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教你解好中考数学压轴题———解题方法指导
数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题，在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。
一、把好审题关
综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性，杂审题思考中，要把握好解题结果的终极目标和每一步骤分享目标；提高概念把握的准确性和预算的准确性；注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实快中有慢，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。
二、思路清晰，思维严谨
综合题具有知识容量大，解题审题时应考虑多种解题思路，注意思路的选择和运算方法的选择，注意数学思想方法的运用。
（1） 把抽象问题具体化：包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表，即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。
（2） 把复杂问题简单化：把综合问题分解为与各相关知识性联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。
三、提高转化能力
解好数学综合题必须具备：
（1） 语言转换能力：每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。
（2） 概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。
（3） 数形转换能力：解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路。
四、在探索中固本，在探索中求新
数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想在数学综合题中得到充分体现，在综合性试题中成为支撑试题的核心。充分利用几何图形的位置、形状和大小变化，注重几何元素之间的函数关系式的建立；把几何图形适当放到直角坐标中，回答相关问题：还要注意几乎图形的元素与方程根的关系等等，这样的探索过程是固本，是求新，是中考数学复习的生命力的体现。

解答中考压轴题的“金钥匙”
 一般设计3~4问，由易到难有一定的坡度，或连续设问，或独立考查，最后一问较难，一般是涉及几何特殊图形（或特殊位置）的探究问题。本人就最后一问进行了研究，提炼出一些方法、技巧，供大家参考。
 一、数学思想：
 主要是数形结合思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想
 二、探究问题：
 1、三角形相似、平行四边形、梯形的探究
 2、特殊角-----直角（或直角三角形）的探究
 3、平分角（或相等角）的探究
 4、平移图形后重叠部分面积函数的探究
 5、三角形（或多边形）最大面积的探究
 6、图形变换中特殊点活动范围的探究
 三、 解题方法：
 1、画图法：
（从形到数）一般先画出图形，充分挖掘和运用坐标系中几何图形的特性，
选取合适的相等关系列出方程，问题得解。画图分类时易掉情况，要细心。
 2、解析法：（从数到形）一般先求出点所在线（直线或抛物线）的函数关系式，再根据需要列出方程、不等式或函数分析求解。不会掉各种情况，但解答过程有时较繁。
 四、解题关键：
 1、从数到形：根据点的坐标特征，发现运用特殊角或线段比
 2、从形到数：找出特殊位置，分段分类讨论
中考数学压轴题【四边形的存在性】突破方法
【题型特点】
四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．
【解题思路】
①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；
②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；
③借助几何特征建等式．
【难点拆解】
①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．
②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．
③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．
④直角梯形存在性关键是利用好直角．
中考压轴题——抛物线中的四边形
基本题型：
一、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为平行四边形，求点坐标。
分两大类进行讨论：
（1）为边时
（2）为对角线时

