姜启源数学模型课本的课件PPT第二章.ppt

,第,二,章 初等模型,2.1,公平的席位分配,2.2,录像机计数器的用途,2.3,双层玻璃窗的功效,2.4,汽车刹车距离,2.5,划艇比赛的成绩,2.6,实物交换,2.,7,核军备竞赛,2.,8,启帆远航,2.,9,量纲分析与无量纲化,2.1,公平的席位分配,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5,乙,63 31.5,丙,34 17.0,总和,200 100.0 20.0 20,21,席的分配,比例 结果,10.815,6.615,3.570,21.000 21,问题,三个系学生共,200,名（甲系,100,，乙系,60,，丙系,40,），代表会议共,20,席，按比例分配，三个系分别为,10,，,6,，,4,席。,现因学生转系，,三系人数为,103,63,34,问,20,席如何分配。,若增加为,21,席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5 10.3,乙,63 31.5 6.3,丙,34 17.0 3.4,总和,200 100.0 20.0 20,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5 10.3,10,乙,63 31.5 6.3,6,丙,34 17.0 3.4,4,总和,200 100.0 20.0 20,21,席的分配,比例 结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000 21,“,公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,人数 席位,A,方,p,1,n,1,B,方,p,2,n,2,当,p,1,/,n,1,=,p,2,/,n,2,时，分配公平,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,对,A,的,绝对不公平度,p,1,=150,n,1,=10,p,1,/,n,1,=15,p,2,=100,n,2,=10,p,2,/,n,2,=10,p,1,=1050,n,1,=10,p,1,/,n,1,=105,p,2,=1000,n,2,=10,p,2,/,n,2,=100,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,但后者对,A,的,不公平程度已大大降低!,虽二者,的,绝对不公平度相同,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽量小,设,A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给,A,还是,B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对,A,不公平,对,A,的,相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“,公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,1,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给,A,2,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1),，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给,B,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,),车身的平均长度,15,英尺,(=4.6,米,),“2,秒准则”与“,10,英里,/,小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,假 设 与 建 模,1.,刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.,反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.,刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能的改变,;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车的质量,m,成正比,反应时间,t,1,的经验估计值为,0.75,秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.0256,计算刹车距离、刹车时间,车速,(,英里,/,小时,)(,英尺,/,秒,),实际刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42,（,44,）,39.0,1.5,30,44.0,73.5,（,78,）,76.6,1.8,40,58.7,116,（,124,）,126.2,2.1,50,73.3,173,（,186,）,187.8,2.5,60,88.0,248,（,268,）,261.4,3.0,70,102.7,343,（,372,）,347.1,3.6,80,117.3,464,（,506,）,444.8,4.3,“2,秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(,英里,/,小时,),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里,/,小时）,010,1040,4060,6080,t,（秒）,1,2,3,4,2.5,划艇比赛的成绩,赛艇,2000,米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米)(米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇（,单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,问题分析,前进阻力,浸没部分与水的摩擦力,前进动力,浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1,）艇形状相同,(,l/b,为常数),w,0,与,n,成正比,2,）,v,是常数，阻力,f,与,sv,2,成正比,符号：艇速,v,浸没面积,s,浸没体积,A,空艇重,w,0,阻力,f,浆手数,n,浆手功率,p,浆手体重,w,艇重,W,艇的静态特性,艇的动态特性,3,）,w,相同，,p,不变，,p,与,w,成正比,浆手的特征,模型建立,f,sv,2,p,w,v,(,n/s,),1/3,s,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,s,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n,1/9,np,fv,模型检验,n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军的平均成绩对模型,t,n,1/9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,问题,甲有物品,X,乙有物品,Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,y,x,p,.,用,x,y,分别表示甲,(,乙,),占有,X,Y,的数量。设交换前甲占有,X,的数量为,x,0,乙占有,Y,的数量为,y,0,作图：,若不考虑双方对,X,Y,的偏爱，则矩形内任一点,p,(,x,y,),都是一种交换方案：甲占有,(,x,y,),，乙占有,(,x,0,-,x,y,0,-,y,),x,y,y,o,0,x,o,2.6,实物交换,x,y,y,o,y,1,y,2,0,x,1,x,2,x,o,p,1,p,2,.,.,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有,(,x,1,y,1,),与占有,(,x,2,y,2,),具有同样的满意程度，即,p,1,p,2,对甲是无差别的，,M,N,将,所有与,p,1,p,2,无差别的点连接起来，得到一条,无差别曲线,MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对,X,Y,的偏爱程度，,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比,MN,各点满意度更高的点如,p,3,，在另一条无差别曲线,M,1,N,1,上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,p,1,.,p,2,.,c,1,y,0,x,f,(,x,y,)=,c,1,无差别曲线族的性质：,单调减,(,x,增加,y,减小,),下凸,(,凸向原点,),互不相交,在,p,1,点占有,x,少、,y,多，宁愿以较多的,y,换取较少的,x,;,在,p,2,点占有,y,少、,x,多，就要以较多的,x,换取较少的,y,。