高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解

一、选择题
1．(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
[答案]　B
[解析]　∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.
[点评]　可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．
由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1.
(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在(　　)
A．直线x＋y－2＝0的左下方
B．直线x＋y－2＝0的右上方
C．直线x＋2y－2＝0的右上方
D．直线x＋2y－2＝0的左下方
[答案]　A
[解析]　∵2m＋2n≥2，由条件2m＋2n<4知，
2<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.
2．(文)(09·安徽)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A.　 　　 B.　 　　
C.　 　　 D.
[答案]　C
[解析]　平面区域如图．解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
(理)(2010·重庆市南开中学)不等式组所围成的平面区域的面积为(　　)
A．3 B．6
C．6 D．3
[答案]　D
[解析]　不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)
∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC

＝×2×4－×2×1＝3.
3．(文)(2010·西安中学)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
[答案]　B
[解析]　在坐标系中画出约束条件所表示的可行域为图中△ABC，其中A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z＝2x＋y在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.
(理)(2010·哈师大附中模考)已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是(　　)
A．－1，－3 B．1，－3
C．3，－1 D．3,1
[答案]　B
[解析]　当直线y＝x－z经过点C(1,0)时，zmax＝1，当直线y＝x－z经过点B(－1,2)时，zmin＝－3.

4．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(　　)
A．95 B．91
C．88 D．75
[答案]　B
[解析]　由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；

y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
5．(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是(　　)
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
[答案]　D
[解析]　设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
由题意得，
获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，

由，解得A(3,4)．
∵－3<－<－，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.
6．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≥1 B．a≤－1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1
[答案]　C
[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.

(理)(2010·寿光现代中学)已知变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．4
[答案]　C
[解析]　由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.

7．(2010·广东五校)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,1)
[答案]　B
[解析]　由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．
8．(文)(2010·厦门一中)已知x、y满足不等式组，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝(　　)
A．0 B.
C. D．1
[答案]　B
[解析]　依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．

由得A(a，a)，
由得B(1,1)，
∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝.
(理)已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)
A．7 B．5
C．4 D．3
[答案]　B
[解析]　画出x，y满足条件的可行域如图所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．

由，
解得，
即点A的坐标为.
将点A的坐标代入x－y＝－1，得－＝－1，即m＝5.故选B.
二、填空题
9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．
[答案]　2
[解析]　可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点A(1,0)时，z取最大值，zmax＝2.

10．(2010·四川广元市质检)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
[答案]　116
[解析]　设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，
∵－<－，∴当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，y∈N，
∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
11．(文)(2010·淮南一中)已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．
[答案]　
[解析]　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为.

(理)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，点P(a，b)为平面区域内任意一点，则的取值范围是________．

[答案]　
[解析]　∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于x＋y＝0对称，∴y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1，而圆心在直线x＋y＝0上，∴－＋＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而表示点P(a，b)与点(1，－1)连线的斜率，
∴kmax＝＝－，kmin＝－1，
∴所求取值范围为.
12．若由不等式组(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.

[答案]　－
[解析]　根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，
∴OA为外接圆的直径，
∴直线x＝my＋n与x－y＝0垂直，
∴×＝－1，即m＝－.
三、解答题
13．(2010·辽宁锦州)若x、y满足条件，求z＝x＋2y的最小值，并求出相应的x、y值．
[解析]　根据条件作出可行域如图所示，

解方程组，得A(－2,2)．
再作直线l：x＋2y＝0，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，z取得最小值2，此时x＝－2，y＝2.
14．(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？

工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
[解析]　(1)依题意得，
解得，
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
，且z＝0.65x＋0.4y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线b：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组，得x＝2，y＝3.
故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5

含详解答案