高三立体几何大题30题(含详细解答).doc

立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
A
B
C
第1题图
A
B
C
D
第1题图
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.

A
B
C
A1
B1
C1
M
第3题图
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.

4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．

5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.

（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.

6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；
A
B
C
D
P
A1
B1
C1
D1
第6题图
M
N
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。

7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

8．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°. BC=CC1=a，AC=2a.
（I）求证：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.

9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E
(Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E；
(Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；
(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小

10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60 ．（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．
A
D
B
C
E
A
B
C
E
D
第10题图

11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，D∈AB，∠A1DE＝90°.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.

（

12．如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影
A
B
B1
C1
A1
D
C
恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。（I）求证：BC⊥平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离
（III）求二面角B—AA1—C的正切值

13．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.
（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.

14.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。

15．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.

16．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C1D.
（I）求证：截面ADC1⊥侧面BC1；（II）求二面角C—AC1—D的正弦值；

（III）求直线A1B与截面ADC1距离.

17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离。

18．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，，VA⊥平面ABCD。
（1）求证：VC⊥CD。（2）若，求CV与平面VAD所成的角。

19．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；
　 （Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.

20．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.

（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离.

21．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.
（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.

22．如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
　（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？
　（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；
　（3）（理科做）求异面直线与所成的角的取值范围．

23． 已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为.
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.

24．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求：
（I）CM与D1N所成角的余弦值；
（II）异面直线CM与D1N的距离．

25．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.

（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

26．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为的重心．（1）求证：；（2）若二面角C—AB—D的大小为
，求点C1到平面A1B1D的距离；（3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否为N？并说明理由．

B
A
P
C
F
D
O
E
P
27．在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，
A

E
C
D
F
B
将ABD沿BD折起，二面角A－BD－C大小记为。
（1）求证：面AEF面BCD；（2）为何值时，ABCD。

28．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 ．（１）求证： GE∥侧面AA1B1B ；
（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小

29．已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC，，PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.（1）求证：平面PAC⊥PBC；（2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.

30．三棱锥中，底面△是顶角为、的等腰△，，，侧面与底面所成二面角为、分别为和的中点
(1)求证无论，为何值时，点到截面的距离为定值.(2)求三棱锥的体积