,甲的无差别曲线族记作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,满意度,（,f,等满意度曲线）,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,乙的无差别曲线族,g,(,x,y,)=,c,2,具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,x,y,y,o,O,x,o,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙的无差别曲线族,g,=,c,2,(,坐标系,x,O,y,且反向）,甲的无差别曲线族,f,=,c,1,A,B,p,P,双方满意的交换方案必在,AB,（交换路径）上,因为在,AB,外的任一点,p,(,双方,),满意度低于,AB,上的点,p,两族曲线切点连线记作,AB,A,B,p,交换方案的进一步确定,交换方案,交换后甲的占有量,(,x,y,),0,x,x,0,0,y,y,0,矩形内任一点,交换路径,AB,双方的无差别曲线族,等价交换原则,X,Y,用货币衡量其价值，设交换前,x,0,y,0,价值相同，则等价交换原则下交换路径为,C,D,(,x,0,0),(0,y,0,),两点的连线,CD,AB,与,CD,的交点,p,设,X,单价,a,Y,单价,b,则等价交换下,ax,+,by,=,s,(,s=ax,0,=by,0,),y,y,o,0,x,o,.,.,x,2.7,核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方,(,战略,),核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的,核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y,=,f,(,x,),甲方有,x,枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x,=,g,(,y,),乙方有,y,枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当,x,=0,时,y,=,y,0,，,y,0,乙方的,威慑值,x,y,y,0,0,y,0,甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全区,甲安全区,双方,安全区,P,平衡点,(,双方最少导弹数,),乙安全线,精细模型,乙方,残存率,s,甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx,个基地未摧毁，,y,x,个基地未攻击。,xy,甲方以,x,攻击乙方,y,个基地中的,x,个,y,0,=,sx,+,y,x,x=y,y,0,=,sy,乙的,x,y,个被攻击,2,次，,s,2,(,x,y,),个未摧毁；,y,(,x,y,)=2,y,x,个被攻击,1,次，,s,(2,y,x,),个未摧毁,y,0,=,s,2,(,x,y,)+,s,(2,y,x,),x,=2,y,y,0,=,s,2,y,yx,2,y,y,=,y,0,+(1-,s,),x,y,=,y,0,/,s,y,=,y,0,/,s,2,a,交换比,(,甲乙导弹数量比,),x,=,a y,精细模型,x=y,y,=,y,0,/,s,x,=2,y,y,=,y,0,/,s,2,y,0,威慑值,s,残存率,y,=,f,(,x,),y,是一条上凸的曲线,y,0,变大，曲线上移、变陡,s,变大，,y,减小，曲线变平,a,变大，,y,增加，曲线变陡,x,y,0,y,0,xy,y,=,y,0,+(1-,s,),x,x=y,x,=2,y,yx,2,y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值,y,0,变大,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线,y,=,f,(,x,),上移,模型解释,平衡点,P,P,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线,y,=,f,(,x,),不变,甲方残存率变大,威慑值,x,0,和交换比不变,x,减小，甲安全线,x,=,g,(,y,),向,y,轴靠近,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,P,P,双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标,(,x,y,仍为双方核导弹的数量,),双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加,y,0,减小,y,下移且变平,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),a,变大,y,增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析,模型解释,乙安全线,y,=,f,(,x,),帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向,简化问题,A,B,风向,北,航向,帆船,海面上东风劲吹，设帆船要从,A,点驶向正东方的,B,点，确定起航时的航向,，,帆,以及帆的朝向,2.8,启帆远航,模型分析,风,(,通过帆,),对船的推力,w,风对船体部分的阻力,p,推力,w,的分解,w,p,阻力,p,的分解,w=w,1,+w,2,w,1,w,2,w,1,=f,1,+f,2,f,1,f,2,p,2,p,1,p,=,p,1,+,p,2,模型假设,w,与帆迎风面积,s,1,成正比，,p,与船迎风面积,s,2,成正比，比例系数相同且,s,1,远大于,s,2,，,f,1,航行方向的推力,p,1,航行方向的阻力,w,1,=,w,sin(,-,),f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=,p,cos,模型假设,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,w,2,与帆面平行，可忽略,f,2,p,2,垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks,1,p=ks,2,船在正东方向速度分量,v,1,=,v,cos,航向速度,v,与力,f=f,1,-,p,1,成正比,v,=,k,1,(,f,1,-p,1,),v,1,v,2),令,=,/2,v,1,=,k,1,w,(1,-cos,)/2,-p,cos,cos,求,使,v,1,最大,（,w=ks,1,p=ks,2,）,1),当,固定时求,使,f,1,最大,f,1,=,w,cos(,-,2,)-cos,/2,=,/2,时,f,1,=,w,(1,-cos,)/2,最大,=k,1,(,f,1,-p,1,)cos,f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=p,cos,求,使,v,1,最大,模型建立,v,1,=,v,cos,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,v,1,v,模型求解,60,75,1,t,2,v,1,最大,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型,航行过程中终点,B,将不在正东方,记,t,=1+2,s,2,/,s,1,k,2,=,k,1,w,/2,=(,k,1,w,/2)1-(1+2,p/w,)cos,cos,w=ks,1,p=ks,2,1/4,cos,s,2,2.9,量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),2.9.1,量纲齐次原则,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t,m,l,g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2,y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,单摆运动中,t,m,l,g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g,。,m,=6,n,=3,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,F,(,1,2,3,)=0,与,(,g,l,v,s,f,)=0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0,中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,2.9.2,量纲分析在物理模拟中的应用,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知,),注意：二者的,相同,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,2.9.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射。初速,v,星球半径,r,表面重力加速度,g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的,量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c,t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c,t,c,的不同构造,1,）令,的不同简化结果,为无量纲量,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,1,）,2,）,3,）的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,重要差别,考察无量纲量,在,1,）,2,）,3,）中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1)2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,