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第5课时 万有引力定律及其应用
基础知识回顾
1．开普勒三定律
1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在 相等的时间内扫过相等的面积。
3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动。
2．万有引力定律
1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟他们之间的距离的二次方成反比。
2）公式： F= ，
其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，叫引力常量。
3）适用条件：仅仅适用于质点或可以看作质点的物体。相距较远（相对于物体自身的尺寸）的物体和质量均匀分布的球体可以看作质点，此时，式中的r指两质点间的距离或球心间的距离。
3．万有引力定律的应用
！）由得，所以R越大，υ越小；
2）由得，所以R越大，ω越小；
3）由得，所以R越大，T越大；
4）模型总结：（1）当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。
（2）同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度均相等。
（3）这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用。
重点难点例析
一、万有引力与重力
1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）．
图4-5-1
2．天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
同样可以推得在天体表面h重力加速度
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．
【例1】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）
【解析】根据单摆周期公式有：
由万有引力公式得：
联立解得：
【答案】
【点拨】重力加速度与物体所处高度、纬度有关，同时注意单摆的振动周期与重力加速度有关。
l 拓展
火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
【解析】考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = = 0.4，故B正确。
【答案】B
二、估算天体的质量和密度
把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据
得：
因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
又由ρ=
可以求出中心星体的密度
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
【解析】根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
=7.2×1022kg.
根据密度公式有
【答案】3.26×103kg/m3.
【点拨】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．
l 拓展
继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为.试计算土星的质量和平均密度。
【解析】设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.
由题意
所以：．
又
得：
【答案】
三、万有引力定律及其应用
² 易错门诊
【例3】从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为：
设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB，则：
由得，所以。
又，所以
【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
由得，，
所以
可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。
【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
A：
B：
/得：，∴
根据，可知：
【点悟】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。
课堂自主训练
4-5-2
1．如图4-5-2所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：
2．地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是一种性质的力—万有引力。地球表面物体的重力加速度为，月球受到地球的吸引力产生的绕地球运动的向心加速度有为多大？月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度是多大？(已知月球中心到地球中心的距离为地球半径的60倍，地球的质量约为月球质量的81倍，月球的半径约为地球半径的0.27倍)
【解析】根据万有引力定律，宇宙间任何两个物体间都存在万有引力，地球表面的物体受到地球的引力产生的加速度为g，设地球质量为M，月球的质量为，地球的半径为R，月球的半径为r。
以地球表面的物体为研究对象， ①，
加速度： ②
研究月球受到地球的引力产生的加速度： ③
④
设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度为，则：
⑤ 解得：。
【答案】1.63m/s2.
4-5-3
3．天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。已知双星的质量分别为和，相距为r，它们分别绕连线上的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。
【解析】首先建立双星系统的运动模型如图4-5-3所示。由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到。
设到O的距离为x，到O的距离为r-x，则： ①
②
联立二式解得：
③
因此速度分别为： ④， ⑤
【答案】；。
课后创新演练
1．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是（ BC ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的
2.对于万有引力定律公式中的r，下列说法正确的是（AC）
A．对卫星而言，是指轨道半径
B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个质量分布均匀的球体而言，是两球心之间的距离
D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
