高中数学概率统计、极坐标与参数方程精选题型(文科).doc

概率统计坐标系与参数方程

1．【2019年新课标3文科17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

2．【2019年新课标2文科19】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
[﹣0.20，0）
[0，0.20）
[0.20，0.40）
[0.40，0.60）
[0.60，0.80）
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：8.602．

3．【2019年新课标1文科17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

4．【2019年北京文科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

不大于2000元
大于2000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

5．【2018年天津文科15】己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

6．【2017年新课标2文科19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2．

7．【2017年新课标1文科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 xi＝9.97，s0.212，18.439，（xi）（i﹣8.5）＝﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
（1）求（xi，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（3s，3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数r，0.09．
8．【2017年新课标3文科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

9．【2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考】蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是，乙组学生成绩的中位数是．
（1）求和的值； （2）计算甲组位学生成绩的方差；
（3）从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．

10．【2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间内的频率之比为.
（1） 求顾客年龄值落在区间内的频率;
（2） 拟利用分层抽样从年龄在的顾客中选取人召开一个座谈会，现从这人中选出人，求这两人在不同年龄组的概率.

11．【延安市2018届高三高考模拟】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在，，，，，中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率；
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
方案：所有芒果以10元/千克收购；
方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
12．【四川省天府名校2019-2020学年高三上学期第一轮联合质量测评】某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：
（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）

13．【湖南省益阳市、湘潭市2019-2020学年高三上学期9月教学质量统测】为了了解某校学生课外时间的分配情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级.
（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；
（Ⅱ）若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率。

14．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图：
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量
附注：参考数据：，，
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，
15．在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为（2，）．
（1）判断点和圆的位置关系，并求圆的极坐标方程；
（2）直线和圆相交于两个不同的点、，若的面积为，求的值．

16．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与交点的极坐标；（2）若点的极坐标为，求面积的最大值.

17．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若是直线l上一点，是曲线C上一点，求的最大值．

18．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)，且直线与曲线相交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）当时，求的最小值．

19．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题）在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求的值.

20．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题）已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.

21．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题）在直角坐标系中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形的面积最大时，求点P的直角坐标.

22．（安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.

23．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．

24．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

25．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

26．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

1．【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，
解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10．
（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．
乙离子残留百分比的平均值为：3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6．
2．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：
0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：0.02＝2%，
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；
（2）企业产值增长率的平均数0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3＝30%，
产值增长率的方程s2
[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，
∴产值增长率的标准差s0.17，
∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
3．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P，
女顾客对该商场服务满意的概率P；
（2）由题意可知，K24.762＞3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
4．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，
A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，
∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，
∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000400人．
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，
从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，
∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p．
（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，
理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，
发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．
故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
5．【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，
{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，
{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．
（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）．
6．【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）＝（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则有K215.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；
比较可得：12，故新养殖法更加优于旧养殖法．
7．【解答】解：（1）r0.18．
∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i）9.97，s＝0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，∴需要对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为10.02，
16×0.2122+16×9.972＝1591.134，
∴剔除离群值后样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）＝0.008，
∴剔除离群值后样本标准差为0.09．
8．【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P．
9．【答案】（1），；（2）；（3）.
（1）甲组学生的平均分是，，.
乙组学生成绩的中位数是，；
（2）甲组位学生成绩的方差为：；
（3）甲组成绩在分以上的学生有两名，分别记为、，
乙组成绩在分以上的学生有三名，分别记为、、．
从这五名学生任意抽取两名学生共有种情况：、、、、、、、、、.
其中甲组至少有一名学生共有种情况：、、、、、、.
记“从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，
则．
答：从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为．
10．（1）设区间内的频率为, 则区间内的频率分别为和.依题意得,解得,所以区间内的频率为.
（2）根据题意得，需从年龄在中分别抽取人和人，设在的人分别为,在的人分别为,则所抽取的结果共有种,
.设“这两人在不同年龄组” 为事件,事件包含的基本事件有种:.
则,所以这两人在不同年龄组的概率为.
11．（1）设质量在内的4个芒果分别为，，，，质量在内的2个芒果分别为，.从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有1个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计12种，
因此概率.
（2）方案：
元.
方案：
由题意得低于250克：元；
高于或等于250克：元；
由于，故方案获利更多，应选方案.
12．（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：
，
所以第三组的额数为（人）．完整的频率分布直方图如图．

（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．
由题得左边第一个矩形的面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，所以x=75.所以中位数为75.又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：（分）．
所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．
13．（1）解：班级总数为，样本容量与总体中的个体数比为，
所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，1，1
（2） 设在高一年级中抽取的3个班级，为在高二年级中抽取的班级，为在高三年级中抽取的班级，从这5个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有10种（，，，，，，，，，），随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果一共有9种
（，，，，，，，，）.所以这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率为。
14．（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
所以y关于t的回归方程为．
将2020年对应的代入回归方程得．
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.22亿吨．
15．【解析】（1）由圆的参数方程为为参数)得圆的普通方程为，圆心为C（2，0），半径，∵点的极坐标为（2，），∴点的直角坐标为（，1），
∵，∴点在圆外，∵圆的一般方程为，
将代入可得圆的极坐标方程为．
（2）∵的面积为，∴，∴，
∴，∴，由得，
∵直线和圆相交于两个不同的点、，
∴即，
设A、B的极坐标分别为，，则，
∴，
解得．
16．【解析】（1）由，消去参数α，得， 即，
将代入上式，得，故曲线的极坐标方程为.
联立，得，则或， 即曲线与交点的极坐标为或. （2）设，则.
∴的面积
，（8分）当时，面积的最大值为.
17．【解析】（1）将直线l的参数方程(其中t为参数)消去参数t，得直线l的普通方程为，由，得直线l的极坐标方程为．
因为曲线C的极坐标方程为，所以，
由，得曲线C的直角坐标方程为．
（2）因为在直线l上，在曲线C上，所以，，
所以==
，
当，即时，取得最大值，为．
18．（1）曲线的极坐标方程化为，得曲线的直角坐标方程为，由直线的参数方程(为参数)，消去参数得直线的普通方程为．
（2）将直线的参数方程(为参数)化为(为参数)①，
将①代入得，当时，恒成立.
设对应的参数分别为，则有，，
所以，因为函数在上单调递增，
所以当时，有最小值.
19．【解析】（1）曲线的普通方程为.
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），
代入化简得，设A、B两点对应的参数为，
所以，.因为点对应的参数为，
所以.
20．【解析】（1）消去参数，可得曲线的普通方程为，.由 ，所以曲线的极坐标方程为.
（2）显然直线的斜率存在，否则无交点.设直线的方程为，即.
而，则圆心到直线的距离.
又，所以，解得.所以直线的方程为或.
21．【解析】（1）,整理得.
（2）由动点P是曲线C在第一象限的点，设点，
设四边形的面积为S，则，
所以当时，S最大，此时P点的坐标为.
22．【解析】（1）将代入，
可得直线的直角坐标方程为.
（2）曲线上的点到直线的距离，
其中，.故曲线上的点到直线的距离的最大值为，曲线上的点到直线的距离的最小值为.
23．【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．
C上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．
24．【解析】（1）因为在C上，当时，．
由已知得．设为l上除P的任意一点．在中，，经检验，点在曲线上．
所以，l的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．所以，P点轨迹的极坐标方程为．
25．【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（2）设，由题设及（1）知若，则，解得；
若，则，解得或；若，则，解得．
综上，P的极坐标为或或或．
26．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．

概率统计坐标系与参数方程21