AEF
(1)求证：直线 EF ^ 平面 PAC ；
(2)若直线l 上存在一点Q （与 B 都在 AC 的同侧），且直线 PQ 与直线 EF 所成的角为 ，求平面 PBQ 与平面 AEF 所成
π
4
的锐二面角的余弦值.
数学试题 第4页 （共5页）
{
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1
8.（本小题满分 17 分）
已知点 A(x , y )， B(x , y )，定义A，B的“倒影距离”为[A,B]= x - y + x - y ，我们把到两定点 F (-2, 0)， F (2, 0)的
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
“
倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0, 2)的直线与椭圆E交于P，Q两点
（
均异于点D），且 DPQ 的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线 与 PQ 的斜率之积为定值.
OH
1
9.（本小题满分 17 分）
函数 f 的定义域为全体正整数集合
，则称 f ： N+ ®
R或 f (n)， nÎ N+ 为数列，简记为{an}，数列中的每一项即为
N
+
(
£ £ )
a 1 i n .我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭.其
i
1
1
含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下 ，第二天截下 ，第 n 天截
2
2
2
1
ì 1 ü
...不难看出，数列 í ý的通项 随着 n 的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列í ý的极限为0.我们定义
î2n î2n
1
ì 1 ü
下
：
2
n
þ
2
n
þ
设{a }为数列， a 为定数，若对给定的任意正数e ，总存在正整数 N ，使得 n > N 时有 a -a < e ，则称数列{a }收敛
n
n
n
于 a ，定数 a 称为数列{a }的极限，记为 lim a = a .
n
n
®¥
n
Fn
Fn+1
-
(1)已知数列 Fn = F + F (n ³ 3)， F = F =1，证明：当n 不断增大时，
的值会不断趋向于黄金分割比 5 1
.
n-1
n-2
1
2
2
1
2
(2)设数列{a }满足0 < a <1，且 4a (1- a ) >1，证明： lim a =
.
n
n
n+1
n
n
n
®
¥
(3)材料：设an 是个实数列，对任意给定的e >
，若存在 N N+ ，使得凡m,nÎ N
Î
+
，且m,n > N
，都有
a - a < e
，
0
m
n
n
1
å
an =
{ }
{a }
a
则称an 为“柯西列”.问题解决：定义
k
a
，证明：a £1时，
不是“柯西列”，a >1时，
是“柯西列”.
k=1
n
n
数学试题 第5页 （共5页）
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

2
025 届新高考教学教研联盟高三第一次预热考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
C
A
B
C
D
1
．B 2．B 3．A
4
．C【解析】由题意，以 A 为坐标原点， AB, AD, AP所在直线分别为
x, y, z 轴，建系如
PA = AB
=1， 所以 A(0, 0, 0),C(1,a,0),P(0, 0,1),D(0,a,0)，
图，设 AD = a > 0，因为
=
(
)
= (
- )，设异面直线
AC 1,a,0 ,PD 0,a, 1
PD 与 AC 所成角为q ，则
AC ×PD
a
2
4
5
cosq = uuur uuur =
=
，解得a = 2，即 AD = 2.
AC PD
1+ a2 ´ a2 +1
5
．A【【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于
ì
πl = 2πr
ï
扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为 π的半圆，则 í
，解得
1
l ´2πr = π
ï
î
2
2
6
r =
,l =
2
，则该圆锥的高为 h =
l
2
-
r
2
=
.
2
2
6
．B【解析】在椭圆C 中， a = 6，b = 3 3 ，c = 3，如下图所示：椭圆的左准线为
a
2
x = - = -12，以
F
为顶点， x 轴的正方向为q 始边的方向， FP
c
π
为角q 的终边，当0 <q < 时，过点 作 PN ^ l ，过点
作
P
F
2
FM PN ，垂足分别为点 N 、 M ，易知四边形 EFMN 为矩形，
a
2
则
MN = EF
=
-c = - = ，由椭圆第二定义可得
12 3
9
c
PF
1
=
e = ，则
PN = 2 PF
，又因为
PN//x 轴，则ÐFPN =q ，
PN
2
PM
PF
所以，cosq =
，所以， PM = PF cosq ，因为 PN = PM + MN ，即 2 PF = PF cos q +9 ，所以，
9
9
9
=
FQ
PF =
，同理可知，当q 为任意角时，等式 PF =
仍然成立，同理可得
2π ö ，
æ
-cosq
2 -cosq
2
- cosçq +
÷
2
è
3 ø
æ
è
9
2π ö
æ
è
9
4πö
9
-
q +
-3cosçq +
4
2cosç
÷
6
÷
FR =
，
因此， 1
2
3
2
-cosq
9
æ
4π ö
3 ø
3
ø
3
ø
2
-cosçq +
÷
+
+
=
+
+
è
FP FQ FR
ö
1 é
æ
è
2π ö
3 ø
æ
è
4π ö ù
3 ø û
4
3
1æ
3
3 3
4
3
=
=
-
êcosq +2cosçq + ÷ +3cosçq + ÷ ú=
-
çcosq -cosq + 3sinq - cosq -
sinq ÷
ç
÷
9 ë
9è
2
2
ø
ö
4
1 æ
3
3
4
3
3
æ
è
π ö
1
2
3
4
3
+
ç
sinq + cosq ÷ =
+
sin çq + ÷ ，故
+
+
的最小值为
.