3．A、B是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星，若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径，则卫星A和B的（ＡＣ）
A．加速度大小之比是4∶1
B．周期之比是
C．线速度大小之比是
D．向心力之比是1∶1
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（AD）
Ａ．T＝2π B．T＝2π
C．T＝ Ｄ．T＝
5．（南京市调研性测试）银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ D ）
A． B．
C． D．
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时（AC）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大
D．探测器飞行的速率将变小
7．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g．则飞船在上述圆轨道上运行的动能（B）
A．等于B．小于
C．大于 D．等于
8．在某个星球表面以初速度v竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为H，已知该星球的直径为D，那么环绕这个星球做匀速圆周运动的最大速度是。
4-5-4
9．如图4-5-4所示。地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R，运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当 行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
【解析】由题意可得行星的轨道半径r为：
①
设行星绕太阳的运转周期为，由开普勒第三定律有： ②
设行星最初处于最佳观察期时，其位置超前与地球，且设经时间t地球转过角后该行星再次处于最佳观察期。则行星转过的角度为： ③
于是有： ④
⑤
解①②③④⑤可得： ⑥
若行星最初处于最佳观察期时，其位置滞后与地球，同理可得：
⑦
【答案】
10．空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已
知万有引力恒量是，求此行
4-5-5
星的密度。
【解析】要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图4-5-5所示，由题意知行星自转的周期为6h。
设行星的质量为M，半径为R，平均密度为，则，两极的重力为物体受到的万有引力，m是一个假定的物体的质量。
物体在赤道随行星自转的向心力为：
①
弹簧测力计的读数为由题意得到：
②
③
而 ④
⑤
代入数据得到：。
【答案】。
第6课时 人造卫星 宇宙航行
基础知识回顾
1．三种宇宙速度
⑴第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km／s，人造卫星的最小发射速度，人造卫星的最大环绕速度；
⑵第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2km／s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
⑶第三宇宙速度逃逸速度）v3=16.7km／s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
2．天体运动模型——人造地球卫星
1）处理方法：将卫星的运动视作匀速圆周运动。
2）动力学特征：由万有引力提供向心力，且轨道平面的圆心必与地球的地心重合。
3）基本规律：
4）重力加速度与向心加速度（不含随地球表面自转的向心加速度）的关系：
（1）因，故
（2）（R为地球半径，r为轨道半径，g为地球表面的重力加速度）
5）两种特殊卫星
（1）近地卫星：沿半径约为地球半径的轨道运行的地球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度。
（2）同步卫星：运行时相对地面静止，T=24h；同步卫星只有一条运行轨道，它一定位于赤道正上方，且距离地面高度约为h≈3.6×104km，运行时的速率υ≈3.1km/s。
6）卫星系统中的超重和失重
（1）卫星进入轨道前的加速过程，卫星内的物体处于超重状态、
（2）卫星进入园形轨道正常运行时，卫星内的物体处于完全失重状态。
（3）在回收卫星的过程中，卫星内的物体处于失重状态。
重点难点例析
一、同步卫星问题
同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步．
图4-6-1
因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．
【例1】已知地球半径R=6.4×106m，地球质量M=6.0×1024kg，地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9×103m/s。若发射一颗地球同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
【解析】设同步卫星的质量m，离地高度h，速度为v，周期为T（等于地球自转周期）
方法一：
解得：
方法二：若认为同步卫星在地面上的重力等于地球的万有引力，有
解联立方程得：
方法三：根据第一宇宙速度v1，有
解得：
【答案】同步卫星的高度为3.56×107m，速度是3.1×103m/s。
【点拨】根据万有引力提供向心力列式求解，是解决此类问题的基本思路。在本题中又可以用地面重力加速度、第一宇宙速度这些已知量做相应代换。
本题计算得到的同步卫星运行速度为3.1×103m/s，比第一宇宙速度v1=7.9×103m/s小得多。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，同步卫星是在高空中做匀速圆周运动，它的速度小于第一宇宙速度。同步卫星发射时的速度大于第一宇宙速度，一开始做大椭圆轨道运动，随后在高空中进行调整最后进入同步轨道做匀速圆周运动，速度比第一宇宙速度小。
l 拓展
我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断中正确的是（ ）
A．飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B．飞船的动能小于同步卫星的动能
C．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D．发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
【解析】同步卫星的运转周期为24h，
飞船的周期约为90min
由
（设地球质量为M2）
那么
G、M都一定,那么T就和R有关,T相对大的 R相对大,那么同步卫星的R大，
由
那么R越大F向越小
根据万有引力定律得：
，
可见轨道半径小的，线速度小，动能小。
【答案】ABD
二、能量问题及变轨道问题
只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.
