截面的几何性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,-1 截面的静矩和形心位置,I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积,Lectures(八),Appendix,Geometric Properties of An Area,附录1 截面的几何性质,-1 Static Moment,Center of An Area,I2 Polar Inertia Moment,Moment of Inertia Product of Inertia,.,附录,截面的几何性质,-1,截面的静矩和形心位置,设任意形状截面如图所示。,1.静矩（或面积的一次矩）,(,常用单位：m,3,或mm,3,。值：可为正、负或 0。）,2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）,O,x,d,A,y,y,x,C,.,3.静矩与形心坐标的关系,结论：截面对形心轴的静矩恒为,0,，反之，亦然。,4.组合截面的静矩,整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:,.,5.组合截面的形心坐标公式,将,代入,解得组合截面的形心坐标公式为：,（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）,.,例1,试计算图示三角形截面对于与其底边重合的,x,轴的静矩。,解：,取平行于,x,轴的狭长条，,所以对,x,轴的静矩为,O,x,y,b,(,y,),y,d,y,h,b,.,例2,求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标y,C,。,O,C,r,x,y,dA,y,C,y,dy,解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，,方法1：直接积分法,简单图形,.,解：将此图形分成I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,例3,求图示图形的形心。,150,y,C,x,O,x,1,y,1,200,10,y,C,300,I,II,III,10,由于对称知：x,C,=0,矩形I,矩形II、III,.,例4,试计算图示截面形心,C,的位置。,解：将截面分为I、II两个矩形。,建立坐标系如图示。,各矩形的面积和形心坐标如下：,O,x,y,y,1,120,10,x,x,80,10,y,C,(,y,x,),矩形I,矩形II,.,代入组合截面的形心坐标公式,解得：,方法2：分组叠加法,O,x,y,y,1,120,10,x,x,80,10,y,C,(,y,x,),矩形I,A,1,=70,110=7700mm,2,x,1,=45mm,y,1,=65mm,矩形II,A,2,=80,120=9600mm,2,x,1,=40mm,y,1,=60mm,方法3：负面积法,组合图形,.,I2,极惯性矩 惯性矩 惯性积,设任意形状截面如图所示。,1.极惯性矩（或截面,二次极矩）,2.,惯性矩（或截面二次,轴矩）,（为正值，单位m,4,或 mm,4),所以,（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）,O,x,y,y,x,r,d,A,.,3.,惯性积,（其值可为正、负或0，单位:m,4,或 mm,4,),（3）惯性半径,（单位m,或 mm）,O,x,y,y,x,r,d,A,（1）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为,零,；,（2）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为,面积的二次矩,特点,.,例5,试计算图,a,所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）,x,和,y,的惯性矩和惯性积。,解：,取平行于,x,轴的狭长条，,则 d,A,=,b,d,y,同理,y,h,C,x,d,y,y,b,(a),因为x、y轴皆为对称轴，故,I,xy,=0,.,例6,试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的,惯性矩。,x,d,y,y,x,解：,由于圆截面有极对称性，,所以,所以,dy,y,.,-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,组合截面的惯性矩和惯性积,1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,1.公式推导,O,x,y,C,dA,x,C,y,C,a,b,y,x,x,C,y,C,y=y,c,+a,x=x,c,+b,.,b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。,3.,注意,：,x,C,、y,C,轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；,2.,平行移轴公式,二、组合图形的惯性矩：,组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其,各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和,.,例7,求图示直径为,d,的半圆对其自身形心轴,x,c,的惯性矩,解：,（1）求形心坐标,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,.,（2）求对形心轴,x,c,的,惯性矩,由,平行移轴公式得：,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,.,例8,试求图,a,所示截面对于对称轴,x,的,惯性矩。,解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。,（1）矩形对,x,的,惯性矩：,（2）一个半圆对其自身形心轴,x,c,的,惯性矩（见上例）,x,y,C,(a),d,=80,40,100,a,=100,40,a,+,2d,3,p,.,（3）一个半圆对,x,的,惯性矩：,由,平行移轴公式得：,（4）整个截面对于对称轴,x,的,惯性矩：,.,问题？,x,y,C,(a),d,=80,40,100,a,=100,40,a,+,2d,3,p,x,1,每个组合图形的形心惯性矩对,新坐标的惯性矩的代数和！,注意：,.,思考,2.,已知矩形截面对,x,1,轴的惯性矩I,x1,=bh,3,/3，,x,2,与,x,1,轴平行，二者之间的距离为a，,求矩形截面对轴,x,2,的惯性矩。,y,h,C,x,2,b,x,1,a,解法一：,直接用I,xc,计算对x,2,轴的惯性矩,x,c,a,2,解法二：,用平行移轴定理,作业：I-1d,I-3a,.,y,y,1,y,0,C,0,C,a,z,0,x,.,-4 惯性矩和惯性积的转轴公式,截面的主惯性轴和主惯性矩,1.惯性矩和惯性积的转轴公式,任意面元d,A,在旧坐标系,oxy,和新坐标系,ox,1,y,1,的关系为：,代入,惯性矩,的定义式：,dA,y,1,x,1,y,1,x,1,a,y,x,a,D,E,B,A,C,O,x,y,.,利用二倍角函数代入上式，得,转轴公式,：,.,注：,上式中的,的符号为：从旧轴,x,至新轴,x,1,逆时针为正，顺时针为负。,（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩）,将前两式相加得,.,由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着,角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度,0,，使截面对于新坐标轴,x,0,、,y,0,的惯性积等于零。,2.截面的主惯性轴和主惯性矩,(1),主惯性轴:截面对其惯性积等于,0,的一对坐标轴。,(2),主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。,(3),形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。,(4),形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。,.,(5)确定,主惯性轴,的位置,设,0,是旧轴,x,逆时针转向,主惯性,轴,x,0,的角度，则由,惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得,可改写为,（注：将负号置于分子上有利于确定2,0,角的象限）,.,(6)几个结论,若截面有一根对称轴，则此轴即为形心,主惯性轴之一，另一,形心,主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。,若,截面有二根对称轴，则此二轴即为形心,主惯性轴。,若,截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心,主惯性轴，且主惯性矩相等。,.,120,10,10,10,70,例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩,I,II,I,III,C,x,y,y,0,x,0,a,0,图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图,将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图,整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为,形心主惯,性矩大小,.,x,y,C,10,b,10,b,40,120,a,20,80,C,C,a,例：试计算截面的形心主,惯性矩。,解：作与上、左边平行的形心坐标轴,x,c,y,c,。,（1）求形心坐标：,（2）求对自身形心轴的,惯性矩。,（3）由,平行移轴公式,求整个截面的,.,x,c0,y,c0,a,=113.8,（4）由转轴公式得,x,y,C,10,b,10,b,40,120,a,20,80,C,C,a,.,