二、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为距形，求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边互相垂直
（2）对角线相等
三、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为菱形，求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
四、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为正方形，求点坐标。
在四边形为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
在四边形为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边互相垂直
（2）对角线相等
五、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为梯形，求点坐标。
分三大类进行讨论：
（1）为底时
（2）为腰时
（3）为对角线时
相关知识
平面内两直线之间的位置关系：
两直线分别为：，。
（一）∥。（二）与相交。特别是。
由相似三角形习题解答谈一般综合题解答方法
很多初三同学解数学综合题很怕，怕做错，怕浪费时间，怕老师批评。其实，综合题解答有自身的办法，只是我们没有去自己总结，或机械沿用老师和他人的方法，对自己不一定有用；因此，学会自己总结方法，学会体验感悟是解答数学的关键，我认为：看一遍不如想一遍，想一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩；也就是说只有通过细心的体验感悟、交流反思才能形成综合题的一般解答策略。下面，我们通过一些相似三角形习题谈谈如何更好更快地解答综合题。
一、构造（绘制）解答所需的基本图形（看到什么想到什么）
在解决问题的过程中，必须要看图，如果没有图，就必须要画图。中考对学生添线的要求不是很高，只需连接两点或作垂直、平行，而且添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。如1例第一个证明就是利用角平分线上的点到角两边距离相等这一定理（2007年压轴题也是这样，很多同学角平分线向角的两边作垂线不知道，外心连接端点不知道）；再如本市2002年压轴题的第①题构造图形也是利用这一定理。
例1、例：已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的角平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交点C，D.①证明：PC＝PD；②点G是CD与OP的交点，PG＝PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD＝1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，作出图形，试求OP的长。
分析：由于本题没有图形，所以我们必须自己画图，画图的目的是为分析，而不是给老师看，很多同学为画图而画图，图形画得很小，或虽然大，但没有分析价值，这对分析题意带来干扰。
二、做不出、找相似；用相似，找勾股定理
压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。往往我们不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形或直角三角形，因为初中数学最难不外乎（相似、勾股或面积法）。
例2、如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
【答案】△ABE 与△ADC相似．理由如下：
在△ABE与△ADC中∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o，
∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE ～△ADC．
分析：相似三角形是初三大部分习题涉及到的方法，即使以前的全等也可以用相似来解决，应该学会用处三的知识来解答很多之前学过的知识，这样的解答肯定是最合理的。相似（直角三角形时用三角比）、勾股或面积法是建立函数关系式中最常见的方法。
三、紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论（前后铺垫作用）
在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。还有很多题目，前面的小题其实都是为下面铺垫的，很多同学找不到关系。如果我们能认识到这一点，再结合相似三角形性质，这样做比使用其他方法计算要简单得多，再如2002年、2003年压轴题第（2）小题，也都需要使用第（1）小题的证明方法或结论。
例3、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．
【答案】（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．
（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝分
又∵AMF∽△BGM，∴，∴ 又，∴，∴
分析：本题本来就是找相似，即使没有第一小题的问题，其实我们也要经历找相似的过程；既然找到相似，就应该运用相似，在第二问解答时就应该运用第一题的相似的结果去研究，很多同学两个小题没有关联，显然是不合理的；而且，一般在第一小题中你找到的所有的相似三角形都应该在第二题中运用到，有时还只是前一问的推广。
四、展开联想，寻找熟悉问题或重点题型
尽管已经做过了许多复习题，但考试中碰到的压轴题又往往是新的面孔，中靠题型一般很常见，只是外面包装而已。如何在新老问题之间找到联系呢？请牢记，在题目中你总可以找到与你解决过的问题有相类似的情况，譬如，这几年对直三边是3、4、5的直角三角形每年都考，很多未知量的设定都不是一个量，而是一个比、一个面积等的陌生问题，那你就应该记住，甚至推广，可能图形相似，可能条件相似，可能结论相似，此时你就应考虑原来题目是怎样解决的，与现题目有何不同。原有的题目是如何解决的，所使用的方法或结论在这里是不是可以使用，或有借鉴之处。
例4、已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；
（2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
（Q）
）
图2
图3
C
A
D
P
B
Q

【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴=1，∠D=45°∴PQ=PC即PB=PC，
过点P作PE⊥BC，则BE=。而∠PBC=∠D=45°∴PC=PB=
（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴
设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k∴，
=
∴ 函数定义域为
F
E
F
E
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
（Q）
）
图2
图3
C
A
D
P
B
Q

（3）答：90°
证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴∴=∴Rt△PQF∽Rt△PCE
∴∠FPQ=∠EPC ∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
分析：2009年的中考分数考不高，极端的高分很少，原因就在于很多人对本题感觉陌生，尤其是最后疑问，把它想得太难。第二问y又是一个面积比，所以难住了。而本题解法可以很常规的解出两个面积再进行比较。第三问只要找到相似，证明∠Q=∠C，问题解决了。
五：在题目中寻找多解的信息图形
在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，甚至多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到。如注意一些关键文字：射线、直线、相切、没有交点，或者是减少问题限制导致的讨论，因此在读题时千万注意此类变化。如2010年压轴题，也是此类情况。
例5、如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为 (5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积==
==9
（3）如图，BD=；∴BE=
甲
小华乙
DE= ∴,
即： ,所以是直角三角形
∴,且,∴∽
分析：分类讨论是压轴题很普遍的现象，本题的相似就是分类的原因，因为两个三角形的顶点没有确定对应法则。