如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．
发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．
【例2】2003 年10 月15 日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21 小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的A
B
图4-6-2
一个焦点是地球的球心，如图4-6-2所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A 点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（ ）
①飞船的速度逐渐增大
②飞船的速度逐渐减小
③飞船的机械能EA=EB
④飞船的机械能EA < EB
A．② ④ B．② ③
C．① ④ D．① ③
【解析】在飞船作椭圆运动的过程中，只有万有引力作用，飞船绕地球转动机械能守恒，所以，③是正确的．从A点到B点万有引力做负功，动能变小，重力势能增大．所以，从A点到B点的过程中飞船的速度逐渐减小，②是正确的．
【答案】B
【点拨】把握天体运动的特点是解决此题的关键。
l 拓展
设一号飞船在离地h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ek，重力势能为Ep，二号飞船在离地2h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ekˊ，重力势能为Epˊ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是：
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ
C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep’
【解析】根据万有引力提供向心力，则有：
解得：
而，∴A错
飞船由h处变轨到2h处需有外力对飞船做正功，所以，当飞船在2h处飞行时的机械能大于在h处飞行时的机械能。故BD错。
【答案】C
三、星球的自转问题
根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
【例3】地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）
A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3
C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
【解析】放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
设地球自转的角速度为，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度
线速度
向心力
向心加速度．
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星相比
【答案】D
四、三种宇宙速度的应用
4-6-3
² 易错门诊
右图4-6-3是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
【错解】AC
【错因】没有清楚第三宇宙速度的含义
【正解】第三宇宙速度是指卫星脱离太阳的吸引，进入太空的最小速度；在绕月轨道上，由万有引力定律和牛顿运动定律得，卫星受到月球的万有引力与它到月球中心的距离平方成反比，卫星质量m会约掉，所以卫星的周期与卫星的质量无关；在绕月轨道上，卫星的加速度指向月球球心，由牛顿第二定律知月球对卫星的吸引力大于地球对卫星的吸引力。故只选C
【点悟】卫星绕地球或月球运动，以及卫星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径近似为地球、月球以及太阳的半径。且都是万有引力提供向心力。
课堂自主训练
1．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的．不计其它星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为（CD）
A． B．
C． D．
【解析】根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力，则有：
，
解得星球的第一宇宙速度：
又，v2=
∴有
【答案】C
2．我国发射过一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量为地球质量的1/80，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
【解析】根据万有引力提供向心力，则有：
即：
代入数据解得
【答案】B
课后创新演
1,3,5
1．关于人造地球卫星和宇宙飞船，下列说法中正确的是 （ABD ）
A．若已知人造地球卫星的轨道半径和它的周期，利用引力常量，就可以算出地球质量
B．两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不论它们的质量、形状是否相同，它们的绕行半径和绕行周期一定是相同的
C．两颗人造卫星一前一后在同一轨道上沿同一方向绕行，若要后一卫星追上前面卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可
D．在绕地球飞行的宇宙飞船中，若宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，此飞船的速率不会因质量减小而改变
2．我们知道，人造地球卫星在地球引力作用下做匀速圆周运动，如果环绕速度为v，则当卫星速度达到v时将会脱离地球引力的束缚．现在点电荷一Q的电场中，质子以某一速率围绕一Q做匀速圆周运动．当该质子再获得Eo的动能时即可逃脱此电场束缚．现若改为α粒子在该轨道上围绕一Q做匀速圆周运动，那么，α粒子要从该位置逃脱此电场束缚，还需要的动能至少为 ( C )
A．Eo／4 B．Eo／2
C．2Eo D．4Eo
3．设月球表面的重力加速度为a，月球半径为R，并能在月球表面上发射月球“卫星”，则以下说法中正确的是(已知万有引力常量为G) ( BC )
A．月球的平均密度为a/4πG
B．月球的质量为aR2/G
C．月球“卫星”的发射速度不小于
D．月球“卫星”正常运行时的线速度不小于
4．2004年9月18日，欧盟和中国草签了中国参与伽利略项目的协议，这标志着欧洲和我们都将拥有自己的卫星导航定位系统．伽利略系统将由27颗运行卫星和3颗预备卫星组成，可以覆盖全球，预计于2008年投入使用．卫星的轨道高度为km，倾角为560，当某颗工作卫星出现故障时，预备卫星可及时顶替工作．若某颗预备卫星处于略低于工作卫星的轨道上，以下说法中正确的是 (C)
A．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
B．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