-
ç
÷
3
9 è 2
2
9
3 ø
FP FQ FR
3
9
ø
ì
2x -3 , x 0或x 1
7
．C【解析】若
2
x -3 = 3- 2x2 ，解得 x = 0 或 x =1，结合二次函数和一次函数知 g(x)= í
，
3-2x2,0 £ x £1
î
若 2x + 3 = 3- 2x2 ，解得 = 或 x = -1，结合二次函数和一次函数知
x
0
ì
2x + 3 , x < -1
ì
2x +3 , x -1或x 0
ï
(
)= í
，所以 f (x)= min g (x),h(x) = í -
{
}
3 2x2 , 1 x £1，
- £
h x
3-2x2,-1£ x £ 0
î
ï
2x -3 , x >1
î
画出 f (x)的图象，如图：结合图象及 f (-x)= f (x)知 f (x)为偶函数，故选项A
数学参考答案）-1
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

正确；当 xÎ[1, 3]时，
+ £ ，即
4x 3
+ £ ，所以
3x2 12x 9
+ £ ，所以 2x -3 < x ，所以
4x2 12x 9
x
2
-
0
-
0
-
x
2
(
) £
( ) =
( )£1，当t < -1
+
£
f x x 成立，故选项B正确；对于C，令 f x t ，则 f t
时， 2t
3
1，解得-2 £ t < -1，当
-
1£ t £1时，3- £1，解得t £ -1或t ³1，又 -1£ t £1，所以t = ±1，当t >1时， 2t - 3 £ 1，解得1< t £ 2，
2t
2
综上1£ t £ 2，故1£ f (x) £ 2，当 x < -1时，1£ 2x + 3 £ 2，解得 -2.5 £ x £ -2 ，当 -1£ x £1时，
2
2
£ 3- 2x2
£ 2，解得
£
x 1
£ 或- £ £ -
1 t
，当 x >1时，1£ 2x -3 £ 2 ，解得 2 £ x £ 2.5，综上，不等式
1
2
2
é
2 ù é 2
ù
é
( )ù £ 的解集为 xÎ ê-1,-
f ë f x û
1
ú U ê
,1ú U[2, 2.5]U[-2.5,-2]，故 错误；对于 ，当 xÎ[2, 3]，令
C
D
2 û ë 2
ë
û
( )= - Î[ ]，结合偶函数的性质，当 xÎ[-3,-2]È[2, 3]时， m = f (x)Î[1, 3]，则 f é f (x)ù £ f (x)
m
=
f x 2x 3 1,3
ë
û
等价于 f (m)- m £ 0 ，结合选项B，当 xÎ[-3,-2]È[2, 3]时，有 f éë f (x)ùû £ f (x)成立，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
题号
答案
9
10
BC
11
ABC
ACD
9
．ACD
x
2
y
2
y
=
x 与 y
= -x ，设点
= 1，故两个渐近线方程分别为
1
0．BC【解析】由题可知双曲线的标准方程为C:
-
4
4
|
x - y |
P
(
)
>
¹
(
)
=
P x , y 由题可知 xP 0， yP 0，所以点 P x , y 到两个渐近线的距离分别为 d1
P ，
P
P
P
P
2
|
x + y |
xP - y
xP + y
xP2 - y2
| x - y | | x + y |
d2 =
P
P
，由于 x2 - y2 = 4，故
P = 故d + d =
P
P
+
P
P
，若
d1d
2
=
P
P =
2
P
P
1
2
2
2
2
2
2
2
d + d = 2，则 d ,d 是方程
= 0的两个实数根，显然该方程无解，不符合题意，故故选项A错误；
x2
-
2x
+
2
1
2
1
2
设点 S (x , y )， T (x , y )， Q(x , y )， P(x , y )显然直线l 的斜率存在，设直线l:y = kx + m ，联立方程
S
S
T
T
Q
Q
P
P
x
2
y
2
2km
(
)
l:y = kx + m ，C:
-
= 1，得 1- k
2
x
2
- 2kmx - m2 - 4 = 0，所以 x + x =
，
P
Q
1-
2
4
4
k
m
m
-1- k
直线l:y = kx + m 分别与渐近线 y = x 与 y = -x 联立得 xT =
，
,xS =
1-
k
m
m
2km
得 x + x =
+
=
，所以有 x + x = x + x ，即 x - x = x - x ，
T
S
1-
-1- k 1 k
-
2
T
S
P
Q
S
Q
P
T
k
由题可知，| QS |=
+
2
-
，|TP |=
+
2
-
，所以|QS |=|TP | ，故选项B正确；
1 k | x x |
1 k | x x |
S
Q
P
T
yP
xP + 2
不妨设 P(x , y ), x > 2 ， y > 0， 由题可知， A(-2,0) ， B(2, 0)，所以有 tan ÐPAB =