E

D
B
C
A
B
C
A
例6、如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．
（1）用表示的面积；（2）与的函数关系式；
（3）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴，即
(2)①∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时
②﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=∴DE边上的高AH=AH'=
由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN∽△A'DE知
，
∴
（3）函数中∵0﹤x≤5 ∴当x=5时y最大为： 在函数中当时y最大为： ∵﹤ ∴当时，y最大为：
分析：由于第二小题在翻折时没有确定DE的位置，所以，重叠部分的图形有可能是三角形，也有可能是梯形，这是很多同学很难理解的，尤其是动态的习题，就需要我们对动态全过程进行演示，从而得出结论，在解答后，我们也可以用结论进行验证。如本题我们把用X=5验证和用X=5验证，结论应该一样，否则你就出错了。

六、记常用结论，思转化，实在不行要添线

综合题解答有时需要记住常用的结论和方法，甚至一些常见的图形，如看见直角三角形斜边上的高就想到三对相似形成的比例式或乘积式，看见乘积式一般先化为比例式再证明等；如果实在不行就进行转化，用相等的量、相似的图形等替代；最后再不行一般就需要添线，添加辅助线也有方法，可以按照以前的常见图形进行。
如：如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点 M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以 P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：这是一道综合题截取的一部分，如果按照两三角形相似的比例式，很难计算答案。如果按照勾股定理计算，思路很好，但由于代入计算很麻烦，荏苒无法得出结论。这时一定要向导转化等数学思想方法。如我们想到直角三角形斜边上的高的那个图形，很容易了。
解：（1）、（2）略。（3）当∠M或∠A等于直角，很容易求得。但当∠P等于直角就麻烦了，因为 两三角形相似，所以对应的边成比例，所以△APM两直角边也是1：2，作PH⊥Y轴，易得MH=2时，AH=8，H坐标（0，4），P的纵坐标4或MH=8时，AH=2，H坐标（0，10），P的纵坐标10代入二次函数即可。（请自己画图检验）
总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做，在图形中多描绘，敢于猜想，多讨论或辩解，解答后多反思验证。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。
中考压轴题——抛物线中的直角三角形
基本题型：
已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。
分两大类进行讨论：
（1）为斜边时（即）：点在以为直径的圆周上。
利用中点公式求出的中点；
利用圆的一般方程列出的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。
（2）为直角边时，分两类讨论：
①以为直角时（即）：
②以为直角时（即）：
利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出（或）的斜率；进而求出（或）的解析式；
将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。

所需知识点：
一、 两点之间距离公式：
已知两点，
则由勾股定理可得：。
二、 圆的方程：
点在⊙M上，⊙M中的圆心M为，半径为R。
则，得到方程☆：。
∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。
三、 中点公式：
已知两点，则线段PQ的中点M为。
四、 任意两点的斜率公式：
已知两点，则直线PQ的斜率： 。
压轴题——面积最值问题
1．定方向：
面积最值问题的分析思路
不规则图形面积分解为规则图形再表示
2．定目标：确定待求条件
3．定解法：解决待求条件
题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形）
题目中只有长度。（相似）

4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。
规则图形面积直接利用面积公式

解题思路：
1. 坐标系内动点的坐标常常用解析式的代数式表示纵坐标；
2. 表示坐标系中线段的长度一般用上减下（纵坐标），右减左（横坐标）；
3. 利用点的坐标代数式表示出相关线段的长度或图形的面积的函数关系式；
4. 求所列函数关系式的最大（小）值.

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