C．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向后喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上加速
D．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向前喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上减速
5．地球赤道上的某城市N想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光反射到地球上，使这座城市在午夜有“日出”时的效果．若此时的N城正是盛夏季节，地球的半径为R，其自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求：
(1)地球同步卫星离地心的距离；
(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差；
(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角．
【解析】（1）
联立得
（2）如图4-6-4，卫星所在经线在平面上投影为OA，N城所在经线在平面上投影为ON，则：
O
α
θ
4-6-4
就是卫星经度与N城的经度差。
（3）用过赤道平面去截地球与卫星得到图示4-6-4平面图。设A处为卫星，AP为平面镜。水平入射光线MA，经反射后反射光线AN与地球相切，N城才有午夜“日出”时的效果，所以∠MAN为直角。卫星所在经线在平面上投影为OA。N城所在经线在平面上投影为ON，，由反射定律可得∠NAP=450。，即平面镜与卫星所在经度平面的夹角为：
。
6．“嫦娥一号”探月卫星与稍早前日本的“月亮女神号”探月卫星不同，“嫦娥一号”卫星是在绕月球极地轨道上运动，加上月球的自转，因而“嫦娥一号”卫星能探测到整个月球表面。12月11日“嫦娥一号”卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测，并获得了月球背面部分区域的影像图。卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为TM；月球绕地公转的周期为TE，半径为R0。地球半径为RE，月球半径为RM。试解答下列问题：
4-6-5
（1）若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，试求月球与地球质量比
（2）当绕月极地轨道的平面与月球绕地公转的轨道平面垂直，也与地心到月心的连线垂直（如图4-6-5所示）。此时探月卫星向地球发送所拍摄的照片。此照片由探月卫星传送到地球最少需要多少时间？已知光速为C
【解析】（1）由牛顿第二定律，
F向man=
万有引力定律公式为：F引
月球绕地球公转时由万有引力提供向心力，故
同理探月卫星绕月有：
由①②联立解得
（2）设探月级地卫星以地心距离为L0，则卫星到地面的最短距离为L0-RE，由几何知识知
故将照片发回地面的时间
A
B
O
4-6-6
7．黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的点O做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-6-6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T0
（1）可见星A所受暗星的B引力FA等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力。设A和B的质量分别为m1、m2，试求m/（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）演化到末期，如果其质量大小太阳质量m0的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星的速率为2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6 m0，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
(G＝6.67×10-11N.m2/kg2, m0=2.0×1030kg)
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω，由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为r，又r= r1+r2，由上述各式得
①
由万有引力定律有
将①式代入得
令
②
（2）第二定律有 ③
又可见星A的轨道半径 ④
由②③④解得 ⑤
（3）将m1=6 m0代入⑤式得
代入数据得 ⑥
设m2=n m0（n>0），将其代入⑥式，得
⑦
可见的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必而在于2倍的m0，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
8．图示4-6-7是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．“嫦娥一号”进入月球轨道后，在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
（1）若已知月球半径为R月，月球表面的重力加速度为g月，则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？
（2）若已知R月=R地，g月=g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
【解析】（1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T，根据牛顿第二定律得
G= mg月
G= m（R月+h）
解得T=
4-6-7
中段轨道修正误差
发
射
进入奔月轨道
进入月球轨道
制动开始
（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有mg=，v=
由v=知，=
将R月=R地，g月=g地代入计算，可知
（≈0.2）
即近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
（0.2）倍
本章知识网络
水平方向：匀速运动vx=v0，x=v0t，ax=0
平抛运动 竖直方向：自由落体运动vy-gt，y=gt3/2，ay=g
基本物理量及公式
合运动：，，ay=g
线速度：
角速度：
圆周运动
周期：
线速度和角速度的关系：
曲线运动、万有引力
向心加速度：
向心力：
匀速圆周运动：速率、角速度不变，速度、加速度、合外力大小不变，方向时刻变化，合外力就是向心力，它只改变速度方向
非匀速圆周运动：合外力一般不等于向心力，它不仅要改变物体的速度大小（切向分力），还要改变速度方向（向心力）
万有引力定律
定律内容
定律的应用
引力常量的测定
计算天体的质量和密度
研究人造卫星
人造地球卫星的运动学方程
人造地球卫星的环绕速度
地球同步卫星
研究星球表面的重力加速度的变化
发现未知天体
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