，
P
P
P
P
yP
xP - 2
ÐPAB
+
ÐPBA
tan
tan
tan ÐPBA = -
tan ÐAPB = - tan(ÐPAB + ÐPBA)= -
，
，
1- tan ÐPAB×tan ÐPBA
yP
- yP
- y2
P
-y2
P
tanÐPAB × tanÐPBA =
´
=
，由题可知， -y2 = 4 - x2 ，故 tanÐPAB × tanÐPBA =
= -1
xP + 2 xP - 2
x
P
2
- 4
P
P
x
2
- 4
P
tan ÐPAB + tan ÐPBA
- tan ÐPAB×tan ÐPBA
tan ÐPAB + tan ÐPBA
所以 tan ÐAPB =
= -
，整理得 tanÐPAB + tanÐPBA+ 2tanÐAPB = 0
1
2
2
S
VPF1F2
，故选项C正确；由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径r =
，
|
PF | +| PF | +| F F |
1
2
1
2
1
易知|
=
， SVPF1F2
=
F F y = 2 2 y ，
F F | 4 2
1
2
2
1
2
P
P
4
2 yP
r =
(xP
)
2
， PF = (x - 2 2 ) + y
2
，得
，
PF
=
+
2 2
+
y
2
P
2
P
(
)2 +
xP + 2 2 y2
(
)2 +
1
2
P
+
xP -2 2
y2 4 2
+
P
P
4
2 | yP |
2xP - 2+ 4 2
2 | yP |
xP + 2
4
y2
4x2
-16
x
-
2
æ
4
ö
因为 xP2 - yP2 = 4，得 r =
=
，所以
2 =
2 =
2 = 4×
=
-
，
r
P
P
P
4ç1
÷
(xP + 2) (xP + 2)
xP + 2
xP + 2 ø
2
xP
+ 2+
è
数学参考答案）-2
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

æ
ö
4
因为 x > 2 ，所以 x + 2 > 4，所以 r2 = 4ç1-
÷Î(0,4)， r Î(0,2)，故选项D错误．
P
P
xP + 2 ø
è
1
1．ABC【解析】对于 A ：若 n =1,则i =1,P =1,因此 H (x)= -(1´log 1)= 0,A正确;
1
2
æ
è
1 ö
对于 B ：当 n = 2 时, P Îç0, ÷, H (x)= -Plog P -(1- P )log (1- P )，令 ( )
æ
è
1 ö
，则
2 ø
f
t
= -tlog t - 1-t
(
)log2 (1-t)
,t Îç0,
÷
1
1
2
1
1
2
1
2
2
ø
æ
è
1
ö
ø
æ
1 ö
¢
(t)= -log2t
+
( - ) =
-
0 f t
> ，即函数 ( )在
上单调递增 所以 ( )的值随着 的增大而增
f
log 1 t log ç 1÷
ç0, ÷
,
H x
P
1
2
2
t
è
2
ø
1
2n-1
2k-2
2n-1
1
大, 正确;对于C ： P = P =
, P = 2P (k ³ 2,k Î N)，则 P = P ´ 2k-2
=
=
,k ³ 2 ，
B
1
2
k+1
k
k
2
2n-k+1
1
1
n - k +1
2n-k+1
1
2n-1
2
1
n -1
2n-1
P log P =
log2
= -
,，而 Plog P =
log
= -
，
k
2
k
2n-k+1
2n-k+1
1
2
1
2 2n-1
n -1 å
n
2
k
n -1 n -1 n - 2
1
n -1
n
n
n -1 n - 2
2
22
1
2
于是 H (x) =
+
P log P =
k
+
+
+ ...+
+
=
-
+
+
+
+L+
+
n-
1
2n-1
2n-1
2n-2
2
2n-1
2n 2n
2n-1
2n-2
2
2
2
k=2
1
1
2
3
n- 1
n
2n+ 1
1
2
2
3
n -1
2n-1
n
令
=
+
+
+L+
+
，则 S
=
+
+
+L
+
+
，
Sn
2
2
2
3
2
n
2
n
22
23
24
2n
1
æ
1 ö
1-
ç
÷
n + 2
2n
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
n
n
2
n+ 1
2 è
2
n
ø
n
2
n+ 1
n+ 2
2
n+ 1
两式相减得
，因此 Sn = 2 -
,
Sn
=
+
+
+L
+
-
=
-
=1
-
1
1
-
2
n -1
2n-1 2n
n
n -1
n
2n
n + 2
2n
1
2n-
(
) =
-
+
=
-
+ 2 -
= 2 -
，C正确；
H x
Sn
2n-
1
2
对于 ,若 n =
2m ，随机变量Y
的所有可能的取值为1, 2,L,m
，
D
且 P(Y = j)= P(X = j)+ P(X = 2m+1- j),( j =1, 2,¼,m),
2m
2m
1
å
å
1
2 P
1
1
1
1
H(x) = - P log P = Pi log2 = P1log + P2log2 P +L+ P2m-1log2 P + P2mlog2 P
i
2
i
P
i
i=1
i=1
2
2m-1
2m
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+L+
+ P log2
2m
H (Y )= (P1 + P2m )log2
+(P2 + P2m-1 )log2
+L+(Pm + Pm+1 )log2
P1log2
P2log2
P2m-1log2
P1 + P
P2 + P
Pm + P
P1 + P
P2 + P
P2 + P
P1 + P
2m
2m
2m-1
m+1
2m
2m-1
2m-1
1
1
1
1
由于 Pi > 0(i =1, 2,L,2m),即有
>
,则log2 > log2
,
P
i
Pi + P
2m+1-i
P
i
Pi + P
2m+1-i
1
1
因此 Pilog2 > Pilog2
,所以 H (X )> H (Y ), D 错误.
P
i
P
i
+
P
2m+1-i
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
π
1
1
2．
2
2(a + 2b)
a +b - (a2 +b2 )(16
2(a + 2b)
4a 3b
2
1
=
³
=10
3．10【解析】由
+
= 1,得ab = a + 2b, 所以
2
ab
a2 + b2
2(a + 2b)
a2 + b2
a + b +
a
2
+ b2
=
=
9
25
a + b -
a + b -
+
)
a
+b -(
+
)
a
b
25
5
5
当且仅当3a = 4b ,即 a = 0，b = 时,等号成立,故a + b +
1
5
的最小值为10.
a2 b2
4． 【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”.连续上班两天，上班、下班的次数共4次.（1
+
3
2
28
1
81
æ
è
2
ö4
16
81
）
次均不下雨，概率为：
=
.（2）有 次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：
4
1
ç
÷
3 ø
3
1
æ
2
ö
16
2
´ ´ç ÷ =
.（3）有 2 次下雨但不被淋雨，共3种情况：①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下
3
è 3 ø 81
班时不下雨，③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，概率为：
æ
1 ö2 æ 2 ö2
3 ø è 3 ø
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
16
81
.（4）有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：
2
´ç
÷
´ç
÷
+
´
´
´
+
´
´
´
=
è
3
æ
è
1
ö
æ 2 ö
4
æ
è
ö
1
1
´ç ÷ ´ç ÷ = .（5） 4 次均下雨：ç ÷ = .两天都不淋雨的概率为：16 16 16
4
1
53 ，至少有一天淋雨的概率
81 81 81 81 81 81
2
3ø 81
3 ø è 3 ø 81
为： 53 28 .
1
81
81
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学参考答案）-3
{
#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}

p
3
1
1
5．（1） f (x) = 2sin xcos(x + ) -2sin 2x = 2sin x( cos x - sin x )- 2sin
2
x
6
2
2
3
3
3
p
3
=
sin 2x -3sin2 x =
sin 2x - (1-cos 2x) = 3 sin(2x + ) - ，
2
2
2
3
2
π
3
π
2
π
k
π
k
由2x +
=
+ kπ,k ÎZ ，得 x =
+
π,k ÎZ ，所以 f (x) 的对称轴为 x =
+
π(k ÎZ) .
12
2
12
2
π
π
3
π
2
é 5π
ë 12
π
ù
由- + 2kπ < 2x +
<
+ 2kπ,k ÎZ ，解得 xÎ ê- + kπ, + kπ ,k Î Z ，
ú
2
12
û
é
ë
π ù é 7π
12û ë12
ù
û
又 xÎ[0, π]，所以单调递增区间为 0，
，
,π .
ê
ú ê
ú
p
3
3
π
π
3
π
3
π
3
4π
3
（
2）由（1）知， f (A) = 3 sin(2A